極小表示組對極大無關(guān)組的教學(xué)探討

章舜哲

（湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062）

在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中，極大無關(guān)組作為一個(gè)重要的概念，對證明矩陣的秩的很多不等式、求解線性方程組的基礎(chǔ)解系和研究線性空間基與維數(shù)等問題起著非常重要的作用。在以往的課程教學(xué)中，結(jié)合線性代數(shù)的經(jīng)典教材[1-5]，一般都是先提出線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念，然后在此基礎(chǔ)上提出極大無關(guān)組的概念。一些學(xué)生在剛開始學(xué)習(xí)接觸這方面的內(nèi)容時(shí)，容易產(chǎn)生一定的困惑，例如不太明白為什么要研究線性相關(guān)和線性無關(guān)，以及為何需要從一個(gè)向量組之中找出擁有最大個(gè)數(shù)的線性無關(guān)向量的部分組。雖然這兩個(gè)問題可以通過后續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行解答，但是結(jié)合以往的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，經(jīng)過我們的思考后，我們發(fā)現(xiàn)有更好的教學(xué)思路和方法可以進(jìn)行嘗試。本文將從一個(gè)向量組中選取最少的部分組來線性表示這個(gè)向量組的角度來給出極小表示組的概念，并由此引出線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念，最后我們證明極小表示組和極大無關(guān)組在概念上等價(jià)，從而讓學(xué)生更自然的去理解極大無關(guān)組的概念。

首先在第一部分中，我們給出線性代數(shù)教材[2]中線性相關(guān)，線性無關(guān)以及極大無關(guān)組的定義；第二部分通過一個(gè)用消元法解齊次線性方程組的例子，引出極小表示組—考察包含向量個(gè)數(shù)最少的部分組來線性表示一個(gè)向量組，從而進(jìn)一步引出線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。最后證明極大無關(guān)組和極小表示組是等價(jià)的；第三部分我們給出結(jié)論。

1 極大無關(guān)組

在討論極大無關(guān)組之前，首先我們需要弄清楚什么是線性相關(guān)、線性無關(guān)。線性代數(shù)作為一門邏輯性很強(qiáng)的課程，為了更加科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿枋觯诖藚⒖剂四壳熬€性代數(shù)課本教材上給出的線性相關(guān)以及線性無關(guān)的定義。通過對定義的學(xué)習(xí)，我們能夠制定階段性的學(xué)習(xí)目標(biāo)，結(jié)合書本學(xué)習(xí)與習(xí)題練習(xí)，能夠讓學(xué)生更加深刻的理解一些比較抽象的數(shù)學(xué)概念。

數(shù)學(xué)定義能夠非常科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年U述線性相關(guān)和線性無關(guān)，以及他們的區(qū)別。但是由于數(shù)學(xué)定義通常比較抽象，使得初學(xué)者難以理解，當(dāng)介紹到這里時(shí)，需要學(xué)生們發(fā)散的邏輯思維進(jìn)行思考，在授課過程中，老師也可以舉出一些生活中的例子幫助學(xué)生們加深對定義的理解。例如在日常美術(shù)繪畫中，提供了3種顏色的顏料，如果有辦法將其中某2種顏色的顏料經(jīng)過混合得到第3種顏色的顏料，那么可以理解為這3種不同顏色的顏料之間是相互依賴的，即線性相關(guān)的。反之，如果提供了3種顏色的顏料，但是沒有辦法將其中2種顏色的顏料經(jīng)過混合配比得到第3種顏色的顏料，那么這3種顏色的顏料就是相互獨(dú)立的，我們可以理解為它們是線性無關(guān)的。

為了進(jìn)一步利用矩陣與向量組秩的關(guān)系來處理線性方程組的相關(guān)信息，教材上一般考慮一個(gè)向量組中擁有最大個(gè)數(shù)的線性無關(guān)向量的部分組—極大線性無關(guān)向量組。極大線性無關(guān)向量組表示在線性空間中擁有向量個(gè)數(shù)最多的線性無關(guān)向量組，在研究很多線性代數(shù)的問題時(shí)，極大線性無關(guān)向量組扮演著非常重要的作用，而且一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組通常來說是它最為本質(zhì)的一個(gè)特征。為了能夠引導(dǎo)學(xué)生更好的理解極大線性無關(guān)向量組，首先我們先來看看它的定義。

在理解極大線性無關(guān)向量組的定義時(shí)，與向量組線性無關(guān)、線性相關(guān)均密切相關(guān)。學(xué)生們在進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)必須先對這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)有了一定的理解后，才能清晰的梳理清楚每個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯聯(lián)系，這對于初學(xué)者來說是一個(gè)挑戰(zhàn)。下面介紹一下我們提出的教學(xué)思路。

2 極小表示組

我們從用消元法解齊次線性方程組的全部解受到啟發(fā)，提出一個(gè)很自然的問題：“如果齊次線性方程組存在非零解，那么就有無窮多個(gè)解，這樣不方便我們研究。于是我們有必要探究這無窮多個(gè)解的數(shù)學(xué)規(guī)律？”。從代數(shù)的角度來看，我們希望能從這無窮多個(gè)解里找到一些部分解，使得這些部分解具有這無窮多個(gè)解的某些共同性質(zhì)。從幾何的角度來看，這無窮多個(gè)解在幾何空間中代表無窮多個(gè)點(diǎn)，則這無窮多個(gè)點(diǎn)的分布規(guī)律具體是什么樣的也是值得我們探討的。從而很自然的可以引出極小表示組的概念。

首先我們給出一個(gè)解齊次線性方程組的例子：

從這個(gè)具體的例子我們能夠發(fā)現(xiàn)這個(gè)齊次線性方程組有非零解，并且這無窮多個(gè)解可以只由兩個(gè)解來線性刻畫，因此，這兩個(gè)解就能代表這個(gè)齊次線性方程組所有的解。此外，很容易驗(yàn)證任何一個(gè)解都不能線性表示這個(gè)齊次線性方程組所有的解。受到這個(gè)思想的啟發(fā)，我們很自然的提出一個(gè)假設(shè)：對于一個(gè)向量組來說，我們希望能夠找到一個(gè)部分組能夠線性表示整個(gè)向量組，而且這個(gè)部分組所含向量的個(gè)數(shù)最小。從而引出極小表示組的定義。

滿足：

（II）在滿足（I）的條件下，最小。

請注意在這個(gè)定義2.1中，我們沒有提到線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念。

雖然在定義2.1中給出了極小表示組的定義，但是如何利用條件（II）來確定一個(gè)向量組的極小表示組并不方便。因此，我們需要對最小這個(gè)條件換一種刻畫的方式。假設(shè)不是最小，那么在向量組中存在個(gè)向量，使得向量組中每個(gè)向量同樣能夠由向量組線性表示。因此

研究齊次線性方程組

最后，我們來驗(yàn)證按照此方式給出定義2.1以及線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義的合理性。下面我們只需要證明定義1.2和定義2.1是等價(jià)的。

（1），（2）成立 （I），（II）成立。

證明：（必要性）線性代數(shù)教材[2]中3.4節(jié)定理1已給出由（1），（2）可得出（I）成立。下面我們證明最小。利用反證法，假設(shè)在向量組中有個(gè)向量，使得向量組中每個(gè)向量也能夠由向量組線性表示。因此我們得到，由線性代數(shù)教材[2]中3.3節(jié)定理5可知，若，則向量組線性相關(guān)，這與（1）矛盾。故必要性成立。

3 結(jié)論

本文從用消元法解齊次線性方程組的全部解中受到啟發(fā)，希望用向量個(gè)數(shù)最少的部分解來線性表示此方程組的全部解，從而很自然引出極小相關(guān)組的定義。然后為了方便刻畫向量個(gè)數(shù)最少，我們引出了線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義，并證明了極大無關(guān)組和極小表示組是等價(jià)的，從而說明了這一教學(xué)思路的可行性。通過這種教學(xué)思維方式，能充分激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和興趣，引導(dǎo)他們在課堂上進(jìn)行創(chuàng)新性學(xué)習(xí)。相信學(xué)習(xí)了本課程之后，學(xué)生能夠從不同角度以辯證的思路看待某個(gè)數(shù)學(xué)問題，對知識(shí)的理解也會(huì)更加深刻。