巧妙設置 合理引入
——“立體幾何初步”序言的教學設計

?江蘇省華羅庚中學 陳 佩

近年來，序言課(引言課、章首課)受到廣泛的關注.怎樣上好一章、一單元的序言課，是每一位數學教師都會思考的問題.序言課看上去簡單，有的教材就幾句話，還有的教材沒有序言，怎么上成一節課？有的教師把一章的知識進行壓縮，給出全章的知識概要，實際上成了復習課.有的教師廣泛介紹數學歷史、文化，波瀾壯闊，讓學生在學習之前對本章充滿期待，而后面的真正學習卻讓學生覺得反差太大.

序言課怎么上，沒有規定的模式與程序.下面以蘇教版第二冊第八章“立體幾何初步”序言課為例對如何合理巧妙地設計教學進行了一些有益的探索，由此引發我們對序言課的教學思考與研究.

1 教學目標

(1) 體會立體幾何的研究意義，激發學習立體幾何的興趣；

(2) 初步了解立體幾何的研究對象、研究內容和研究目的；

(3) 初步了解立體幾何的研究方法與思維，培養類比思想、空間想象能力和直觀想象能力.

2 教學重點

(1)立體幾何的研究對象、研究內容和研究目的；

(2)立體幾何的研究意義與實際應用.

3 教學難點

立體幾何的研究方法與實際應用是教學難點.

設計意圖：根據“立體幾何初步”的具體內容和教學目標，兼顧知識的結構、知識的生成、知識的生長，數學的思想、方法探索的過程，數學的歷史、文化等更多的層面，在不涉及具體的概念定義、具體的數學公理、定理、具體的解題方法等前提下，給學生立體幾何的研究對象、內容、方法和思想的概要.

4 教學過程

4.1 立體幾何的研究意義(為什么要學)

趣味引入:(教師拿出3根長度相同的小棒，也可以直接以3根粉筆為例)用3根長度、粗細相同的小棒，可以拼出1個正三角形，其邊長就是小棒的長度(演示).如果現在有6根長度相同的小棒，那么最多能拼出幾個以小棒為邊長的正三角形？

設計意圖：引導學生的思維“沖出平面，走向空間”，使學生感受到空間圖形在生活中比比皆是，感悟學習立體幾何的必要性.

4.2 立體幾何的研究內容(學什么)

問題1立體幾何主要研究什么呢？ 這個問題較大，先回顧下列問題.

(1)初中平面幾何的研究對象和內容是什么？

點、直線、平面圖形(三角形、四邊形、圓等).

(2)(類比思維)在初中平面幾何的基礎上，立體幾何中有哪些問題是你想研究的？

合理展開，立體幾何主要研究以下幾個方面的內容：

①空間幾何體是由哪些簡單的平面圖形組成的？

②如何描述和刻畫這些簡單空間幾何體的形狀、大小、位置關系以及其他相關的特征？

③構成這些幾何體的基本元素之間具有哪些位置關系？

問題2用什么方法可以直觀地將長方體畫在紙上？你能自己嘗試著畫出一個長方體嗎？

問題3面對紛繁復雜的空間立體幾何圖形，我們從哪個角度切入，從何處著手開始研究呢？

我們需要將復雜的問題簡單化，抓住各種空間立體幾何圖形的共性，也就是構成各種空間立體幾何圖形的最簡單、最基本和最重要的元素，簡單稱為基本元素.

(1)以特殊圖形為實例，比如一個長方體的基本元素有哪些？

點沒有大小，直線沒有粗細、無限延伸，平面沒有厚薄、無限延展.

(2)構成空間圖形的基本元素有哪些？

問題4以長方體為模型，如何去刻畫基本元素之間的關系呢？

這個問題似乎還是有點大.你覺得哪些基本元素之間的關系是可以去刻畫的？從哪里開始比較好？

(學生自主研究，教師巡視指導.)

(1)仔細觀察長方體ABCD-A1B1C1D1，請舉例說明空間中兩條直線存在哪些位置關系？

(2)你覺得需要幾個量才能定量刻畫空間兩條直線的位置？

(3)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，你覺得還可以研究哪些基本元素的關系？如何定量刻畫它們之間的關系？

與剛才一樣，可以從定性和定量兩個方面考慮.請畫一畫，寫一寫，和同桌交流、補充.

4.3 立體幾何的研究方法(怎么學)

問題5如圖1所示，桌面上放有一個透明封閉的長方體玻璃箱，其中該箱的長AB為30 cm，寬BC為20 cm，高CC1為10 cm，若長方體表面頂點A處的蜘蛛發現頂點C1處的小蟲，請同學們為蜘蛛選擇恰當的路線，使蜘蛛最快吃到小蟲.

圖1

圖2

路徑1：經過棱BB1，沿BB1展開(如圖2)；

路徑2：經過棱A1B1，沿A1B1展開(如圖3)；

路徑3：經過棱A1D1，沿A1D1展開(如圖4).

圖3

圖4

思考:在長方體ABCD-A1B1C1D1中 ，AB=3，AD=2，AA1=1，你可以求出哪些量？怎么求？

問題6(1)在一個平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.若去掉“在一個平面內”，這個結論還成立嗎？可以舉例說明嗎？

(2)在平面內過直線外一點P有且僅有一條直線與已知直線平行.若去掉“在平面內”這個結論還成立嗎？可以舉例說明嗎？

數學文化的滲透：2 000多年前，古希臘數學家歐幾里得在前人對立體幾何研究成果的基礎上，把少數不加證明而直接采用的命題作為公設和公理，然后利用演繹方法把當時所知的數學知識進行了系統的整理和歸納，創作了《幾何原本》，書中就有許多立體幾何的相關知識.他把人們公認的一些事實作為公設和公理，這種研究思想被稱為公理化思想，然后采用演繹的方法把當時的大量幾何知識推演出來，這種研究方法對后世數學的發展產生了深遠的影響.

設計意圖：在短短的一節課內，學生對“立體幾何初步”這一章的總體目標、大致內容、研究的思想方法、數學的背景等都有了清晰的了解.特別難得的是，本節課不是教師講解、告知，而是設計6個恰當的問題，引導學生自己去深入思考、自主探究、合作交流.把立體幾何的研究內容、研究方法、數學思想理得清清楚楚，使學生對立體幾何初步的部分內容，對三個核心問題“為什么學”“學什么”“怎么學”有了清晰的理解.

5 回顧小結

回顧本節序言課的內容，你對立體幾何有了哪些初步的認識與理解？

“立體幾何初步”大體框架(如圖5)：

圖5

6 課后作業

(1)“用6根長度相同的小棒，最多能拼出4個以小棒為邊的正三角形”，請畫出對應的立體圖形.

圖6

(2)如圖6所示，已知圓柱的底面半徑為2 cm，高為4 cm，求從下底面上的點A出發繞圓柱一周到上底面上的點D的最短距離.

(3)請嘗試舉出一些在平面幾何中成立但在立體幾何中不成立的例子，并說明差別.

總評：本節課的設計明線、載體非常清楚，沒有涉及到任何具體概念、結論，借助數學文化、學生熟悉的情境以及最典型的空間幾何體(長方體)、問題、游戲等，使本節課要實現的暗線貫通始終，包括研究的對象、研究的內容、研究的思想方法等.而整節課又全是由學生自主活動，包括觀察、發現、猜想、嘗試、驗證、表達、論證等，使學生獲得數學的本質、感悟數學的思想方法.

通過這節課的教學，學生不僅對立體幾何研究的對象、內容、思想方法有了初步了解，而且學會了整體思維，從整體角度思考所要研究的對象，提出需要解決的問題.這也是目前單元教學、整體教學所提倡的教學理念.