信息技術助力直觀想象素養落實的案例研究*
——以幾何畫板軟件教學為例

張俊峰 柳軍

（1.臨泉縣第三中學，安徽 阜陽 236400；2.臨泉縣教育局教研室，安徽 阜陽 236400）

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《課標（2022 年版）》）指出：注重信息技術與數學教學的融合，合理利用現代信息技術，設計生動的教學活動，提供豐富的學習資源，促進教學方式方法的變革。教師可以利用信息技術數學專用軟件開展數學實驗，將抽象的數學知識直觀化，促進學生對數學概念的理解和數學知識的建構。在實際問題解決中，創設合理的信息化學習環境，提升學生的探究熱情，開闊學生的視野，激發學生的想象力，提高學生的信息素養。《普通高中數學課程標準（2017 年版）》（以下簡稱《課標（2017 年版）》）也強調：注重信息技術運用，實現信息技術與數學課程的深度融合。因此，數學教學中應用信息技術，是時代發展的必然要求，不以人的意志為轉移。教師必須改變自己的教學行為，把提高信息技術與數學教學整合水平作為專業化發展的必由之路。本文從幾何畫板的功能簡介、直觀想象的內涵理解、直觀想象的案例研究出發，提出信息技術與數學課堂教學融合的一些思考。

一、幾何畫板的功能簡介

幾何畫板（The Geometer's Sketchpad）軟件，是美國Key Curriculum Press 公司研發的優秀教育軟件，它的全名是“幾何畫板—21 世紀的動態幾何”。1996 年，該公司授權人民教育出版社發行該軟件的中文版，同年，全國中小學計算機教育研究中心開始大力推廣“幾何畫板軟件”。該軟件具有強大的幾何繪圖、測量與計算、構圖與變換、函數作圖與分析等功能，能夠把隱藏的數學關系顯性化，把抽象的數學對象直觀化，把靜態的圖形動態化，使學生在一種直觀、動態的情境中觀察發現數學對象和關系的變化，體會探索數學規律和奧秘的藝術享受。

二、直觀想象的內涵理解

（一）直觀想象的內涵

《課標（2017 年版）》把“直觀想象”描述為：“借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。”它與其他數學核心素養密切聯系。對于“幾何直觀”，徐利治教授認為它是一種感知，即借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知[1]。孔凡哲、史寧中教授則認為幾何直觀屬于能力范疇，即借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力[2]。“空間想象”則是以人們以已有的事物表象為基礎，對該事物的幾何表象進行加工、改造，甚至創造新的形象。二者既有區別，也有密切的聯系，即幾何直觀為空間想象提供了認識基礎，空間想象直接為幾何直觀和由之向整體把握的發展提供了方法[3]。因此，直觀想象并非幾何直觀與空間想象的簡單相加，而是二者的一種有機整合，即直觀想象素養作用在學生身上所表現出來的思維品質與關鍵能力。

關于初中階段的數學直觀想象素養，《課標（2022 年版）》已經明確指出，它對應著“幾何直觀”和“空間觀念”。因此，初中階段培養學生的直觀想象素養，實質上就是發展學生的“幾何直觀”與“空間觀念”。

（二）直觀想象的內容領域

“直觀想象”素養的適用領域，基本涵蓋初中數學課程內容（數與代數、圖形與幾何、概率與統計、綜合與實踐）的各個模塊。

在“數與代數”模塊，基于數與式的結構特征，建構相應的幾何模型；或依據幾何模型的特征，想象相應的代數結構；把數與式的特征、大小與相互關系轉化為幾何圖形的形狀、大小與位置關系。比如由“平方差公式”“完全平方差”的代數結構，聯想、構建幾何圖形，借助幾何直觀理解公式，了解公式的幾何意義。再比如依托數軸建立數（實數）與形（點）之間的聯系；借助數軸直觀、形象地描述絕對值的幾何意義、不等式的解集；借助平面直角坐標系，實現“有序數對”與點的內在統一；由函數解析式畫出相應函數的圖像利用函數的圖像研究它的性質等，發展學生的幾何直觀與空間觀念。

在“圖形與幾何”模塊，借助圖形直觀，運用觀察、思考、實驗、猜想、證明等思維活動方式，探索圖形的性質和運動變化規律等。

在“概率與統計”模塊，利用計算機從數據庫中獲得數據，繪制合適的統計圖（表），根據統計圖（表）描述和分析問題；也可以利用計算機的隨機模擬結果，幫助學生更好地理解隨機事件以及隨機事件發生的概率等。

在“綜合與實踐”模塊，借助幾何直觀與空間觀念，解決實際（或綜合性）問題，發展直觀想象素養。

三、直觀想象的案例研究

基于學生已有的數學知識、學習經驗、思維水平，以發展學生的直觀想象素養為導向，依托幾何畫板教學手段，創設合適的課堂教學情境與問題，引領學生積極主動參與數學知識的獲取過程，發展學生的數學思維與直觀想象素養。以此思想為指導，舉以下三個案例作示范。

案例1：探索角平分線的性質

角平分線的性質是滬科版數學八年級上冊第15 章第4 節第2 課時的內容（第1 課時內容是尺規法畫“角平分線”和“過一點畫垂線”），教材因篇幅所限僅給出一個“思考”，然后呈現性質的證明過程，進而歸納性質定理。之后，通過“思考”性質定理的逆命題得到判定定理。筆者以為“角的平分線”與“線段的垂直平分線”類似，“性質的探索與發現”是教學的重點，同時也是難點。從知識邏輯看，“尺規法”作出的角平分線是性質探索的起點，以“尺規法”得到的圖形為背景材料探究性質，能體現知識的自然延伸和發展。從學生思維的視角看，“怎么想到研究角平分線上的點到角兩邊的距離”“怎樣能體現角平分線上點的任意性”是學生的疑點。因此，通過數學實驗讓學生經歷定理的形成過程，理解“角平分線上點的任意性”和“到角兩邊距離相等”的含義，是加深定理理解和應用的關鍵。教學時可做如下設計：

活動1：任意畫一個角，并用“尺規法”作出這個角的平分線如（圖1）。

活動2：（以圖1 為背景材料提出問題）若已知OC=OD,OP是∠AOB的平分線，PC與PD相等嗎？為什么？若點P是∠AOB的平分線上任意點，上述結論還成立嗎？由此，你能得到什么結論？（待學生思考交流后，教師引導學生借助幾何畫板進行數學實驗。即在幾何畫板中度量出PC與PD的長度，鼠標拖動點P在角平分線上移動，觀察PC與PD長度的變化，歸納結論）

活動3：活動2 說明“角平分線上任意點到角兩邊的特殊點（滿足OC=OD的點）的距離（兩點間的距離）相等”，如果把這里的“距離”改為“點P到角兩邊OA與OB的距離（點到直線的距離），即從點P分別向OA、OB作垂線，設垂足為點C、D，那么PC，PD的長度還相等嗎？引導學進行如下實驗：

步驟1：在角平分線上任意取一點，從這個點向角兩邊作垂線，通過度量、折疊的方法，猜想：這個點到角兩邊的距離有何關系？

步驟2：在幾何畫板中，構造出∠AOB的平分線OM和任意點P，從點P向角的兩邊構造垂線（設垂足分別為點C、D）（圖2），度量出PC、PD的長。然后讓學生用鼠標拖動點P移動，觀察PC、PD的長有何變化？再改變∠AOB度數的大小，重復上述操作，有什么發現？驗證“步驟1”的猜想，抽象結論。

活動4：證明猜想（略）。

案例2：探究函數y=ax2+bx+c 的圖象與參數的關系

對于函數性質的研究，利用圖象在運動變化中進行觀察是基本方法。然而，課堂觀察發現，在函數性質的學習中，大多的教師通常是要求學生用“描點法”作出有限的幾個特殊函數的圖象（或教師自己先作好圖象），然后讓學生觀察圖象得到性質。在這樣的教學環境下，學生對于為什么要畫這幾個函數的圖象，為什么這幾個函數的圖象可以代表一般，都是不得而知的。在信息技術環境下，教師利用幾何畫板強大的構圖和圖形變換功能，使隱蔽的函數特征得到顯示，呈現“特殊到一般”的研究問題的過程，從而延伸學生的視角，發展直觀想象素養。基于此思考，可做如下設計：

活動1：請給出幾組特殊值，用描點法畫出函數的圖象，觀察圖象特征，猜想函數的圖象與參數的關系。

活動2：實驗。

步驟1：引導學生運用幾何畫板“繪圖”工具，新建參數a,b,c，再新建函數y=ax2+bx+c，得到圖3。

步驟2：請學生任意改變參數a的值，其他參數值不變，觀察圖象的變化規律。然后再請學生操作（按Shift+“加號鍵”或“減號鍵”），使參數a的值逐漸增大或減小，感受取任意值時圖象的變化規律，歸納性質。（同樣，改變參數b，c的值，觀察圖象的變化規律（見圖4）

步驟3：由上述操作發現，當a=0，b≠0時，二次函數的圖象變為一條直線，解析式化為一次函數。按照上述方式操作，分別改變b，c的值，可以探究一次函數的圖象與參數的關系。

案例3：精準構圖，發展直觀想象

北師大版數學選修2-1“雙曲線及其標準方程”一節，教材設計了一個“拉鏈試驗”，意在通過操作實驗畫出雙曲線模型，發現雙曲線的幾何特征，歸納定義。教材設計過程符合圓錐曲線概念生成的一般路徑。然而，雖然此試驗設計的理想是“豐滿”的，但現實卻是“骨感”的。如在一次省優質課課堂展示中，教師請兩位同學利用自制的畫圖工具合作畫雙曲線，然而嘗試了三次都沒能成功，第四次才勉強畫出圖形，此時圖形已經看不出雙曲線的“模樣”了。雖然讓學生動手操作實驗，能夠積累畫雙曲線的活動經驗，然而對于初次學習雙曲線的學生來說并不是很好的經歷。基于上述思考，可以先引導學生回顧橢圓的概念、標準方程和研究思路，然后類比橢圓定義提出問題：“平面內到兩個定點的距離之差為常數的點的軌跡是什么呢？”讓學生思考，嘗試畫圖、猜想結論。接著利用幾何畫板模擬“拉鏈試驗”（見圖5），并度量計算出拉鏈上的點到兩定點的差，引導學生觀察當拉鏈在打開與閉合時它們的“差”是否發生改變。通過幾何畫板演示，直觀、形象、精準地呈現雙曲線的動態生成過程，進而發現雙曲線的幾何特征，水到渠成地得到雙曲線的概念，使數學抽象、直觀想象素養自然落地。

四、兩點思考

（一）信息技術的運用應遵循數學學科整合原則

現代信息技術的廣泛應用正在對數學課程內容、數學教學、數學學習等方面產生深刻的影響。例如借助幾何畫板的“可視化”，能夠為學生理解概念創設背景，為學生探索規律啟發思路，為學生解決問題提供直觀感受，引導學生自主獲取資源等。但是，我們要做到真正地理解技術，理解信息技術只是服務于數學教學目標的手段；理解技術不能改變數學教學的性質和規律，不能被用來代替基本的數學活動，更不能期望依賴信息技術創造數學教育的奇跡；理解信息技術的使用不是要替代傳統的教學工具，而是要發揮信息技術的功能，做傳統的數學教學不能做或做得不太好的事情。因此，對信息技術的運用要把握好“度”，即要遵循“必要性”“平衡性”“實踐性”“實用性”“廣泛性”原則[4]。對于有些教學內容，使用技術有利于學生更好地理解，我們就使用；而有些內容不需要使用，我們也不要勉強。要認清信息技術“輔助手段”的角色，不能喧賓奪主，為了使用而使用。畢竟數學是一門思維的科學，學生思維能力的培養還要靠獨立思考與自主探究，更離不開數學抽象與邏輯推理，這些都是信息技術所不能獨立完成的。

（二）信息技術的運用應體現學生發展為本理念

《課標（2017 年版）》指出：高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。數學課程融入信息技術的初衷也是如此。而信息技術作為一種功能強大的教學軟件，在培育學生的信息素養、幫助學生深刻理解數學的本質方面起著獨特的作用。只有清楚了這一點，我們的教學才不會“跑偏”。由于數學的高度抽象性、數學概念聯系的廣泛性和復雜性等，這就使得有些教學內容利用傳統的教學手段學生往往很難理解，或不易操作。而信息技術所具有的“形象化”“多元聯系表示”“連續性”等功能恰好可以很好地彌補這一缺憾。同時，信息技術可以推動數學實驗，嘗試模擬，提出猜想等非形式化的、具有創造性的數學思維活動，使得形象思維與抽象邏輯思維相得益彰，促進“學生發展為本”理念的有效落實。