中學數學思想教學的思考與實踐

張屹秀，譚希麗

（北華大學 數學與統計學院，吉林 吉林 132000）

0 引言

隨著新課程改革的不斷推進，數學思想已成為數學教學的重要組成部分，成為學生數學學習的基本要求.《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：教師應激發學生的學習積極性，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗［1］.在人教版初中數學教學大綱中，數學思想方法已被列為數學基礎知識.數學思想是數學的精髓，數學學科的發展依賴數學思想的指導.中學數學內容所體現的數學思想是豐富且深刻的，合理有效的數學思想方法教學有利于學生創新意識的培養，有利于數學核心素養的形成，對學生未來的發展具有重要意義.數學思想是一種隱形的深層知識，所以，數學思想教學相較于數學知識技能教學更為困難.當前，許多中學數學教師已經重視到數學思想教學，也在教學設計中盡可能地體現數學思想，但是仍存在一些問題.例如，教師在進行數學思想教學時采用“注入式”和“貼標簽式”教學，在課堂中直接告訴學生體現了哪些數學思想，忽視了數學思想的思維過程.此外一些教師沒有注重學生的參與過程，在數學思想教學中學生缺乏自己思考探索的能力，從而使數學思想無法被學生內化.

研究中學數學思想教學，對于加深學生對數學本質的認識，提升學生解決問題能力具有重要價值.本文在眾多學者研究的基礎上，從中學數學思想教學思考與教學實踐兩個方面進行闡述，希望能為中學數學教師開展數學思想教學提供參考.

1 常見的中學數學思想

數學知識不是孤立、零散的，而是相互緊扣的有機整體，數學思想方法正是貫穿數學內容的“骨架”.中學是學生學習數學的重要時期.在這個階段，學生不僅要學習必要的數學知識和技能，而且要掌握數學內容所包含的指導思想.中學常見的數學思想有化歸數學思想、數形結合思想、分類討論思想和數學建模思想.

1.1 化歸數學思想

化歸是指轉化和歸結.轉化是指通過轉化過程，將待解決或未解決的問題轉化為已解決或相對容易解決的一類問題，從而獲得解決方案的思想.例如徐利治等［2］提出的關系映射反演原理（RMI原則）實際上就體現了化歸思想.化歸思想不僅在數學中得到了廣泛的應用，在歷史上也有很多利用化歸思想的故事，如曹沖稱象、阿基米德測量皇冠體積等.在初高中的數學內容中，化歸思想隨處可見，它的實質在于合理轉化.在數學中存在著許多對立統一的關系，如一般與特殊、數字與形式、正數與負數、常數與變量、實際問題與數學模型等.這些關系不斷地轉化，使數學問題由復雜到簡單，由模糊到清晰.

1.2 數形結合數學思想

數學是一門研究數量關系和空間形式的學科，數與形是數學研究的兩個方面，二者雖然相互對立但是卻不能割裂，在問題解決中要將數或者數量與圖形統一起來進行研究.例如，華羅庚［3］曾以一首小詩強調了數學中幾何與代數的緊密聯系.數形結合主要體現在問題解決方法上，利用數與形的對應關系，使數與形相互轉化.利用形的直觀來解決抽象的代數問題和利用數的精確來解決復雜的幾何問題是數形結合思想指導問題解決的兩種形式.在中學數學內容中數形結合思想應用廣泛，如數軸、平面直角坐標系的引入、高中數學學習的韋恩圖、解析幾何等.數形結合思想不僅是解決問題的手段工具，更體現了數學的理性思維和對立統一的哲學智慧.

1.3 分類討論數學思想

分類是指將數學問題中所涉及的數學要素按照種類、特點、性質進行歸類，討論是指依照所分的類別，列出每種情況出現時得到的結論.分類討論思想的出現主要是在一些數學問題解決過程中，所給條件的不確定性引起的，分類和討論對學生的邏輯性、概括性、條理性有較高的要求.分類討論思想對中學數學的意義重大，許多數學模塊都有體現，例如，初一數學中有理數的分類以及考試中常見的動點問題，高中學習的函數問題及概率問題等.掌握理解分類討論思想可以幫助學生形成嚴密周全的數學思維，也有利于學生了解數學內容的內在聯系，進行知識遷移.

1.4 數學建模思想

數學源于生活又運用于生活.數學建模是將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型，最后通過求解數學問題得到實際問題的最優解［4］.在應用中，通過抽象和簡化，使用數學語言刻畫實際現象，解決現實問題.數學建模思想實際上是通過建立數學模型，將實際生活問題轉化成純數學問題的一種思維方法，是建立學生的數學知識與外界關系的基本途徑.中學數學中常見的數學模型有函數模型、不等式模型、幾何模型和概率模型.借助各種數學模型解決實際生活中的問題，培養學生的分析能力和探索能力，強化學生的數學思維.

2 貫徹中學數學思想教學的建議

2.1 增強目標意識，全面理解數學思想

教師要有意識地從數學思想的高度進行數學教學，有目的地在教學設計中突出數學思想，將數學思想融入課堂教學的各個環節，反復滲透，在知識形成過程中促進學生對數學思想的理解.數學思想作為基礎知識，在設定教學目標時要以教材為依據，要符合學生的學習情況.

教師所具有的學科深度決定了其教學高度［5］.教師要加深對數學思想的研究，加強關于數學思想的學習，明確中學數學包含哪些數學思想以及它們的內涵、發展歷程，積累豐富的教學素材.此外，教師還要注意數學思想與數學知識的銜接，將數學思想與數學知識技能統一融合，只有對數學思想整體把握，全面理解，在教學中才能高屋建瓴，深入淺出.

2.2 深度挖掘教材，重視數學思想思維過程

在中學數學教材中處處體現著豐富的數學思想，但是這些數學思想并不像數學概念、定理直接以文字形式給出，而是借助相關數學內容隱含在教材之中，教師在設計教學之前應該深度挖掘分析教材，對教材中體現的數學思想挖深挖透，化隱為顯.一個單元的數學內容中包含多種數學思想，同一種數學思想也會在不同的知識內容中體現，所以在教學時教師要注意數學知識內容前后的連貫性，注重數學思想的呈現方式［6］.

任何一種數學思想都有其產生和發展的過程.我們所學習和接觸的數學思想是前人總結提煉出來的比較完備的思想.因此，在教學中展示數學思想的思維過程是非常必要的.在教學過程中，教師要避免重結論輕過程，將數學思想以基本事實的形式直接呈現給學生并不能達到預期的教學效果.教師要創造合理的情境，激發學生動腦思考，設計豐富的數學活動，讓學生在活動經驗中體會數學思想的形成，最終內化為自己的思維模式.

2.3 教學循序漸進，適應學生認知水平

數學思想的掌握和應用是一個認知發展的過程.皮亞杰的認知發展理論認為，人類的認知發展包括圖示、同化、順應和平衡四個階段.因此，教師應啟發和引導學生分階段、多層次地學習和理解數學思想，不能操之過急.數學思想教學應該具有階段性［7］，同一種數學思想在不同學段的知識均有不同程度的體現.例如，分類討論這一數學思想，盡管學生在小學就已經學習了分類，但是升入初中和高中，學生會對分類討論思想有更深入的學習和了解.因此，我們在教學中應該潛移默化、循序漸進地滲透數學思想.

數學教學中數學思想的滲透要符合學生的認知水平.不同學習階段的學生，其信息處理能力、思維能力和記憶能力各不相同.維果斯基認為，兒童認知發展的水平是一個區間，教師應該根據學生現有的思維水平和他們能達到的水平來設計教學.教師要根據數學的特點和教學的實際情況，結合學生的年齡特點和認知水平，設計數學思想教學，既不讓學生覺得深奧難懂，又能通過深入思考解決問題.在學習過程中，使學生不僅能理解數學思想的指導作用，還能在成功的喜悅中增強學習興趣，提高創新能力.

3 中學數學思想教學的實踐

3.1 在概念形成中滲透數學思想

數學概念的形成是一個典型的抽象過程［8］，數學概念的教學也是數學教學的重要內容.在形成數學概念的過程中，教師要創設學生熟悉的現實情境，啟發學生歸納總結，加深理解，引導學生經歷一個完整的思維過程，在此過程中滲透數學思想.以高中數學函數概念的教學為例，高中數學函數的概念是從集合與映射的角度進行定義的，因此在函數概念的教學中可以設計如下一些例題：

例1.y=x與是同一個函數嗎？

例2.y=1是函數嗎？

根據這兩個例題，讓學生體會到初中函數概念的局限性，進而引出函數與自變量的范圍是有關的.通過實際問題中的函數關系引導學生歸納總結它們的共同屬性，即都包含兩個非空數集，都有一個對應關系，數集A中的任意一個數x在數集B中都有唯一一個y與之對應.通過教師的指導，讓學生進行總結概括得出函數的定義.在這個教學過程中教師要充分體現學生的主動性，突出數學思維過程，為學生滲透集合思想，并運用類比思想分析初高中函數概念的區別與聯系，加深對新知的思考和理解.

3.2 在問題解決中體會數學思想

問題是數學的心臟，數學思想是數學問題解決的“利器”.數學思想的學習不像數學知識那樣有明確的學習方法，它是一種隱性知識，在學習時要注重數學思想的過程性.因此，教師在講解例題時重在啟發，并為學生分析思路，給學生提供完整的思維過程.通過教師在習題講解時的點撥，讓學生體會數學思想在解題中的指導作用，隨著學習的不斷深入，自覺應用數學思想以求得問題的解決.下面以高中數學求函數解析式為例.

例3.已知函數滿足f(x-2)=x2+5x+7，則f(x)=（）.

解法一：圖象平移法：

f(x-2)=x2+5x+7是將f(x)的圖象向右平移2個單位長度得到，因此將f(x-2)=x2+5x+7的圖像向左平移2個單位長度，得f(x+2-2)=(x+2)2+5(x+2)+7=x2+9x+21即f(x)=x2+9x+21.

解法二：換元法：

令u=x-2，則x=u+2，

解法三：構造法：

f(x-2)=x2+5x+7=(x2-4x+4)+4x-4+5x+7=(x-2)2+9x+3=(x-2)2+( 9x-18)+18+3=(x-2)2+9(x-2)+21，將x-2看成整體一個變量x，即f(x)=x2+9x+21.

以上解法分別運用了三種數學思想方法，并且每一種數學思想方法都可以求出結果，所以教師要鼓勵學生求解問題時多嘗試不同的方法，培養學生的發散性思維，提高學生的解題靈活性.

3.3 在數學活動中感悟數學思想

數學課堂活動是數學教學的重要環節，活動形式也具有多樣性，比如研討式、動手實踐式等.豐富的數學活動可以提高學生的學習熱情，培養學生的動手實踐能力.在教學中，教師應結合實際情況設計相關的數學活動，使學生在實踐活動中感受數學思想，鍛煉實踐能力，形成積極探索的科研精神.

例如教師在講授勾股定理這一章時，勾股定理的證明是重要內容且有難度.雖然在教材中采用了中國古代數學家趙爽的證明方法，但是我們知道勾股定理的證明方法至今已有100多種.所以在學生學習和了解趙爽弦圖證明勾股定理的基礎上，組織學生參與教材章節末尾的活動，鼓勵學生努力學習，動腦筋，引導學生探索證明勾股定理的方法.讓學生在實踐活動中，感悟轉化的數學思想和數學證明的邏輯嚴謹性.

4 結語

米山國藏［9］曾提到數學知識不能永久地留在學生頭腦之中，但數學思想可以讓人受益終身.數學思想反映數學知識、數學結構和數學方法的本質，數學思想是中學數學課堂質量的重要保證，將數學思想合理融入數學教學是數學課堂教學努力的方向.在數學教學中必須重視數學思想的作用，只有強化數學思想教學，將知識技能和思維能力培養結合，才能使數學學習達到新的高度.中學數學思想教學研究任重道遠，滲透數學思想在教學實際中的策略和方法還要進行深入的研究，本文對數學教學的開展，學生理性精神的養成，創新能力的培養有所幫助.