非參數統計課程思政案例研究

汪政紅，郭仲凱

（中南民族大學數學與統計學學院，湖北 武漢 430074）

0 引言

課程思政是指將各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應，把“立德樹人”作為教育的根本任務的一種綜合教育理念。2019年10月教育部發布的《關于一流本科課程建設的實施意見》中，對教師在教書育人與課程思政方面提出了具體要求：“推動課程思政的理念形成廣泛共識，構建全員全程全方位育人大格局。確立以學生為中心、產出導向、持續改進的理念，提升課程的高階性，突出課程的創新性，增加課程的挑戰度。”作為一名理工科課程教師，做好課程思政是我們的責任和使命，實施好課程思政是我們面臨的挑戰。本文將以非參數統計課程為例，進行理工類課程思政的實踐探索。

非參數統計是應用統計專業的一門主干課程，是統計學的一個重要分支，以數理統計為先修課程，數理統計的先修課程是概率論，概率論的先修課程是數學分析、高等代數，依照序貫原則，非參數統計常在高年級或研究生階段開設。作為參數統計方法的重要補充，非參數統計對總體分布沒有任何假定前提，更接近真實數據，因而方法靈活多樣，適用范圍廣，應用性強，但理論推導相對復雜，是一門教學難度偏大的課程。因此挖掘和探索生動有趣的教學元素，成為落實課程思政的迫切需求。

關于課程思政的一般論述在網上有很多資源，包括論文、講座等，其中葉志明等（2020，2021）[1-2]在論文中均給出了教師在教書育人與課程思政等方面可借鑒的理念、方法與案例，言簡意賅、發人深省。周茂袁等（2021）[3]一文結合非參數統計課程利用正能量擬人化的方式講解枯燥的知識點（核密度估計），同時將“學會分享”的思政思想融入其中，使我深受啟發，遂結合本人多年從事《非參數統計》課程教學的經驗，對課程思政的案例進行深入挖掘和探索。

1 學科起源相關案例

1940年代，Wilcoxon[4]是美國氰胺公司的一個化學家，使用當時的標準方法即t檢驗和Fisher的方差分析分析實驗數據時，發現由于“極端值”或樣本太大太小的影響，結果產生了異常，他基于他所接收到的最新的統計理念：科學研究或測量得到的所有觀測具有同等效力，認為不能人為地刪除“異常值”，為了得到一個好的分析結果而去挑選看上去正確的數據。因此他試圖找到一種新的方法分析實驗數據，降低“異常值”對結果的影響。Wilcoxon首先嘗試搜索相關文獻，沒有找到；然后他被迫按照自己的想法進行基于排列組合的計算，寫了一篇論文，投稿到Biometrics期刊，他投稿的目的是希望審稿人能告訴他之前哪里發過這樣的論文，這樣他可以驗證一下自己的計算是否有誤，因為他覺得自己這篇論文不可能是原創。但是，事與愿違，審稿人和編輯判斷這是原創性工作，并在1945年將論文發布。

緊接著，1947年，一位經濟學家HenryB.Mann和一位統計學研究生Whitney發表了一篇論文，論文中提出了一種排序法，涉及一系列簡單但冗長的計數方法，用于確認1940年的工資分布比1944年的工資分布低。很快人們發現Wilcoxon檢驗與Mann-Whitney檢驗關系密切，并證明了二者的等價性。這種檢驗的特點是沒有對任何總體參數進行估計，這是一種非參數檢驗！Wilcoxon的開創性工作帶來了一個新的學科分支──非參數統計的蓬勃發展，這一學科到20世紀60年代成為學術界的研究熱點。

化學家Wilcoxon發現自己的工作開創了一個新的統計分支，大受鼓舞，對其產生濃厚的熱情，逐漸離開了化學領域，進入統計領域，1960年開始進入佛羅里達州立大學統計系，擔任統計教員，培養統計系研究生，直至去世。

這樣的故事每次都能極大地吸引學生的注意力，屢試不爽，同時故事中的科學家充滿正能量，具有很好的育人價值。Wilcoxon先生尊重每一個真實的實驗數據，謹慎對待分析結果，是我們每一個統計專業人士必備的素養；Wilc oxon先生謙虛、嚴謹、低調的治學態度，是我們每一個研究者應該學習的素質。Wilcoxon先生因為興趣從化學領域轉行到統計領域，職業生涯發生了巨大改變，是以最佳的方式詮釋了愛因斯坦的名言──“興趣是最好的老師”。我們可以借機引導學生在選擇就業或深造方向時，一定要結合自身的興趣，做自己喜歡、擅長的事情，將時間投入到熱愛的工作中，我們才能感到自我滿足，煥發出難以估量的力量。

此外，這個故事還可以將教學環節中四個很重要的知識點[5]串聯起來，單樣本符號秩檢驗、兩獨立樣本秩和檢驗、多個獨立樣本的 Kruskal-Wallis檢驗和 Jonckheere-Terpstra檢驗，見圖1。涉及第①、②個知識點的教學時，教師可以以小樣本為例重現歷史故事中的困境，手工計算展示這其中的排列組合的技巧。隨著樣本增大，計算復雜度增加，鼓勵大家借助現代軟件技術編程實現其中的計算和圖形化展示。從簡單到復雜，同學們不僅理解和掌握了這兩種方法的原理和思想，同時體驗到學科探索的過程。

圖1 非參數統計知識點思維導圖

第②個知識點的名稱來源于學科起源故事中的人物名稱，Wilcoxon和Mann-Whitney是對同一個問題從兩個不同的角度構造檢驗統計量，前者是對數據排序，取秩代替原始數據，從而減少“異常值”的影響，構造秩統計量，后來被發展為非參數統計里重要的“秩方法”；后者是將兩個樣本的觀測值兩兩做比較，取所有可能對子中滿足“<”或“>”關系的對子個數為檢驗統計量，后來發展為“U統計量方法”。將這兩種方法分別推廣至多樣本位置檢驗，就是后面所學的Kruskal-Wallis檢驗和Jonckheere-Terpstra檢驗，即第③、④個知識點。Kruskal-Wallis檢驗統計量是結合了秩方法和 Fisher的方差分析的思想而構造出來的秩統計量，可以看做是Wilcoxon秩和檢驗從兩樣本到多樣本的推廣；J-T檢驗延續了U統計量的思想，可以看作是Mann-Whitney檢驗從兩樣本到多樣本的推廣。再將細節講清楚，同學們就可以感受到原創思想是科學創作的靈魂，如何一步步從簡單到復雜創造出許多新的方法。這個故事是非參數統計歷史上最有名的故事之一，講好它用好它，能將專業課程教學講活的同時實現育人于潤物細無聲中，可謂一舉兩得。

2 學科歷史相關案例

到了20世紀90年代，非參數統計的研究和應用主要集中在非參數密度估計和非參數回歸，代表人物有Silverman和美籍華人范劍青，提到這段歷史，我通常會濃墨重彩地介紹華人統計學家范劍青，被譽為統計學界的傳奇人物。他是非參數建模與高維復雜數據建模等方面的國際權威，有著巨大的貢獻和國際影響。他首創了局部建模法、非漸近替代方法、非凹性懲罰似然法、獨立篩選法等等為非參數統計的研究開創了廣闊的研究領域，并廣泛應用于經濟、金融、醫學、資訊、生物科技及社會科學領域，如金融資產定價、風險管理、機器學習、生物統計等。范教授發表了一百多篇論文，其中大多刊登在統計學、金融學及其他科學的頂尖刊物，出版兩本權威性專著。他的文章引用次數從2001年第一次排名以來，一直位列世界數學家排名榜的前十名。2000年時年僅38歲的他憑借首創的“非參數建模”獲得COPSS總統獎，是第一位獲此殊榮的中國大陸學者，該獎為國際統計學領域最高獎項之一。

百度很容易查到范老師的生平，1982年畢業于復旦大學數學系，隨后考入中國科學院應用數學所攻讀碩士，1986年進入美國加州伯克利大學攻讀博士學位，2003年起任普林斯頓大學金融工程終身教授。范老師一直活躍在學術界，并不斷往返于國內外，熱心推動中國統計學、金融學和大數據的教育和科研工作，長期與國內保持密切的科研工作。范老師能取得如此偉大的成就，一是興趣使然，二是愛國情懷使然，從人民日報記者對他的采訪中[6]可以窺見。“這么多年堅持下來，是因為我對統計事業有著特殊的情懷。”這種特殊的情懷就是要做對社會有用的科學，“我覺得數學跟社會的溝通是通過統計學來完成的。”在海外游學多年，他看到了中國在統計學研究方面與國際的差距，“希望統計學在中國能夠得到承認和發展”，“為國家做事，這是我對祖國的感情。”

在課堂上我們可以截取范老師的講座片段給同學們觀看，一來目睹學者容顏，感受學者的謙遜氣質，二來可以從范老師的講座中了解統計學的前沿研究內容、研究方法和觀點等，這對擴充同學們的知識面、提升專業學習興趣幫助很大。講述中國科學家故事，借助范老師的研究內容向同學們展望非參數統計學科發展的未來，同時傳達愛國主義情懷，發揚科學家精神，如果每個同學都有如此情懷，偉大中國的復興夢必定能實現。

3 學科引例相關案例

根據實踐經驗，若已知數據的總體服從某種分布，例如正態分布，只是其中的幾個參數未知，如均值或方差未知，這種類型假設條件下使用參數方法非常有效，因為既利用了數據的信息，又利用了產生數據的總體的信息。但在實踐中，若難以假設總體具有某種分布，這時仍采用參數數據分析方法，其統計結果是不可信的，甚至有可能是錯的。此時，舉個例子演示可以達到事半功倍的效果。

引例1：有兩組學生的成績，第一組為10名，成績為：6個100分，4個99分，第二組為兩名，成績為50分和0分，試分別對這兩組同學的平均分是否為100分進行假設檢驗。

如果分別對兩組數據采用參數統計方法，即單樣本t檢驗，則第一組數據會拒絕均值為100分的零假設，而第二組數據則會接受均值為100分的零假設，這看起來十分荒謬，出錯的原因在哪里呢？在于數據并不滿足參數檢驗方法所要求的假設。

引例2[7]：哪一個企業職工的工資高？這里有22名職工的工資，其中的12名來自企業1，另外10名來自企業2，數據如下：

企業1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 60企業2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 50

如果采用參數統計方法，即兩獨立樣本t檢驗，則不能拒絕這兩個企業職工工資沒有顯著差異的原假設，與直觀判斷相互矛盾，原因就在于假設兩個企業的職工工資服從正態分布，而實際上工資數據一般是非對稱的右拖尾數據，不能滿足正態假設。那么正確的解決思路呢？學習非參數統計的方法，勢在必行。

通過這些簡單的引例，借助R軟件，圖文并茂地向同學們展示參數統計的結論以及參數方法遇到的困境，展示非參數統計的魅力，激發同學們的學習興趣。

4 學科實踐相關案例

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，講完各種方法的理論框架和原理之后，就是利用統計軟件驗證我們的結論了，也就涉及非參數統計的實踐教學了。首先，筆者推薦大家使用開源免費的R軟件，R是一套開源的數據分析解決方案，由一個龐大、活躍的全球性研究型社區維護。學者們將自己論文中使用的代碼打包存放在社區網站并定期更新，我們遇到類似問題則可以免費下載使用，用完之后，作為回饋，我們也可以把自己寫得好的程序打包放到共享社區，正是由于千千萬萬貢獻者的免費共享，加上國際志愿者團隊的工作，R語言社區實現了共建自治和蓬勃發展。此外，筆者一直在教學中秉承學以致用的理念，鼓勵大家將非參數統計的豐富思想靈活應用到實踐中。在今年的統計建模大賽中，就有兩位同學將非參數統計中的方法──游程檢驗和 Kendall W 協同系數檢驗應用到自己的論文寫作中，使論文增色不少。游程檢驗用于檢驗一個二元序列如000101001111的隨機性，一位同學在驗證問卷調查數據的隨機性時，將收集的問卷中的二元變量如性別的取值列出來得到一列0、1序列值，使用游程檢驗說明這個序列是隨機的，從而從側面說明這個調查問卷的數據收集是隨機的。另一位同學在研究中國沿海地區高質量發展水平測度時，使用了三種不同的方法對各沿海城市進行綜合評價，得到了三組不同的排序結果，她創新性地采用了 Kendall W 協同系數及相關檢驗對這三種方法的一致性進行了檢測，結果發現三種不同測度方法得出的評價結果一致性程度很高，從而驗證了文中使用的評價測度的合理性。

5 結語

通過以上案例，希望可以幫助大家在將專業知識點講得生動有趣的同時，將學科思維、探索奮進、開放共享的理念傳遞給學生，從而落實非參數統計的課程思政。