帶電粒子在磁場中做螺旋運動類試題分類剖析

徐華兵

（浙江省金華第一中學，浙江 金華 321015）

帶電粒子在磁場中做空間曲線運動類試題在各大考試中常有出現.由于它能很好地考查學生空間想象能力及高中物理中運動的合成與分解相關知識而深受命題者青睞.螺旋運動是空間曲線運動的一類特殊情形，它可以分解為某一平面內的勻速圓周運動和垂直于該平面的直線運動.由于勻速圓周運動和直線運動的運動學規律簡單，易于求解，所以高中階段帶電粒子在磁場中做空間曲線運動類試題大多以帶電粒子在磁場中做螺旋運動的形式呈現.本文根據帶電粒子在磁場中做螺旋運動類試題中的螺旋線是否等距將帶電粒子在磁場中做螺旋運動類試題分為帶電粒子在磁場中做等距螺旋運動類試題和帶電粒子在磁場中做不等距螺旋運動類試題.并分類剖析每類試題的特征及其一般求解方法.

1 帶電粒子在磁場中做等距螺旋運動類試題剖析

帶電粒子在磁場中做等距螺旋運動類試題是指帶電粒子在磁場中運動的空間螺旋線螺距相等類試題.求解這類試題時一般可將帶電粒子的運動分解為沿某一平面的勻速圓周運動和垂直于該平面的勻速直線運動.再應用運動的合成與分解知識及分運動與合運動關系求解.

例1.某粒子分析裝置如圖1所示，其基本結構由發射篩選裝置Ⅰ以及分析裝置Ⅱ組成.裝置Ⅰ中粒子源S持續地沿速度選擇器AC的中心線射出質量為m，電荷量為q的帶正電粒子，粒子經點D1，沿與平面D1E1E2D2平行的方向射入裝置Ⅱ.由于裝置Ⅰ可在平面內繞D1轉動，因而粒子飛入D1點時與D1D2夾角θ的關系為，θ可在0°到60°之間變化，且飛入D1點的粒子數按角度均勻分布.分析裝置Ⅱ中有兩平行于x Oy平面的正方形平面D1E1F1G1與D2E2F2G2，邊長為，兩平面距離為d.平面間存在一沿z軸負方向的勻強磁場，其磁感應強度大小為B.平面D2E2F2G2是粒子接收屏，粒子擊中屏幕后會發出熒光從而獲得分析粒子的相關數據.不計粒子重力及其相互作用.（1）已知速度選擇器中的電場強度E不變，為保證粒子在速度選擇器中做勻速直線運動，求速度選擇器中磁場的磁感應強度B0與θ的關系；（2）求θ＝30°時，粒子擊中位置與D2點的距離；（3）求打到屏幕上的粒子數與飛入D1的粒子數的比值.

圖1

圖2

變式1.如圖3所示，S為一離子源，它能機會均等地向紙面內各個方向持續大量地發射正離子，離子的質量、電荷量和速率均為m、q和v，在離子源的右側有一半徑為R的圓屏，OO′是通過屏中心O并垂直屏面的軸線，S位于軸線上，空間有一平行于軸線向右的勻強磁場，磁感應強度為B，發射的離子中，有的離子不論SO的距離如何，總能打在圓屏上.求這類離子占離子總數的比例.（不考慮離子間的碰撞及相互作用）

圖3

點評：等距螺旋運動一般可分解為某一平面內勻速圓周運動和垂直該平面的勻速直線運動，遵循分運動與合運動相應規律.

2 帶電粒子在磁場中做不等距螺旋運動類試題剖析

帶電粒子在磁場中做不等距螺旋運動類試題是指帶電粒子在磁場中運動的空間螺旋線的螺距不相等.這類帶電粒子在磁場中的不等距螺旋運動一般可分解為垂直于磁場方向平面內的勻速圓周運動和沿磁場方向的勻加速直線運動.所以在求解這類試題時一般先將其轉化為分運動，先分析分運動規律，再進行合成求解合運動規律.

例2.如圖4所示，真空中的立方體邊長為0.4 m，底面中心處有一水平各個方向均勻發射α粒子的點狀放射源（不考慮其他方向產生的α粒子），所有α粒子的速度都是v＝3.0×106m／s，已知α粒子的電荷量與質量之比，立方體內有豎直向上的勻強電場和勻強磁場.abfe面放有一個屏，該屏可以沿z軸左右平移.（1）要使所有粒子均能從上表面離開，求勻強磁場的最小值B1；（2）調整勻強磁場大小，當勻強磁場B2＝1 T時，要使所有粒子剛好都能從上表面中心P離開，求所加勻強電場的最大值和離開P點時速度方向與defg水平面的夾角；（3）保持勻強磁場B2＝1 T，勻強電場為第（2）問中的最大值，現讓abfe屏向左沿－z方向移動0.11 m，求abfe屏上射出粒子x坐標取得最大值和最小值時對應點的y軸坐標.

圖4

圖5

變式2.如圖6所示，一些質量為m、電荷量為＋q的帶電粒子從一線狀粒子源射出（初速度可視為0）經過電場U加速，粒子以一定的水平初速度從MS段垂直射出（S為MF中點），進入邊長L的正方體電磁修正區內（內部有垂直于面MPRG的勻強磁場B與勻強電場E）.距離正方體底部L處有一與RNAG平行的足夠大平板，能吸收所有出射粒子.現以正方體底面中心O在平板的垂直投影點為原點，在平板內建立直角坐標系（其中x軸與GR平行）.所有帶電粒子都從正方體底面離開，且從M點進來的粒子在正方體中運動的時間為.（1）求粒子射出正方體電磁修正區后的速度；（2）若滿足關系式，求從S點入射粒子最后打到平板上的位置y坐標.

圖6

點評：帶電粒子在磁場中做不等距螺旋運動類試題中，一般空間中同時存在電場和磁場，磁場使帶電粒子受到洛倫茲力改變速度方向，電場使帶電粒子加速.此時運動可分解為垂直磁場方向的勻速圓周運動和沿電場方向的勻加速直線運動.

帶電粒子在磁場中做空間螺旋運動類試題在高中物理中常有出現，學生在求解這類試題時往往感覺較難.筆者將高中常見的帶電粒子在磁場中做空間螺旋運動類試題歸為兩大類，等距螺旋運動類試題和不等距螺旋運動類試題.分類剖析每類試題特征及其一般求解方法，無論帶電粒子在磁場中做等距螺旋運動還是不等距螺旋運動，求解這類試題一般都用運動的合成與分解方法求解.化空間曲線運動為平面運動，先研究平面內的勻速圓周運動和直線運動，再應用合運動與分運動規律求解此空間曲線運動.以期學生在求解這類試題時有所幫助，廣大同行教師在講授這類試題有規律可循.