人教A版高中數學新舊教材的比較研究
——以“三角函數的概念”為例

?哈爾濱師范大學教師教育學院 汪會婷

為了更好地滿足不同時期學生學習和教師教學的需要，教育部對課程標準進行了修訂，隨之而來的就是教材的改革.“2004年人教A版普通高中數學”(以下稱“舊教材”)在多位教研人員根據一線教師的實踐經驗以及多年的潛心研究下推出“2019年人教A版普通高中數學”(以下稱“新教材”).新教材在結構設置上更具有邏輯性，在內容呈現上銜接也更緊密，更加符合學生認知特點和發展規律，能夠在學生已知已能的基礎上進行呈現，與學生的已有認知建立起聯系，展現出新教材的連貫性與嚴謹性，有利于提高學生問題解決的能力，培養學生數學學科核心素養，體會數學思想方法的應用，實現育人價值.

舊教材“任意角的三角函數”這一節在內容安排上銜接并不緊密，從銳角三角函數到任意角的三角函數，僅僅通過一句話“同樣地，我們可以用單位圓定義任意角的三角函數”作為橋梁，無論是教師還是學生對于這種過渡都無法真正理解，不能達到立竿見影的效果.銳角三角函數主要適用于解三角形，解決的是三角形中邊與邊的比值、邊與角的定量關系問題；而任意角的三角函數是用來描述周期變化現象的函數，刻畫周而復始的運動規律.這兩種不同的三角函數銜接的處理方式不太合理.新教材在“三角函數的概念”這一節作了全新的變動，通過建立數學模型，研究單位圓上點的運動，刻畫其位置變化情況.以單位圓為載體，貫穿始終，循序漸進，體現新教材內容編排的緊密性，從特殊到一般，體現數形結合的思想方法，突出函數概念的本質，讓人耳目一新.

1 新舊教材三角函數概念所處位置的比較

舊教材中“任意角的三角函數”位于必修4第一章第二節，新教材中“三角函數的概念”位于必修一第五章第二節.從節與節的銜接出發，新舊教材“三角函數的概念”都是在“任意角和弧度制”這一節之后進行學習.從章與章的銜接出發，舊教材此部分內容安排在必修1第三章“函數的應用”之后進行學習，并在另一冊(必修4)書中出現，與函數主體部分脫離開來，不利于學生建立完整的邏輯體系；而新教材則將其安排在同冊書第四章“指數函數與對數函數”之后進行教學，與函數主體部分建立起緊密聯系，具備一定邏輯聯系，以函數的概念為基礎，使得三角函數概念的得出更加水到渠成.

2 新舊教材三角函數概念知識編排順序的比較

舊教材知識編排順序：復習銳角三角函數→在直角坐標系中用銳角終邊上點的坐標表示三角函數→用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數→用角的終邊與單位圓交點的坐標定義任意角的三角函數→例題→探究.

新教材知識編排順序：明確通過建立數學模型，刻畫點在單位圓上的位置變動情況的任務→探究當角取不同值時，點的坐標如何表示、是否唯一，體會函數概念的本質→下定義并明確任意角三角函數的符號表示→探究角被局限時，銳角三角函數與任意角的正弦、余弦與正切的關系.

3 新舊教材三角函數概念的內容比較

3.1 節引言的比較

3.1.1 舊教材的內容安排

活動1：復習初中學過的銳角三角函數，給出銳角三角函數是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數.

疑難：銳角三角函數是用來研究三角形中邊與邊比值的一種工具，這對于剛學習完集合與函數知識點的學生來說跨度比較大.此外每個學生的認知基礎是不同的，并非所有的學生都能清楚“比值”二字到底是指邊與邊還是邊與角.

活動2：提出一道思考題——在直角坐標系中，用角的終邊上點的坐標如何表示銳角三角函數？

疑難：在這節課之前，學生并未接觸過角的終邊上點的坐標，腦海中也無法建立相應的圖形，又怎么會進行真正有效的思考！此外，這個思考題是為接下來的教學內容作鋪墊的，并不是學生自己主動建構引發的，無法實現以學生為本、發揮學生主動性的目的.

3.1.2 新教材的內容安排

活動1：復習上節課學習過的弧度制的相關知識.

亮點：使學生了解到角已經擴展到實數范圍，為后續揭示函數概念的本質作鋪墊.

活動2：研究上節課點在圓上的運動問題，并強調不失一般性，先研究單位圓上點的運動.

亮點：對三角函數概念的研究又回歸到圓周運動，繼續研究之前提出的問題，與其性質相符，有利于學生發散性思維的培養.對于教師而言，需要進行反復推敲，精心設計課堂教學，使學生對從圓上點的運動過渡到單位圓上點的運動清晰明了.

活動3：明確研究任務——點在單位圓上旋轉，通過建立模型，刻畫點的位置變化情況.

3.2 抽象概念環節的比較

3.2.1 舊教材的內容安排

困難：這部分內容因學生并未接觸過單位圓，教材在使OP特殊化后的圖中作出單位圓，很容易讓學生產生迷惑，這個圓為什么會出現？

活動2：引出單位圓的知識點，利用單位圓上點的坐標去表示銳角三角函數，進而利用單位圓上點的坐標去表示任意角的三角函數.

困難：首先，這種推廣使得三角函數周期性的呈現并非水到渠成，而且兩種不同性質的函數的過渡也讓知識的銜接不再緊密.其次，在利用單位圓定義銳角三角函數的時候，并沒有圖示加以說明；但是在定義任意角三角函數時，直接將單位圓放在任意角中，不利于學生理解.此外，在整個研究過程中點的位置多次發生轉變，從銳角終邊上任一點到銳角的終邊與單位圓的交點再到任意角的終邊與單位圓的交點，這種轉變很容易造成理解上的困難，加重學生的理解負擔[1].

活動3：教材給出正弦、余弦、正切的定義，并探討了角x的范圍，引出三角函數.

困難：對于定義的引出，教材并沒有進行對應關系的鋪墊，而是僅僅通過“利用單位圓上點的坐標也可以表示任意角的三角函數”，并未突出三角函數概念的本質.另外教材中的定義是符號化的，這與學生之前學過的特殊函數定義方式有所不同，例如，函數y=xa(x是自變量，α是常數)叫做冪函數，對學生的思維轉變有挑戰.此外教材給出正弦、余弦和正切定義后未給出正弦、余弦和正切函數的定義，而是直接給出三角函數的定義，這種大幅度跳躍的概念不利于學生理解.

3.2.2 新教材的內容安排

活動1：首先以函數的經驗和直角坐標系為背景，探究具體角的終邊與單位圓交點的坐標，以及坐標是否唯一確定，再思考任意一個角的終邊與單位圓的交點是否唯一確定.

亮點：將此部分設為探究環節，有利于學生的獨立思考與合作交流.大部分學生在合作思考中，通過作垂線利用初中學習的勾股定理計算出點的坐標，發現它們確實是唯一確定的，既可以提升數學運算能力，又能體會成功的樂趣.在思考任意一個角的終邊與單位圓的交點是否唯一確定這一問題時，對于教師而言，需要進行精心設計，可以使用信息技術手段，例如用《幾何畫板》進行直觀呈現，給學生以最佳的視覺效果，突出三角函數概念的本質，得出任意角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標都是唯一的，從而得到兩組對應關系.新教材的這種設計方式使得定義的呈現水到渠成而且環環相扣，由特殊到一般，突出函數概念的本質[2].

活動2：給出正弦函數、余弦函數，并明確指出正切無意義時角x的范圍，進一步給出正切函數的定義，表明三角函數的一般形式.

亮點：前后銜接特別緊密，使學生能明確三角函數的定義以及三要素，緊接著給出一般形式，與學生的已有認知建立聯系，與學生頭腦中原有的函數形式相契合，方便學生領悟.

活動3：設定探究環節，復習初中所學的銳角三角函數，并使角在特定范圍下，提出問題——同一個銳角用銳角三角函數定義求得的正弦與按本節課所學習的三角函數定義求得的正弦是否相等，對于余弦、正切也有相同的結論嗎？

亮點：此部分將銳角三角函數的定義與本節所學三角函數的定義建立起聯系，有利于新舊知識的融合，培養學生的邏輯思維和數學推理能力，并以相似三角形的相似比作為橋梁將二者聯系在一起，使學生學會解決問題的新方法，拓展學生思維，也為后續例題呈現作鋪墊.

3.3 例題的比較

3.3.1 舊教材的例題安排

活動1：第一道例題是求角的正弦、余弦和正切值.學生通過建立直角坐標系，作角，運用勾股定理計算角的終邊與單位圓交點的坐標，然后根據定義便可以直接得出三角函數值.此過程學生能夠明晰求三角函數值的步驟，進一步理解三角函數的內涵.

3.3.2 新教材的例題安排

3.4 習題的比較

舊教材的習題設置在整節結束后，并沒有在例題講完后直接設置,與新教材相比并沒有起到及時鞏固的作用，很容易造成學生對三角函數概念的遺忘.

新教材在例題后直接設置4道習題：利用三角函數定義求不同角的正弦、余弦和正切值；已知角終邊上一點的坐標，求角的三個三角函數值；點在圓上按順時針方向做勻速圓周運動，角速度為1 rad/s，圓的半徑為2，求某時刻點的位置.第4道題與其他題目有所不同，給出了物理量角速度，可促使學生從另一個角度理解三角函數的概念.這4道習題題型很豐富，突出了本節課所學內容的重點，加深學生對三角函數概念的理解與應用，促使學生能夠融會貫通、學以致用，提升理解與應用能力.