2UPR／UPS／UP 并聯(lián)機器人的工作空間及承載能力優(yōu)化設(shè)計

陳偉杰，陳文波

（上海工程技術(shù)大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，上海 201620）

0 引言

與串聯(lián)機器人相比，并聯(lián)機器人具有承載能力大、累計誤差小、剛度高、結(jié)構(gòu)緊湊等特點［1］。國外NeosRobotic 公司基于3UPS／UP 并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計的Tricept［2］機器人，加工過程中其并聯(lián)部分的UP 支鏈承受主要載荷，存在受載不均勻的缺點。國內(nèi)天津大學(xué)研制的TriVariant［3］機器人并聯(lián)部分為2UPS／UP 并聯(lián)機構(gòu)，其結(jié)構(gòu)特點與Tricept 機器人相似，但旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)更少，可以實現(xiàn)更高的剛度，而受載不均勻的問題卻未得到解決。與Tricept 機器人相比，本文提出的2UPR／UPS／UP 并聯(lián)機器人在加工過程中始終有2 條支鏈同時抵抗負載、并且旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)更少，因此該并聯(lián)機構(gòu)承載能力更強、剛度更高。

并聯(lián)機器人的運動學(xué)模型是機器人優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)，在求解方法上可分為數(shù)值法和解析法兩種。其中，數(shù)值法是利用牛頓-拉弗森法［4-8］迭代得到非線性方程組的解，具有通用性高的優(yōu)點，但精度取決于初始值，并且一般得不到全部解。解析法是使用代數(shù)公式法［9-10］消去機構(gòu)約束方程組的中間參數(shù)獲得高階多項式，并進行求解，其特點是能夠得到機構(gòu)的全部解并且精度高、求解速度快。本文利用封閉矢量法建立了逆運動學(xué)解析模型，為工作空間的搜索奠定基礎(chǔ)。

承載能力強是并聯(lián)機器人最突出的優(yōu)點，但缺點卻是工作空間較小，而工程實際則要求并聯(lián)機器人在滿足任務(wù)工作空間的基礎(chǔ)上要有較強的承載能力［11］。為有效評價機器人的整體承載能力，GOSSELIN 等人［12］提出了全域性能評價指標(biāo)來對三自由度并聯(lián)球面機構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計。文獻［13-14］將廣義力橢球的長徑和短徑看作該位姿處能承受廣義力的極大值和極小值，并將該極值在工作空間內(nèi)求均值作為全域性能評價指標(biāo)。上述方法均未考慮工作空間邊界是否發(fā)生奇異導(dǎo)致結(jié)果失真，因此在求解時應(yīng)去除奇異的邊界值。文獻［15］以Stewart并聯(lián)機器人為例，將工作空間內(nèi)規(guī)定的軌跡上機器人所能承受的最大承載能力作為機器人的最大承載能力，該方法對機器人承載能力的評價并不全面。本文提出的承載能力評價指標(biāo)定義在任務(wù)工作空間內(nèi)，克服了上述問題及不足，具有實際工程意義。

本文以2UPR／UPS／UP 三自由度并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，運用封閉矢量法得到逆運動學(xué)解析模型和雅可比矩陣，利用極限搜索法得到其工作空間；基于任務(wù)工作空間定義該機器人的承載能力評價指標(biāo)。研究固化角對工作空間和承載能力的約束關(guān)系，用來獲得該機構(gòu)在相同任務(wù)工作空間下的強承載能力，為后期的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計以及動力學(xué)分析奠定基礎(chǔ)。

1 運動學(xué)分析

1.1 構(gòu)型描述

本文提出一種2UPR／UPS／UP 冗余并聯(lián)機器人，如圖1 所示。由圖1 可知，該并聯(lián)機器人由動平臺、定平臺和4 條支鏈組成。其中，動平臺和定平臺呈等邊三角形，4 條支鏈中的第1 條和第3 條為UPR 支鏈，上端通過轉(zhuǎn)動副與動平臺連接，下端通過虎克鉸與定平臺連接；第2 條支鏈為UPS 支鏈，上端通過球副與動平臺連接，下端通過虎克鉸與定平臺連接；第4 條支鏈為UP 恰約束被動支鏈，上端與動平臺固結(jié)，固化角為δ，下端通過虎克鉸與定平臺連接。

圖1 并聯(lián)機器人坐標(biāo)系簡圖Fig.1 Coordinate system diagram of parallel robots

在動平臺和定平臺分別建立基坐標(biāo)系｛A｝-xAyAzA和動坐標(biāo)系｛B｝-xByBzB，定平臺坐標(biāo)系的xA軸平行于A1A3，zA軸垂直于定平臺所確定的平面，動平臺坐標(biāo)系的xB軸平行于B1B3，zB軸垂直于動平臺所確定的平面，坐標(biāo)系｛C｝-xCyCzC的姿態(tài)與坐標(biāo)系｛B｝ 相同，其原點位于動平臺中心。

1.2 運動學(xué)逆解建模

坐標(biāo)系｛B｝ 通過坐標(biāo)系｛A｝ 先平移、后旋轉(zhuǎn)2次得到，因此定義為沿基坐標(biāo)系｛A｝的ZA軸移動λ，繞基坐標(biāo)系｛A｝的YA軸旋轉(zhuǎn)γ，繞基坐標(biāo)系｛A｝的XA軸旋轉(zhuǎn)φ。此處需用到的數(shù)學(xué)公式可寫為：

由于坐標(biāo)系｛C｝ 和坐標(biāo)系｛B｝ 之間僅存在平移關(guān)系可得：

基于閉環(huán)矢量法建立如下關(guān)系：

其中，AC表示C點的位置矢量；li和li分別表示第i根支鏈的桿長和其單位向量；ai是Ai點在基坐標(biāo)系｛A｝ 中的位置矢量；bi是Bi點在基坐標(biāo)系｛A｝ 中的位置矢量。

對式（4）等式兩端分別取模，求得第i根支鏈的桿長和其單位向量為：

1.3 速度分析

對逆運動學(xué)解析表達式（5）的兩邊同時求全微分，即：

這里的M，N經(jīng)過整理后可得：

其中，J為2UPR／UPS 并聯(lián)機構(gòu)的速度雅可比矩陣，J＝N-1M。此處J的第一行為線速度雅克比矩陣，后兩行為角速度雅可比矩陣。

2 工作空間分析

2.1 工作空間求解

2UPR／UPS／UP 是2R1T 少自由度并聯(lián)機器人，受到桿件干涉以及運動副轉(zhuǎn)角的限制，該并聯(lián)機器人不存在靈巧工作空間，因此以動平臺中心為參考點搜索機器人的可達工作空間。

根據(jù)機器人實際應(yīng)用需求，規(guī)定各運動支鏈的伸縮長度范圍為：

通過向量的內(nèi)積定義各鉸鏈的轉(zhuǎn)角，定平臺上虎克鉸U繞xA的轉(zhuǎn)角表示為：

虎克鉸U繞yA的轉(zhuǎn)角表示為：

以動平臺中心點C為參考點，采用極限搜索法對2UPR／UPS／UP 并聯(lián)機構(gòu)的工作空間進行搜索。其原理為：根據(jù)并聯(lián)機器人的尺寸參數(shù)，確定一個能夠包括機器人可能工作空間的范圍；設(shè)定搜索初值，在Z軸的某一截面上搜索滿足約束條件的X，Y值；設(shè)置步長來改變坐標(biāo)軸的Z值，使其逐漸增大、直到搜索了Z軸最大值和最小值之間所有的截面后，滿足限制條件的點集即為該機構(gòu)的可達工作空間。

根據(jù)表1 中機器人的初始參數(shù)逐層進行搜索后，得到工作空間如圖2 所示。

表1 幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters

圖2 并聯(lián)機器人工作空間圖Fig.2 Workspace diagram of parallel robots

2.2 固化角對工作空間影響的分析

由圖1 可以看到，固化角度δ為UP 支鏈與動平臺的夾角，其大小會影響機構(gòu)的初始位置和工作空間。為滿足任務(wù)工作空間的設(shè)計需求，針對固化角度對工作空間的影響趨勢進行研究。保證動、定平臺的尺寸參數(shù)不變，分析固化角度對工作空間大小和形狀的影響。

固化角度δ的初始值為90°，固化角度以增量5°變化至115°得到工作空間如圖3 所示。根據(jù)實際加工要求，該并聯(lián)機構(gòu)任務(wù)工作空間為不小于φ900?200 的圓柱體，擺放形式為圓柱底面與動平臺所在平面平行。工作空間大小與固化角大小的變化規(guī)律如圖4 所示。

由圖4 可知，任務(wù)工作空間與固化角的關(guān)系為開口向下的拋物線，固化角為100°任務(wù)工作空間的體積最大，并且滿足工程設(shè)計需求。

圖4 工作空間與固化角的關(guān)系Fig.4 Relationship between workspace and curing angle

3 承載能力求解與分析

3.1 承載能力

并聯(lián)機構(gòu)的承載能力決定輸出構(gòu)件所能承受的最大外載荷［16］，設(shè)機器人輸出的廣義力矢量為F，則：0

其中，G為機器人的力雅可比矩陣，f表示輸入廣義力矢量。

根據(jù)機構(gòu)力雅可比和速度雅可比的關(guān)系可知：

由式（12）可知，f取極值時對映的F反映了并聯(lián)機構(gòu)的承載能力，為具有通用性，機器人的承載能力評價指標(biāo)定義為：在約束條件‖f‖＝1時，執(zhí)行器末端輸出廣義力矢量F模的極值，根據(jù)拉格朗日乘子法，構(gòu)造拉格朗日方程：

對方程（14）求偏導(dǎo)，得到極值點為：

根據(jù)觀察可知，λ即為矩陣GTG的特征值，廣義力矢量F的模表示為：

因此承載能力極值為可由力雅可比矩陣的最大、最小奇異值表示，即：

其中，ILCP（Fmax）和ILCP（Fmin）分別為某位姿下并聯(lián)機器人的極大和極小承載能力，其值越大，機構(gòu)的承載能力越好。

定義運動學(xué)傳遞性能評價指標(biāo)η為雅可比矩陣的最大奇異值與最小奇異值的比值：

當(dāng)η＝1時，機器人處于各向同性，其傳遞性能最佳。由于并聯(lián)機器人工作空間內(nèi)不同點的承載能力不同，同時工作空間的邊界點易發(fā)生奇異，影響評價指標(biāo)的可靠性，因此將機器人基于任務(wù)工作空間的承載能力平均值定義為局域承載能力指標(biāo)IGCP（Fmax），IGCP（Fmin）。研究推得的數(shù)學(xué)公式可寫作如下形式：

其中，w表示某一位姿，W表示任務(wù)工作空間。

3.2 固化角對承載能力影響的分析

固化角的改變會引起機構(gòu)雅克比矩陣發(fā)生變化，從而對承載能力產(chǎn)生影響。為得到具有較好承載能力的初始位置，將固化角度從90°以增量5°的大小變化至115°，同時記錄局域承載能力極小值和η，并繪制成曲線分別如圖5、圖6 所示。

圖5 局域承載能力極小值與固化角的關(guān)系Fig.5 Relationship between local bearing capacity minimum and curing angle

從圖5 可以看出，局域承載能力指標(biāo)和固化角度是近似正相關(guān)；從圖6 可以看出，隨著固化角δ增大，η先增大后減小。

圖6 運動學(xué)傳遞性能與固化角的關(guān)系Fig.6 Relationship between kinematic transfer performance and curing angle

4 承載能力和工作空間的性能優(yōu)化

優(yōu)化固化角的大小可使機構(gòu)滿足任務(wù)工作空間以及具備強承載能力，因此同時分析固化角對工作空間和承載能力變化曲線，如圖7 所示。

圖7 承載能力和工作空間與固化角的關(guān)系Fig.7 Relationship between global bearing capacity，workspace and curing angle

由圖7 可知，2 條變化曲線的交點為保證機構(gòu)具備強承載能力和大工作空間的最優(yōu)解，所對應(yīng)固化角度為δ＝111°。以此固化角設(shè)計機構(gòu)的初始位置，η值更小，能夠更好地抵抗各方向的負載。

以固化角δ＝111°和δ＝90°分別設(shè)計機構(gòu)初始位置，工作空間和承載能力的對比見表2。由表2可知，優(yōu)化后工作空間體積提高1.4%，承載能力提高6.4%，對重載機器人優(yōu)化發(fā)揮著重要作用。

表2 優(yōu)化前后性能對比Tab.2 Performance comparison before and after optimization

5 結(jié)束語

本文以2UPR／UPS／UP 三自由度并聯(lián)機器人為研究對象，建立了逆運動學(xué)解析模型，通過空間極限搜索法得到并聯(lián)機器人的工作空間；并定義了基于任務(wù)工作空間的承載能力評價指標(biāo)，基于固化角與工作空間和承載能力的變化趨勢，對固化角進行優(yōu)化設(shè)計；優(yōu)化結(jié)果表明在固化角為111°時并聯(lián)機器人具備大工作空間和強承載能力；此固化角下的機器人性能與固化角為90°時相比，工作空間體積提高1.4%，承載能力提高6.4%。本文提出的對機器人工作空間和承載能力的優(yōu)化思路可為其它并聯(lián)機器人的優(yōu)化設(shè)計提供參考。