基于微元法思路的空氣阻力系數測定方法

吳雨珣 游 雁 方思云 陳志華 馮卓宏，2 賈翠紅，2

（1.福建師范大學物理與能源學院，福建 福州 350117；2.福建師范大學物理學國家級實驗教學示范中心，福建 福州 350117）

近幾年來，生活情境問題逐漸被引入中學物理教學，激發了學生的探究熱情，更好地培養學生正確認識問題、分析問題和解決問題的能力，進而提升學生的核心素養.［1，2］與此同時，高考物理卷也通過真實情境類試題來進行能力考核.［3，4］2019年及2020年，北京高考就分別考查了生活中常見的雨滴下落以及旋轉籃球的運動問題，研究了空氣阻力對物體運動狀態的影響.［5，6］

空氣阻力系數是研究空氣阻力的重要參量，與空氣的粘滯系數，物體的運動速度以及物體的迎風面積有關.［7］空氣阻力是變力，其大小隨著物體運動速度的變化而發生變化，不易于直接測量.針對這類問題，新魯科版物理教材給出了解決思路.必修教材第1冊第2章第2節在勻變速直線運動位移公式推導過程的“方法點撥”中提出了無限元分割求和的方法，必修教材第2冊第1章第1節機械功的“拓展一步”中也通過圖像分割法研究變力做功.利用微元法解決變速、變力過程是高中物理的解題方法之一，［8－10］能夠清晰、簡潔地解決相對較復雜的物理問題，提升對物理概念的理解，同時也是培養學生解決問題能力及開展物理延展式教學的有利途徑.［11，12］

在此基礎上，本文利用微元求和思想設計了測量空氣阻力系數的新方法.在原有單擺裝置基礎上，引入高精度轉動傳感器作為擺頭，選擇合適長度的細擺繩及較大尺寸的擺球，使擺球在空氣阻力下做欠阻尼擺動.設定合適的數據采集頻率，測量得到任意時刻的擺動角度及角速度，計算微小時間間隔內阻力所做功，并利用微元求和得到多個周期擺動后空氣阻力所做的總功.以能量守恒為基礎，結合擺球重力勢能改變量準確測定實驗環境的空氣阻力系數.

1 實驗原理及方案

1.1 實驗原理

質量為m的擺球在豎直面內擺動，如圖1所示，擺長為L.設擺球以初始擺角θ1開始擺動，在擺動過程中分別受到重力、擺繩拉力及空氣阻力的作用，其中，空氣阻力起到阻礙作用，使得擺動幅度逐漸減小.設擺動n個周期后擺角減為θ2，此時擺球的動能為0，擺動過程中重力勢能減少量為

圖1 實驗原理圖

某一時刻擺球受到的空氣阻力f為［13，14］

式中，B表示阻力系數，v和ω分別表示該時刻擺球的擺動線速度和角速度.在一較短的時間間隔Δt內，擺球擺過角度為Δθ，移動路程為Δs，則空氣阻力所做的功可以表示為

由能量守恒可知，擺動n個周期后，擺球重力勢能的變化量等于擺動過程中克服阻力所做的功，即

聯立以上式子可得到空氣阻力系數

通過PASCO系統實時測量擺球的角速度和擺角，得到如圖2所示的ω－θ關系曲線.在圖像中取微元，如圖2陰影部分，其面積為ωΔθ，再通過微元求和的方式得到曲線下方的總面積∑ωΔθ，代入（5）式就可以準確測定空氣阻力系數.

圖2 微元ωΔθ計算示意圖

1.2 實驗方案

本實驗采用PASCO的PS－2020A型轉動傳感器作為擺頭.該傳感器通過帶有斷續器的齒輪切割光電門進行轉動角度的測量，其內部的光學碼盤每轉（360°）有4000個分度，最大轉動速度為每秒30轉，測量的分辨率為0.09°，能夠實現正負方向角度變化的持續測量.一輕質且線徑較小細線的一端與轉動傳感器三級滑輪的螺栓相系并緊固，保證轉動傳感器與擺線同步轉動，另一端連接一直徑為0.09914 m，質量為0.52886 kg的大擺球，使大擺球在鉛直平面內擺動，實驗裝置如圖3所示.實驗中，擺長為0.9836 m，采樣頻率為40 Hz，通過PASCO數據采集系統實時采集擺球擺動的擺角θ和角速度ω.

圖3 實驗裝置示意圖

采用大擺球進行實驗，以增大空氣阻力的作用.實驗前，設置相同初始擺角，測得安裝轉動傳感器情況下，擺球從起擺到靜止所耗費的時間為6分40秒，而擺球直接懸掛于普通擺頭的情況下所耗費的時間為6分43秒.由此可見，轉動傳感器的轉軸阻力可以忽略，球體在擺動過程中受到的阻力近似只來自于空氣阻力.

2 實驗結果與分析

通過采集軟件得到部分實時數據，如圖4所示.從圖中可見，擺角θ和對應的角速度ω均隨時間呈現周期性變化，擺角最大處角速度為0，擺角為0處角速度最大，但擺動幅度及角速度最大值均隨擺動時間的增加而逐漸減小.可見，在擺動過程中擺球的機械能逐漸減少.

圖4 擺角θ、角速度ω隨時間t變化規律

通過實時采集的數據就可以描繪角速度ω隨擺角θ變化的ω—θ曲線，如圖5所示.然后利用數據處理軟件即可計算曲線所圍成圖形的總面積∑ωΔθ，進而得到實驗環境下空氣的阻力系數.本實驗中空氣阻力是一個微小物理量，為使阻力對擺球運動狀態的影響效果更加明顯，圖5中選取了36個周期的數據進行求和計算.由于空氣阻力做負功，隨著擺動時間增加，圖像呈現內螺旋狀變化，擺動最高點對應的角度及擺動最低點的速度不斷減小.通過origin軟件對ω—θ數據進行分析并計算數據采集時間間隔內兩者所圍成的面積，求和所得結果計算出擺動36個周期總面積Sω－θ的大小，即 ∑ωΔθ＝58.20 rad2／s.通過原始實時數據記錄確定擺角θ1與θ2分別為0.463 rad與0.358 rad，根據公式 （5）得到實驗環境下空氣的阻力系數B＝3.788×10－3kg／s.

圖5 擺動過程中角速度與擺角的關系

為了進一步驗證實驗結果的可靠性，在同一實驗環境下，探究阻力系數與擺長的關系，結果如表1所示.不同擺長的情況下測得的阻力系數基本相同，其平均值為3.947×10－3kg／s，均方差大小為0.060，說明該方案重復可靠性高且測量結果較為準確.

表1 不同擺長的阻力系數

3 結論

本文利用微元法的思想設計實驗方案測量了空氣阻力系數.實驗在單擺裝置基礎上，利用高頻轉動傳感器測量擺動過程的實時擺角、角速度，計算微小時間間隔內空氣阻力做功，結合數據處理軟件的積分功能得到了擺動36個周期后空氣阻力所做總功.以此為基礎，通過能量守恒定律，結合重力勢能改變量測定實驗環境的空氣阻力系數為3.947×10－3kg／s.在保證相同實驗環境前提下，測量了不同擺長情況下的空氣阻力系數，所得結果基本一致，證明了該方法的可靠性.

本實驗方案操作簡單，采集數據可靠，結合數據處理軟件能夠快速、準確地測定空氣的阻力系數，具有一定的應用價值.此外，這種利用微元法處理變力做功問題的思路有助于開闊學生視野，培養學生的創新思維，具有實踐教育意義.