圖形優(yōu)美 思維精妙
——探究兩條拋物線相切的問題

?甘肅省張家川縣第一高級中學 李曉東

平時，我們經(jīng)常遇到直線與拋物線相切的問題，也掌握了處理此類問題的常用方法.那么，當遇到一條拋物線與另一條拋物線相切時，該如何處理呢？實際上，可根據(jù)圖形特征，轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切；亦可根據(jù)切點的唯一性，轉(zhuǎn)化為相關方程有唯一解.下面結(jié)合一道試題的多解探究以及變式訓練，領會解題思維，提升解題技能.

1 好題采擷

(2021年廣東地區(qū)中科大強基測試第2題)設拋物線y=x2與x=ay2+1相切，則a=______.

分析:本題以兩條拋物線相切為載體，具有一定的創(chuàng)新性，看似簡單，實則內(nèi)涵豐富；側(cè)重考查學生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力以及數(shù)學運算求解能力；有利于數(shù)學思想方法、知識在解題中的靈活運用，能夠較好地培養(yǎng)學生的探索精神、創(chuàng)新意識，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

圖1

2 多解探究

如圖1，在同一坐標系內(nèi)分別畫出拋物線y=x2與x=ay2+1(該拋物線顯然恒過定點(1,0)).根據(jù)題意易知a>0.(先確定參數(shù)的取值范圍，便于進一步分析.)

由圖可知，在兩條拋物線的公共點處，存在一條直線與兩條拋物線均相切.

視角一：由于題設兩條拋物線相切可轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切，又因為當直線與拋物線相切時，可考慮對應二次方程的判別式Δ=0在處理問題中的靈活運用，所以本題可充分利用“判別式為零”，并結(jié)合切點的坐標加以靈活分析.

①

②

點評：該解法的關鍵是充分利用直線與拋物線相切，根據(jù)Δ=0巧求切點的坐標，突出體現(xiàn)了“方程思想”在解題中的靈活運用，對運算求解能力的要求較高.

視角二：由于題設兩條拋物線相切可轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切，又因當直線與拋物線相切時，可考慮導數(shù)的幾何意義在分析、解決問題中的靈活運用，所以本題可充分利用導數(shù)的幾何意義，并結(jié)合相關導數(shù)知識加以靈活分析.

解法2：依題意，對y=x2求導得y′=2x；對x=ay2+1求導得1=2ayy′.

點評：解法2的關鍵是充分利用導數(shù)的幾何意義以及切點在拋物線上，構(gòu)建等式.此外，要注意對x=ay2+1的求導，應靈活運用復合函數(shù)的求導法則.

點評：解法3與解法2不同之處在于需要先轉(zhuǎn)化題設條件，以便能夠直接利用求導公式；同時要注意兩條拋物線在切點處的切線斜率相等及導數(shù)幾何意義的運用.

視角三：由于題設兩條拋物線相切可轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切，又因當直線與拋物線相切時，可考慮對應二次方程的判別式Δ=0與導數(shù)的幾何意義，所以本題可將“判別式為零”與“導數(shù)的幾何意義”在解題中同時加以靈活運用.

③

④

點評：解法4的關鍵是綜合運用了Δ=0和導數(shù)的幾何意義，同時要注意直線方程點斜式的運用.顯然，該解法對學生綜合運用能力的考查較強，有利于較好地培養(yǎng)學生的運算求解能力.

視角四：考慮“等價轉(zhuǎn)化思想”的靈活運用，可先將題設兩條拋物線相切轉(zhuǎn)化為關于x或者關于y的方程有唯一解，再結(jié)合其他知識加以靈活分析.

解法5：將y=x2代入x=ay2+1，可得

ax4=x-1.

⑤

依題意知方程⑤有唯一解，所以直線y=x-1與拋物線y=ax4必相切.

⑥

點評：解法5需要先將題設條件等價轉(zhuǎn)化為方程有唯一解，再等價轉(zhuǎn)化為直線與拋物線相切，最后借助導數(shù)知識和方程思想加以靈活求解.顯然，該解法突出考查了學生靈活運用“等價轉(zhuǎn)化思想”分析、解決目標問題的能力.

圖2

點評：解法6需要先將題設條件等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有唯一公共點，再借助導數(shù)知識以及數(shù)形結(jié)合思想加以靈活求解，有利于較好地培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

3 變式訓練

⑦

說明：有興趣的讀者可參考前述例題的多種不同解法，給出本題的其他解法.

綜上，處理兩條拋物線相切的問題，有多種不同的解題視角以及對應的具體解法.需要我們特別關注的是：(1)要學會以圖形的直觀、明了性作為分析、解決問題的切入點，便于幫助我們迅速獲得具體的解題思路；(2)要學會靈活運用“等價轉(zhuǎn)化思想”，將不熟悉的數(shù)學問題等價轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學問題，便于根據(jù)已掌握的知識、方法順利求解；(3)通過試題的多解探究以及變式訓練，努力提高直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學抽象以及邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，進而提高分析、解決此類問題的技能技巧.

4 結(jié)語

一言以蔽之，小題不小，蘊含豐富，具有較好的思維價值、探究價值，值得我們?nèi)ゼ毤毱肺丁⑸钏迹挥欣谔岣邔W生對所學相關數(shù)學知識和思想方法的綜合運用能力，也有利于進一步拓寬視野，提高思維的靈活性、嚴謹性、邏輯性，進而提升理性思維能力.