問題串教學(xué)：數(shù)學(xué)課堂的“主線拉動”

孫仕賢

［摘要］ 問題是數(shù)學(xué)課堂的核心要素，課堂主線是一堂數(shù)學(xué)課的方向引領(lǐng)，將課堂問題結(jié)合課堂主線進行串聯(lián)，形成的問題串對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大的幫助。本文以“三次函數(shù)圖像與性質(zhì)探究”課堂教學(xué)為例，基于問題串探究教學(xué)案例，通過教后反思，結(jié)合案例分析，提出設(shè)置怎樣的問題串可以拉動課堂主線的相關(guān)策略。

［關(guān)鍵詞］ 問題串；三次函數(shù)；課堂主線；數(shù)學(xué)實驗

問題串是指教師在教學(xué)過程中根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)計出的一系列與本節(jié)課邏輯相關(guān)的層次性問題。問題串有利于營造和諧互動的課堂氛圍，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，突破教學(xué)的重點、難點。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生從簡單的特例入手，再不斷地改變已知條件設(shè)置問題，提高思維難度，這種螺旋上升式的問題串教學(xué)能極大地推動學(xué)生思維水平的發(fā)展。

如何設(shè)置問題串是讓一堂數(shù)學(xué)課具有靈魂的關(guān)鍵。問題串的設(shè)置應(yīng)圍繞一個主線進行，每一個問題都不能獨立存在，而應(yīng)由一根繩子一般的主線所串聯(lián)起來，脫離了主線串聯(lián)的問題串很難有效地達到預(yù)期的課堂效果。本文中，筆者以一節(jié)公開課“三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)探究”為例，研究問題串教學(xué)拉動數(shù)學(xué)課主線的積極影響，并給出了運用問題串來拉動課堂主線的策略。

一、三次函數(shù)問題串探究教學(xué)意義

三次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要的一類函數(shù)，很多典型的綜合大題都是以三次函數(shù)為載體而展開的。同時，三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是一個二次函數(shù)，學(xué)生可以利用學(xué)過的二次函數(shù)相關(guān)經(jīng)驗，類比研究三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

因為涉及函數(shù)圖像研究，所以有效地在課堂體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是本節(jié)課的重中之重。學(xué)生對用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并不陌生，但確定準(zhǔn)確、可行的函數(shù)圖像研究方向，學(xué)生還有一定的困難。其次，能否將抽象的數(shù)學(xué)代數(shù)式和直觀的函數(shù)圖像關(guān)聯(lián)與對應(yīng)起來，這反映出一種很重要的數(shù)學(xué)思維能力——數(shù)形結(jié)合，而這也是本節(jié)課的研究主題之一。此外，對于三次函數(shù)的圖像分類方式，從圖像的直觀呈現(xiàn)到最后的確定代數(shù)上的分類標(biāo)準(zhǔn)，其間的過程讓學(xué)生深刻感受到了分類討論思想的重要性，如何尋找分類的標(biāo)準(zhǔn)，也是學(xué)生需要掌握的一項重要能力。

因此，本節(jié)課為了達到訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)的目標(biāo)，通過設(shè)置探究活動和設(shè)計問題串的形式，將三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)探究過程經(jīng)過一系列的小組探究活動、小組問題討論、學(xué)生數(shù)學(xué)實驗、學(xué)生課堂總結(jié)展示等方式，用問題串將各項活動串聯(lián)起來，讓學(xué)生由表及里、從具體到抽象、從復(fù)雜到簡化地在課堂上完成了三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)探究。這樣的問題串教學(xué)模式，將整節(jié)課連成片，學(xué)生學(xué)習(xí)層次逐漸遞進，主線清晰，課堂上學(xué)生互動頻繁，課堂效果尚佳。下面筆者截取課堂中部分問題串的實錄進行展示，并對設(shè)計內(nèi)容進行分析和探究。

二、課堂問題串設(shè)計分析

（一）復(fù)習(xí)回顧，舊問題引入新知

函數(shù)本不是學(xué)生陌生的內(nèi)容，研究具體函數(shù)的基本思路學(xué)生也已具備，但在高二下學(xué)期這個節(jié)點，考慮到本節(jié)內(nèi)容和高一函數(shù)知識的縱向聯(lián)系，通過設(shè)置問題串，利用合適的數(shù)學(xué)問題情境有助于學(xué)生回顧研究三次函數(shù)所需的預(yù)備知識，這樣有利于課堂活動的開展及后續(xù)問題串的設(shè)置。課堂問題串如下：

問題一：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，下面老師想請大家來一同回顧下，對于一般的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，b，c∈R）中，系數(shù)變化對函數(shù)圖像有什么影響？

問題二：對于三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R），其定義域為R，它的函數(shù)圖像是什么樣的呢？

通過回顧二次函數(shù)相關(guān)知識，學(xué)生體悟到函數(shù)解析式中系數(shù)對圖像的影響，同時也為下面開展一般的三次函數(shù)圖像與性質(zhì)探究打下知識基礎(chǔ)。課堂上，學(xué)生對二次函數(shù)的性質(zhì)掌握得很熟練，但當(dāng)新的問題出現(xiàn)時，對于如何進一步探究表現(xiàn)出手足無措的情況。課堂上的這一狀況讓筆者更加堅定本節(jié)課對學(xué)生函數(shù)過往知識復(fù)習(xí)是有必要的。這樣的課堂問題串讓學(xué)生產(chǎn)生了知識需求感，從而奠定了這節(jié)課探究新知的基調(diào)。

（二）數(shù)學(xué)實驗，主問題探究新知

數(shù)學(xué)課堂往往充滿了思維的碰撞，但數(shù)學(xué)的抽象性是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的核心困難。為了讓數(shù)學(xué)課堂更具趣味性，便于學(xué)生直觀理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，本節(jié)課采用了現(xiàn)代科技手段，開展數(shù)學(xué)實驗的方式，利用問題串進行實驗探究，啟發(fā)與引導(dǎo)學(xué)生開展三次函數(shù)的探究學(xué)習(xí)。為了讓學(xué)生有明確的探究方向，筆者在數(shù)學(xué)實驗環(huán)節(jié)設(shè)置了如下的問題串：

問題一：請同學(xué)們打開平板，在Geogebra圖形計算器上輸入三次函數(shù)表達式y(tǒng)=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R），拖動數(shù)軸改變a、b、c、d的取值，觀察三次函數(shù)圖像的動態(tài)變化，并思考：根據(jù)你的觀察，當(dāng)a、b、c、d變化時，圖像會有哪些可能的情況？

問題二：我們想知道各系數(shù)對三次函數(shù)圖像的影響，其實就是研究各系數(shù)對函數(shù)單調(diào)性的影響，你會選擇什么知識作為你研究一個新函數(shù)圖像與性質(zhì)的工具？

問題三：請大家嘗試?yán)L制三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的導(dǎo)函數(shù)y'=3ax3+2bx+c圖像，你會畫出哪些情況呢？

（學(xué)生活動后，學(xué)生代表展示成果）

問題四：你畫出這些圖形的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？

問題五：現(xiàn)在你能根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的分類情況，畫出對應(yīng)原函數(shù)的圖像嗎？

問題六：那我們可以得到什么樣的探究結(jié)論？

（學(xué)生活動，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像繪制原函數(shù)圖像，總結(jié)結(jié)論，填寫總結(jié)表格并展示）

第二部分的問題串設(shè)計是本節(jié)課新知探究的重點，為了讓學(xué)生直觀感受到系數(shù)改變對圖像的影響，筆者結(jié)合GGB圖形計算器設(shè)置探究問題串，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像，得出大致的圖像規(guī)律。

在這個環(huán)節(jié)中學(xué)生獲得了充足的數(shù)學(xué)實驗探究時間，得到的圖像分類也在其他同學(xué)的補充下完整呈現(xiàn)。這也和上一個環(huán)節(jié)中的問題設(shè)置有關(guān)聯(lián)，學(xué)生在產(chǎn)生一探究竟的欲望后，他們對于數(shù)學(xué)實驗的探究觀察就會愈發(fā)的細致，因此得出的結(jié)論也會趨于準(zhǔn)確。

有了直觀的分類后，對于其背后隱藏的數(shù)學(xué)知識，筆者也通過設(shè)置問題串的方式，引導(dǎo)學(xué)生思考其理論依據(jù)，幫助學(xué)生確立研究該數(shù)學(xué)問題的工具和方法。在這樣的探究后，學(xué)生便較好地掌握了如何研究函數(shù)圖像與性質(zhì)的基本方法和工具，這對以后深入學(xué)習(xí)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識起到了重要的鋪墊作用。

在課堂上學(xué)生對筆者設(shè)置的問題給出了準(zhǔn)確回答，從選擇研究工具為導(dǎo)數(shù)，再到探究導(dǎo)函數(shù)圖像和原函數(shù)圖像的對應(yīng)關(guān)系，他們在對問題的不斷深入中加深了對知識的理解，最終由學(xué)生自主探究出相關(guān)結(jié)論，達到筆者設(shè)置問題串的目的。

（三）知識拓展，問題串應(yīng)用新知

檢驗所學(xué)內(nèi)容是否掌握的方式無外乎能否有效地應(yīng)用。三次函數(shù)的學(xué)習(xí)除了掌握其圖像和系數(shù)關(guān)系，導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)圖像關(guān)系之外，還應(yīng)注重數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)。本節(jié)內(nèi)容涉及了分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，筆者設(shè)計了有關(guān)三次函數(shù)零點個數(shù)的問題串。

問題一：結(jié)合三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，請同學(xué)們思考三次函數(shù)的零點會有哪些可能的情況？

問題二：以上的零點情況都有哪些約束條件？

學(xué)生在三次函數(shù)圖像的分類標(biāo)準(zhǔn)下思考三次函數(shù)零點問題，這對培養(yǎng)分類討論思想大有裨益，也能讓他們明白掌握思想方法比死記硬背結(jié)論更加有效。

課堂上，學(xué)生經(jīng)過問題串思考，對于這個拓展探究基本上有了研究方向，很快就通過圖像分類，確定分類標(biāo)準(zhǔn)和分類情況，得出最終結(jié)論。不難發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課的問題串設(shè)置達到了提升學(xué)生研究函數(shù)圖像與性質(zhì)的教學(xué)目標(biāo)。

（四）課堂小結(jié)，新問題提升新知

適當(dāng)?shù)恼n堂總結(jié)，是對這一節(jié)課的反思與升華，有助于學(xué)生構(gòu)建起三次函數(shù)的相關(guān)知識體系，并掌握更有效的方法研究函數(shù)問題。需要注意課堂的總結(jié)并不是簡單的知識回顧，而是在回顧知識的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考這節(jié)課在數(shù)學(xué)思想上的收獲和啟發(fā)，思考老師的問題設(shè)置幫助自己掌握了哪些方法與技巧。善于課堂總結(jié)與反思，課后整理與思考的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上必會有很大的自驅(qū)力。

三、設(shè)置問題串拉動課堂主線的策略方法

本節(jié)課課堂教學(xué)層次由淺入深、由表及里、層次遞進，學(xué)生在課堂上目標(biāo)明確，課堂主線脈絡(luò)清晰，不是在簡單的灌輸知識，而是在教學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這樣的設(shè)計能讓數(shù)學(xué)課堂層次清晰，有助于教師結(jié)合課堂主線設(shè)置問題串開展數(shù)學(xué)教學(xué)，這也體現(xiàn)了問題串教學(xué)的優(yōu)勢所在。問題串教學(xué)體現(xiàn)了構(gòu)建數(shù)學(xué)知識、探究數(shù)學(xué)問題、形成數(shù)學(xué)方法、體現(xiàn)數(shù)學(xué)能力、展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化等多重教育價值。因此，筆者就設(shè)置怎樣的問題串以達到拉動課堂主線提出了以下策略與方法。

（一）設(shè)置遞進性的問題串

因為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維存在差異，所以教師在設(shè)計問題串時應(yīng)考慮到全體學(xué)生，由易到難、由表及里。這不僅體現(xiàn)了新知識與已學(xué)知識的前后關(guān)聯(lián)，也彰顯了本節(jié)課的思維層次和前后問題的邏輯關(guān)聯(lián)，對學(xué)生抓住課堂主線及訓(xùn)練思維有很大幫助。本節(jié)課中，筆者以回顧二次函數(shù)作為引入內(nèi)容，到利用現(xiàn)代科技開展數(shù)學(xué)實驗探究三次函數(shù)圖像與性質(zhì)不同分類的直觀表象，再到選取研究工具并開展深入的圖像分類的數(shù)學(xué)論證，最后到應(yīng)用圖像拓展探究三次函數(shù)零點問題。課堂教學(xué)活動由問題串層層引導(dǎo)，思維難度層層遞進，促進了學(xué)生能力的逐步提升。同時，也關(guān)注到了所學(xué)知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)，拉動課堂知識與思維主線，提高了課堂效率。

（二）設(shè)置探究性的問題串

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課堂上的表征是一個從認(rèn)知到解決再到吸收內(nèi)化的過程。若僅是零散的課堂提問、幾道例題的訓(xùn)練并不足以幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，具有探究性的問題串設(shè)計往往比大量的例題訓(xùn)練更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本節(jié)課筆者嘗試將現(xiàn)代科技技術(shù)帶入課堂，利用平板電腦及Geogebra圖形計算器開展數(shù)學(xué)實驗探究，根據(jù)探究內(nèi)容精心設(shè)置了系列問題串，幫助學(xué)生經(jīng)歷了從體驗問題到解決問題，最后到內(nèi)化吸收相關(guān)知識的實驗探究過程，不僅涵育了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還給學(xué)生滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比的數(shù)學(xué)思想方法。在探究性問題串的幫助下，學(xué)生不僅高效地掌握了知識內(nèi)容，還培養(yǎng)了自主思考、自主探究的學(xué)習(xí)能力。

（三）設(shè)置針對性的問題串

一堂有價值的數(shù)學(xué)課往往是通過問題串引領(lǐng)的，而問題串中的每一個小問題都直指這節(jié)課的知識主線和思維主線。例如，在案例問題串中，筆者先是回顧了已學(xué)的二次函數(shù)，在此基礎(chǔ)上提出三次函數(shù)圖像的研究問題，接著讓學(xué)生通過實驗觀察，思考當(dāng)三次函數(shù)各系數(shù)變化時圖像的不同呈現(xiàn)情況，這樣的提問目標(biāo)指向明確，讓學(xué)生觀察總結(jié)，直觀地掌握圖像分類。其次，第二次活動中，在確定了導(dǎo)函數(shù)為研究工具后，讓學(xué)生根據(jù)課前復(fù)習(xí)的二次函數(shù)內(nèi)容畫出導(dǎo)函數(shù)的所有可能圖像，學(xué)生就能順勢而為，很快地根據(jù)二次函數(shù)開口方向和與零點個數(shù)得出了6種可能的導(dǎo)函數(shù)圖像，并在老師的追問下將6種情況同類合并，得出了4類導(dǎo)函數(shù)圖像。最后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像繪制了原函數(shù)圖像，對比直觀實驗結(jié)果，形成了知識結(jié)構(gòu)的串聯(lián)與統(tǒng)一。筆者在課堂上發(fā)現(xiàn)學(xué)生的活動目標(biāo)非常明確，沒有出現(xiàn)沒有頭緒或漫無目的的情況，學(xué)生大多課堂思維活躍，緊跟課堂主線節(jié)奏。這說明精準(zhǔn)的、有針對性的問題串設(shè)置對于課堂主線推動和學(xué)生思維培養(yǎng)有很大幫助。

總之，問題串因以核心問題為中心，設(shè)計目標(biāo)精準(zhǔn)與思維開放的系列問題，可以有效地引導(dǎo)學(xué)生圍繞知識和思維主線，層層深入地思考數(shù)學(xué)問題。

［參考文獻］

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