多角度計(jì)算一個(gè)三棱錐的體積

?甘肅省張掖市體育運(yùn)動(dòng)學(xué)校 張青鳳

體積問(wèn)題是立體幾何中的一個(gè)常考問(wèn)題，如何解決此類(lèi)問(wèn)題呢？首先，識(shí)別所要計(jì)算的立體圖形；其次，分析圖形的結(jié)構(gòu)特征.常見(jiàn)的解決方法包括：公式法、割補(bǔ)法、向量法.對(duì)于較為復(fù)雜的圖形，還可以利用等價(jià)轉(zhuǎn)化法、質(zhì)點(diǎn)幾何法、祖暅原理法求解.下面通過(guò)一道立體幾何模擬題來(lái)展示計(jì)算體積的各種方法.

1 題目及分析

圖1

(2022屆廣東省12月份聯(lián)考第12題改編)如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M,N分別是AD,CC1的中點(diǎn)，P,Q分別是線段AB,C1D1上的點(diǎn)，且AP=2PB，C1Q=2QD1，求三棱錐Q-PMN的體積.

分析：本題所需求體積的幾何體為一個(gè)三棱錐，如果直接選擇公式求解，其難度主要集中在“高”的運(yùn)算上.對(duì)于高的運(yùn)算，可利用幾何法即通過(guò)空間中線面間的位置關(guān)系構(gòu)造出“高”再進(jìn)行計(jì)算；或利用向量進(jìn)行計(jì)算.

2 解題探析

方法1：通過(guò)計(jì)算三棱錐的高來(lái)計(jì)算體積.

因?yàn)樵诒绢}中利用幾何法計(jì)算三棱錐的高需要構(gòu)造較多的輔助線，且證明過(guò)程較為冗長(zhǎng).本文中不運(yùn)用該方法求解.僅介紹如何利用向量法求解.

圖2

如圖2，以D為原點(diǎn)，以直線DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

圖3

方法2：割補(bǔ)法求解.

圖4

如圖4，延長(zhǎng)QN，DC相交于點(diǎn)T，連接MT，PT.考慮三個(gè)三棱錐Q-MPT，Q-MPN，N-MPT.根據(jù)體積的可加性知VQ-MPN=VQ-MPT-VN-MPT.

方法2中除了運(yùn)用割補(bǔ)法外，還體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.接下來(lái)將介紹等價(jià)轉(zhuǎn)化法的一般策略.

方法3：等價(jià)轉(zhuǎn)化法.

根據(jù)三棱錐的體積公式，可知等底等高的三棱錐體積均相同.為此，可以從構(gòu)造高的視角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

如圖5-1，設(shè)點(diǎn)E為B1C1的中點(diǎn)，易得QE∥MP，從而QE∥平面PMN，因此VQ-MPN=VE-MPN.

圖5-1

圖5-2

通過(guò)上述解析可知，割補(bǔ)法與等價(jià)轉(zhuǎn)化法常常混合使用.

方法4：質(zhì)點(diǎn)幾何法[1-2].

質(zhì)點(diǎn)幾何法的本質(zhì)是給立體圖形中的各點(diǎn)按線段間的比例賦予一定的質(zhì)量，再利用質(zhì)點(diǎn)間的運(yùn)算法則計(jì)算所形成圖形的面積或體積.

因?yàn)镸，N分別是AD，CC1的中點(diǎn)，所以可設(shè)

2M=A+D，2N=C+C1.

①

又因?yàn)锳P=2PB，C1Q=2QD1，所以可設(shè)

3P=A+2B，3Q=C1+2D1.

②

由上述①②中四個(gè)方程質(zhì)點(diǎn)間的運(yùn)算，可得

36QMPN=(A+D)(C+C1)(A+2B)(C1+2D1)，

③

其中QMPN表示三棱錐Q-MPN的體積，對(duì)于③式右側(cè)展開(kāi)式中出現(xiàn)相同點(diǎn)或四點(diǎn)共面的情形時(shí)，其對(duì)應(yīng)的體積即為0.據(jù)此可知，上式右側(cè)展開(kāi)后剩余的項(xiàng)為

2ABCC1+4ABCD1+ADCC1+2ADCD1+2BDCC1+4BDCD1+2ADC1D1+4BDC1D1.

④

3 解后反思與教學(xué)建議

上述的解答過(guò)程體現(xiàn)了研究立體幾何中體積問(wèn)題的各種視角.除了上述方法外，還可利用向量的混合積以及祖暅原理進(jìn)行求解.

為了突破這一難點(diǎn)，筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面入手.教師要帶領(lǐng)學(xué)生識(shí)圖，分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行運(yùn)算.現(xiàn)階段因?yàn)樾畔⒓夹g(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用，所有的立體圖形都可用GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行繪制.學(xué)生可從視覺(jué)上直觀感受圖形的變化以及形成過(guò)程.一方面要在教學(xué)中靈活地運(yùn)用相關(guān)軟件，提升教學(xué)效率；另一方面，也要培養(yǎng)學(xué)生基本的繪圖原理，在繪制的過(guò)程中感受各種幾何量的形成過(guò)程以及依存關(guān)系.

在體積的運(yùn)算過(guò)程中，還常常涉及面積等平面幾何的知識(shí).在該板塊的教學(xué)中，要帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)解三角形及平面幾何中的有關(guān)知識(shí)以及運(yùn)算技巧.例如，在上文中利用割補(bǔ)法計(jì)算△MPT的面積時(shí)，可將其理解為四邊形AOTD中的圖形，結(jié)合平面圖形的性質(zhì)即可快速求解.

最后，在教學(xué)中要帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)拓視野.如上文中的質(zhì)點(diǎn)幾何求解法，其本質(zhì)是構(gòu)建了一套新的運(yùn)算法則與規(guī)律.在教學(xué)中，可通過(guò)平面圖形中的面積運(yùn)算類(lèi)比至立體幾何中的體積運(yùn)算.