圓柱繞流尾跡轉捩電磁力控制研究*

黃亞冬 王智河 周本謀

1)(江蘇大學,國家水泵及系統工程技術研究中心,鎮江 212013)

2)(南京大學,物理學院,南京 210093)

3)(南京理工大學,瞬態物理國家重點實驗室,南京 210094)

圓柱繞流是典型的振蕩器流動,擾動在空間固定位置隨時間增長,誘導尾跡轉捩,從而增大柱體振動與流場噪聲.本文通過在圓柱迎流面、背流面以及全圓柱表面放置電磁激活板產生流向電磁力,調控二維基態流,降低尾跡中擾動增長率,實現轉捩模態改變.Floquet 穩定性分析發現,迎流面控制中轉捩模態A和B的增長率變化較小,而背流面和全圓柱控制中兩種模態的增長率均隨電磁力控制參數的增大而減小.分析橢圓不穩定和雙曲不穩定誘導的無黏增長率發現,迎流面控制中尾跡高無黏增長率與無控制時相似,而背流面和全圓柱控制中均隨電磁力作用參數的增大而減小.三維直接數值模擬發現圓柱尾跡三維形態在背流面控制和全圓柱控制中由模態B 轉變為模態A,與Floquet 穩定性分析結果吻合.此外,當圓柱尾跡形態發生變化后,背流面控制和全圓柱控制下圓柱所受的阻力分別降低了15.2%和14.4%.

1 引言

圓柱繞流因其工程常用且模型簡單,一直是流體力學中被廣泛研究的經典流動模型,其尾跡特性由雷諾數Re(R e=U∞d/ν,其中U∞為自由流速度,d為圓柱直徑,ν為運動黏性系數)決定[1].當雷諾數較小時,尾跡中不出現周期性卡門渦街.尾跡發生二維失穩的臨界雷諾數為45.403[2],當雷諾數大于188.5后,圓柱尾跡中的三維擾動出現指數增長,誘發轉捩形成三維結構.其空間特征主要表現轉捩模態A和模態B[3].當雷諾數介于188.5—259時,尾跡主要表現為轉捩模態A;當雷諾數大于259時,尾跡主要表現為轉捩模態B.此外,研究人員在出現轉捩模態A和B的雷諾數區間發現了亞諧波轉捩模態C[4].隨著雷諾數的繼續增大,尾跡中會出現轉捩模態B+[5].當雷諾數超過1000后,圓柱尾跡在強剪切作用下出現復雜多尺度渦結構.

無論是二維尾跡還是三維尾跡,其不穩定結構會誘發柱體振動、增大柱體阻力與系統噪聲,因此研究人員不斷尋找高效實用的控制方法,控制尾跡形態,實現減阻降噪.Xu等[6]在圓柱下游放置多孔材料,使柱體附近的湍流再層流化,并有效降低壁面壓力脈動.Gao等[7]在圓柱前后駐點處安裝分隔板,減弱圓柱前駐點附近流動沖擊,阻礙尾跡中分離流相互作用,成功降低柱體阻力.Del Guercio等[8]采用表面吹吸方法降低二維尾跡中擾動能量增長.Xu等[9]將圓柱表面設為行波壁面,改變邊界渦通量,從而抑制尾跡中不穩定渦結構.Mao等[10]基于非線性最優開環控制策略,通過吹吸誘導的體積力調控圓柱二維和三維尾跡,實現二維、三維渦結構的完全抑制,并獲得較高的減阻率.近年來,為了提高控制效率,越來越多的研究人員將人工智能引入主動控制[11],并結合穩定性分析[12],實現圓柱尾跡不穩定渦結構的高效抑制.無論哪種控制,控制區域對控制效果有較大影響.Marquet等[13]通過敏感性分析發現,在圓柱背流面附近施加體積力可更加有效地降低流場擾動增長率,這一結果與Khodkar等[14]的相分析結果相似,即最優控制體積力沿圓柱流向分布,而此分布特性恰巧與流向電磁力空間分布相似.

Albrecht等[15]在關于弱導電流體流動控制的綜述文章中描述了電磁激活板的排列方式,主要有兩種:瓦片式和條狀式,其中條狀式排列的電磁激活板可激勵出流向電磁力.他們基于大量研究者研究結果將電磁力在流動控制中的應用分為三種:湍流邊界層減阻、層流-湍流轉捩延遲及流動分離抑制.早期Kim等[16]的研究表明流向電磁力可將圓柱繞流分離點后移,降低圓柱阻力.尹紀富等[17]通過流向電磁力控制柱體表面的湍流邊界層,發現電磁力可延緩湍流邊界層流動分離,降低柱體阻力時均值及其升力脈動幅值.Zhang等[18?20]采用流向電磁力調控固定圓柱、單自由度以及兩自由度圓柱尾跡,發現流向電磁力可有效降低柱體受到的阻力并成功抑制渦致振動.此外,流向電磁力被用于潛艇圓柱光電桅桿的消渦減振[21].

作者前期采用圓柱整體加力方式,實現了圓柱尾跡轉捩模態的有效調控,并初步定性分析了轉捩模態變化的誘因[22],但量化分析有待進一步完成.同時,不同加力區域對轉捩控制效果的影響規律也有待進一步揭示.因此,本文將詳細討論不同加力區域下電磁力對圓柱尾跡的轉捩控制效果,對擾動增長率變化誘因進行量化分析,進一步揭示電磁力改變圓柱尾跡轉捩模態的誘因.

2 計算與分析方法

本文控制模型如圖1 所示,d為圓柱直徑,電磁極沿展向交替排布于圓柱表面,產生流向電磁力,此時流動滿足以下控制方程:

其中u,p為流體速度與壓力,t是時間,fL是流向電磁力,其表達式為

其中j為電流密度,B為磁感應強度.電流密度又可寫成:

式中σe是流體電導率,E是電場強度.由于∥E∥2?∥u×B∥2(∥ ·∥2表示2 范數),所以電流密度可簡化為j=σeE.通過求解Maxwell 方程可得到電場強度和磁感應強度,Berger等[23]詳細闡述了流向電磁力的計算過程.電磁力的空間分布如圖1 所示,可以發現電磁力大小沿展向(z軸方向)周期性變化.當將電磁力作展向平均后,發現電磁力大小沿著壁面法線方向呈指數衰減.為了便于研究,研究人員通常將流向電磁力作近似表達為指數形式[24],本文中將電磁力近似表達為Nexp(?5πr),其中N是電磁力作用參數,表示電磁力與慣性力的比值,r表示到電磁激活板表面的距離.本文中,電磁力控制方式分為3 種:全圓柱控制、迎流面控制和背流面控制.在全圓柱控制中,電磁力控制區域為整個圓柱表面;在迎流面控制中,電磁力只施加于圓柱前半段;在背流面控制中,電磁力作用于圓柱后半段.

圖1 控制模型Fig.1.Control model.

若將方程(1)中流場變量寫成基態流與擾動和的形式:(u,p)=(U,P)+(u′,p′),則方程(1)變為

由于基態流滿足:

將方程(4)減去方程(5)得到:忽略方程中高階小量O(u′2),得到線性擾動方程:

對方程(7)兩邊取散度,由于? ·u′=0,則擾動壓力p′可用擾動速度u′表示,此時線性擾動方程(7)可進一步寫成算子形式:

由于圓柱二維尾跡基態流U是周期性流動,因此算子L也是周期性的,滿足Floquet 型.考慮算子L的特征系統,其特征值為λj,對應的特征矢量為u?j(x),且滿足:

那么,擾動從t0時刻經過一個周期τ到t0+τ時刻的變化可以表達為

方程中特征值λj=σr+iω,其中σr是擾動增長率,ω為頻率.u?j是特征矢量,可看作擾動模態.

3 網格劃分與驗證

本文采用高精度譜元法[25]求解Re=300 下的流場結構,圖2 展示了基態流計算及線性穩定分析的計算區域和網格劃分.來流入口距圓柱中心20 個圓柱直徑,出口距圓柱中心40 個圓柱直徑,上下邊界距圓柱中心20 個圓柱直徑.空間區域被劃分為1144 個四邊形h型網格,網格尺寸大小與流場形態有關.由于圓柱近壁區域存在流動分離,且這一區域為加力控制區域,所以近壁網格被加密,圓柱壁面被劃分為20個h型網格,如圖中局部放大圖所示.

圖2 計算區域網格劃分Fig.2.Mesh of the calculation domain.

在譜元法中,每個h型單元網格通過單元插值被進一步劃分,本文中單元插值函數及單元節點變量展開的形函數均為Gauss-Lobatto-Legendre Lagrange 多項式系統.流場中的邊界條件根據求解流場的性質設置.在基態流求解時,入口及上下邊界Γ∞和圓柱壁面Γb均設為Dirichlet邊界條件,即(u=1,v=0)和(u=0,v=0);出口邊界Γo設為Neumann邊界條件,即(?nu=0,?nv=0);除了出口邊界Γo外,其他所有邊界上的壓力均設為高階Neumann 邊界條件[26],而邊界Γo上的壓力設為0.在進行Floquet 穩定性分析時,邊界條件的設置與基態流求解時相似,只是出口邊界與圓柱壁面上的擾動均設為0.時間離散采用三步分裂法[26],在Floquet 穩定性分析時采用時間步方法、Krylov 子空間方法以及QR 矩陣分解法求解方程(9)中特征值問題,同時將三維擾動寫成如下形式:

詳細的特征值求解過程,讀者可參考Barkley等[27]的研究文章.

由于本文h型網格數量多于Barkley等[3]研究中的網格數量,因此在收斂性驗證中主要討論插值階數對收斂性的影響.表1展示了不同插值階數K下的計算收斂性,計算時間步長均為0.001,采用2 階格式時間離散.是無電磁力控制時,基態流中圓柱受到的平均阻力系數(包含壓差阻力和摩擦阻力),表達式為其中fpx和fvx分別是流向壓應力和黏性應力,為流體動壓,ρ是流體密度,T為尾跡周期;σr表示無電磁力控制時展向擾動波數β=7.60 時擾動的指數增長率.可以看到,當插值階數K≥6時,相對差值的量級小于O(10?4),這表明采用8 階插值可以使得求解結果達到非常高的精度.

表1 不同插值階數下的計算收斂性Table 1.Convergence for different interpolation orders.

Re=300時,無電磁力控制下基態流圓柱尾跡的Stro uhal數S t=fd/U∞=0.212,其中f為渦街脫落頻率,所以展向波數為7.60的三維擾動在經過一個周期的線性演化后,其擾動幅值將變為初始擾動的e xp(0.14555/0.212)≈2 倍.實際上,圓柱尾跡變化頻率隨著雷諾數的增大而增大.圖3 展示了采用8 階插值、時間步為0.001 及2 階格式時間離散下計算得到的不同雷諾數下圓柱尾跡的Strouhal 數.可以看到,尾跡中卡門渦的脫落頻率隨雷諾數變化曲線呈上凸狀,表明隨著雷諾數增大,渦街脫落頻率的增長率逐漸減小.圖中不同符號代表不同參考文獻的研究結果,可以看到本文的數值計算結果與Barkley等[3]、Williamson[28]及Hammache等[29]的研究結果吻合得較好,這表明本文數值計算算法的可行性.因此,在接下來的計算分析中,采用8 階插值,計算時間步長為0.001,且采用2 階格式時間離散.

圖3 隨雷諾數變化的圓柱尾跡Strouhal數Fig.3.The Strouhal number of the cylinder wake varying with the Reynolds number.

4 結果與討論

4.1 轉捩模態的增長率

本文采用流向電磁力改變二維基態流,從而影響尾跡中三維擾動的增長率,改變尾跡轉捩模態.圖4 展示了圓柱尾跡的Strouhal 數隨電磁力作用參數的變化規律.在無電磁力控制時,二維尾跡中渦街脫落頻率為0.212.當施加流向電磁力后,渦街脫落頻率隨著電磁力作用參數的增大而增大,而增大的速度在全圓柱控制下最大.在電磁力作用參數較小時(0.9

圖4 隨電磁力作用參數變化的圓柱尾跡Strouhal數Fig.4.The Strouhal number of the cylinder wake varying with the control number.

圖5 展示了不同控制參數下轉捩模態B的增長率隨擾動波數的變化特性,其中無曲線部分σr對應的ω不為0,其余部分ω均為0.可以看到在無電磁力作用下,擾動的增長率隨著擾動波數的增大而增大,并在β=7.58 時達到最大值,然后隨著波數的增大而單調遞減.在迎流面控制中,不同電磁力作用參數下三維擾動的增長率隨波數的變化趨勢幾乎一致,擾動增長率峰值及對應的擾動波數隨著作用參數的增大而增大,但變化較小.如N=0.6時,峰值σr=0.1498位于β=7.78處,而N=1.0時,峰值σr=0.1605 位于β=7.92 處.盡管增長率最大值隨著電磁力作用參數的增大而增大,但由于尾渦變化周期隨電磁力作用參數增大而減小,所以迎流面控制中一個周期內擾動增長率的峰值幾乎不隨電磁力作用參數變化.背流面控制中,不同電磁力作用參數下,擾動增長率的變化比較明顯.可以看到,在背流面控制中,擾動增長率隨擾動波數的變化趨勢與迎流面控制中相同,擾動增長率峰值隨電磁力作用參數的增大而減小,對應的擾動波數隨之增大.在N >0.6時,背流面控制中擾動增長率小于0,表明背流面控制下這一量級的電磁力可以有效抑制小波長三維擾動的增長,使得尾跡中不存在轉捩模態B.

圖5 不同控制參數下隨擾動波數變化的模態B 增長率(a)迎流面控制;(b)背流面控制;(c)全圓柱控制Fig.5.The growth rates of Mode B varying with the spanwise wavenumber for different control numbers:(a)Windward control;(b)leeward control;(c)global control.

盡管全圓柱控制從加力方式上可以看成迎流面控制和背流面控制之和,但從控制效果來看,全圓柱控制對擾動增長率的抑制效果大于前兩種控制效果之和.對比圖5(b)和(c)中同一電磁力作用下的σr值,可以發現,同一電磁力作用參數下,全圓柱控制三維擾動的增長率稍小于背流面控制中.不但如此,由于全圓柱控制中尾跡中渦街脫落頻率大于背流面控制中,所以擾動在線性演化一個周期后其擾動幅值的增長率更小于背流面控制中,這表明整體控制并不是局部控制的簡單疊加.但從控制效率看,背流面控制優于全圓柱控制,因為圓柱繞流敏感性分析中,背流面區域對控制力更敏感[13].

圖6 展示了不同控制參數下模態A的增長率隨擾動波數的變化規律.在迎流面控制中,流向電磁力對大波長擾動增長率的影響甚微,不同電磁力作用下的曲線幾乎重合,這與小波長擾動變化情況類似,這表明迎流面控制對Re=300 時圓柱尾跡中三維擾動增長的抑制效果不佳.相比于迎流面控制,背流面控制和全圓柱控制對尾跡中三維擾動增長的抑制效果非常明顯.此外,由圖6 可以看出,最不穩定大波長擾動的波數對電磁力作用參數的變化不敏感,波數都集中在β=1.8 左右.在電磁力作用參數N≤1.0時,背流面控制和全圓柱控制中的曲線變化相似,在N=1.2時,全圓柱控制中擾動增長率峰值小于背流面控制中,這種情況與小波長擾動增長率隨電磁力作用參數的變化相似,進一步說明在不同控制參數下,全圓柱控制中對擾動抑制效果最佳.當然,隨著電磁力作用參數的繼續增大,背流面控制和全圓柱控制將完全抑制圓柱尾跡中所有波長擾動的增長,使得圓柱尾跡中不存在轉捩模態A,這樣就完全抑制流動轉捩.

圖6 不同控制參數下隨擾動波數變化的模態A 增長率(a)迎流面控制;(b)背流面控制;(c)全圓柱控制Fig.6.The growth rates of Mode A varying with the spanwise wavenumber for different control numbers:(a)Windward control;(b)leeward control;(c)global control.

圖7 展示了不同控制參數下最不穩定轉捩模態的增長率,即實Floquet 乘子的模.可以看到迎流面控制下,最不穩定轉捩模態的增長率隨電磁力作用參數變化較小,而在背流面控制和全圓柱控制下隨著作用參數的增大而迅速減小.

圖7 不同控制參數下最不穩定轉捩模態的增長率(a)模態A;(b)模態BFig.7.The growth rate of the most unstable transition mode for different control numbers:(a)Mode A;(b)Mode B.

由圖5和6 可知,在電磁力作用參數N=1.0時,迎流面控制中圓柱尾跡轉捩模態表現為模態B,而背流面控制及全圓柱控制中,尾跡轉捩模態表現為模態A.圖8 展示了這些最不穩定的轉捩模態,云圖采用展向擾動渦量表示,渦量值為–0.02—0.02.由于展向擾動分布與展向渦量分布相似,因此圖8 可較好地展示轉捩模態的空間分布特性.作為對比,圖8(a)展示了無電磁力控制中最不穩定的模態B,其展向擾動波數為7.58.對比圖8(a)和(b),可以發現模態B 中的擾動分布相似,主要集中在近尾跡中辮狀區域.模態A(圖8(c)和(d))中的擾動主要集中在渦核區域.緒論中提到,振蕩器流動系統中擾動呈現自維持振蕩,這些三維擾動的空間分布與基態流尾渦有關,隨著基態流中渦強度的逐漸減小,擾動強度也沿流向衰減.從渦量幅值沿流向的衰減看,模態A 中擾動衰減比模態B 緩慢.

圖8 不同控制參數下的最不穩定轉捩模態(云圖為渦量)(a)無控制;(b)迎流面控制;(c)背流面控制;(d)全圓柱控制Fig.8.The unstable transition mode(the contour is the vorticity):(a)No control;(b)windward control;(c)leeward control;(d)global control.

4.2 橢圓與雙曲不穩定

Williamson[1]和Thompson等[30]認為模態A和模態B 中的擾動分布與增長分別與尾跡中橢圓不穩定和雙曲不穩定有關.他們通過對圓柱尾跡中橢圓不穩定和雙曲不穩定區域增長率的分析,成功得到了最不穩定三維擾動的展向波長及增長率.流動中橢圓不穩定與雙曲不穩定區域由離心率ζ區分,ζ定義為

其中S和?分別為應變率和旋轉率張量:

∥S∥=是應變率幅值,表示渦量幅值.和分別表示各自的共軛轉置,“tr”表示矩陣的跡.0<ζ<1 表示該流動區域主要存在橢圓不穩定,而ζ >1 表示該流動區域主要存在雙曲不穩定.橢圓不穩定和雙曲不穩定區域的增長率由兩部分組成;黏性增長率σv和無黏增長率σi,而黏性增長率相比于無黏增長率較小,所以接下來將著重討論這些區域在不同控制參數下的無黏增長率變化.無黏增長率的表達式為[30]

無電磁力控制中,一個周期內圓柱尾跡中橢圓不穩定與雙曲不穩定區域的無黏增長率隨時間的變化如圖9 所示.值得一提的是,這里的增長率是積分所得增長率,并且積分區域為高無黏增長率區域,即橢圓不穩定區域的無黏增長率σie>0.3,雙曲不穩定區域的無黏增長率σih>0.6,積分區域為0 ≤x≤8,?4 ≤y≤4,圖中的“T”示尾跡中渦街脫落周期.可以看到曲線整體成周期性變化,變化周期是尾渦脫落周期的一半,與基態流中圓柱所受阻力變化周期相同.無黏增長率隨時間周期性變化是因為尾渦的上半區域和下半區域交替演化.可以看到無電力控制中橢圓不穩定區域的無黏增長率變化曲線的平均值為1.04(黑點線),縱坐標取值區間為[0.89,1.19];雙曲不穩定區域的無黏增長率變化曲線的均值為3.59,縱坐標取值區間為[3.39,3.79],無黏增長率的平均值大于橢圓不穩定區域的無黏增長率平均值.對比兩圖可以發現,橢圓不穩定區域的無黏增長率在半個尾跡周期內的變化不對稱,變化時長比約為5 :3,而雙曲不穩定區域的無黏增長率變化的對稱性相對較高,接近 1 :1.

圖9 無控制中橢圓不穩定和雙曲不穩定誘導的時變無黏增長率(a)橢圓不穩定誘導;(b)雙曲不穩定誘導Fig.9.Variations of the inviscid growth rates induced by the elliptic instability and hyperbolic instability:(a)Induced by the elliptic instability;(b)induced by the hyperbolic instability.

圖9 中標記的兩個點分別代表各自不穩定區域的無黏增長率峰值時刻,圖10 所示為這兩個時刻圓柱尾跡中橢圓不穩定和雙曲不穩定區域的空間分布.虛線表示渦量為–2的等值線,實線表示渦量為2的等值線,云圖去掉了σie<0.5及σih<1.2區域.圖10(b)中,圓柱尾跡中的高無黏增長率的橢圓不穩定區域主要集中在渦核區域,且初生渦渦核中橢圓不穩定區域的無黏增長率明顯大于次生渦中.圖10(a)中,尾跡中的雙曲不穩定區域主要存在于3 個區域:初生渦渦腿、回流區以及連接初生渦與次生渦的辮狀區域.前面提到,雙曲不穩定主要與流動區域的應變有關,初生渦生長過程中,渦腿被拉伸,使得這一區域出現雙曲不穩定;初生渦發展成次生渦過程中,辮狀區域也被拉伸,從而這一區域也集中了雙曲不穩定;在回流區,由于壁面的阻擋作用,回流區流體受到擠壓發生很大的形變,從而也集中了雙曲不穩定.圖9中,t2

圖10 無控制中橢圓不穩定和雙曲不穩定誘導的具有最大無黏增長率的區域(云圖為無黏增長率)(a)t1 時刻橢圓不穩定誘導;(b)t2 時刻雙曲不穩定誘導Fig.10.Regions with the maximum inviscid growth rates induced by the elliptic instability and hyperbolic instability:(a)Induced by the elliptic instability at t1;(b)induced by the hyperbolic instability at t2.

圖11 所示為全圓柱控制中一個周期內圓柱尾跡中橢圓不穩定和雙曲不穩定區域的無黏增長率的變化.積分區域及積分變量的取值范圍與無電磁力控制下相同,圖中的“T”表示相應作用參數下尾渦脫落周期,其值隨電磁力作用參數的增大而減小.圖中橢圓不穩定和雙曲不穩定區域的無黏增長率的縱坐標區間大小分別為0.3和0.2.可以發現,隨著電磁力作用參數的增大,無論是橢圓不穩定還是雙曲不穩定區域,其無黏增長率在一個周期內的平均值逐漸減小.不同電磁力作用參數下橢圓不穩定區域的無黏增長率變化曲線相似,而雙曲不穩定區域的無黏增長率在短時間間隔內的波動減小,卻在一個周期內的整體波動增強.此外,雙曲不穩定區域的無黏增長率峰值出現的時間更加滯后于橢圓不穩定區域,這是因為隨著電磁力作用參數的增大,流動分離被逐漸抑制,在初生渦形成到次生渦脫落過程中,辮狀區域會被進一步拉伸,從而兩個峰值出現的時間間隔占渦脫落周期的比重就增大,雙曲不穩定區域的無黏增長率峰值時刻更加滯后.短時間間隔內雙曲不穩定區域的無黏增長率的波動是由初生渦擺動造成,在電磁力作用下,流動分離得到一定抑制,初生渦的擺動也得到相應抑制,這樣雙曲不穩定區域無黏增長率曲線的短時間間隔波動就會減弱.曲線整體波動的加劇歸因于渦脫落頻率的增大,使得上下兩部分初生渦被交替拉伸的時間間隔變短,這樣雙曲不穩定區域的無黏增長率在一個周期內的波動就會增大.

圖11 全圓柱控制中橢圓不穩定和雙曲不穩定誘導的時變無黏增長率(a)N=0.6;(b)N=0.8;(c)N=1.0;(d)N=1.2Fig.11.Variations of the inviscid growth rates induced by the elliptic instability and hyperbolic instability with the time:(a)N=0.6;(b)N=0.8;(c)N=1.0;(d)N=1.2.

圖12 所示為不同控制參數下圓柱尾跡中橢圓不穩定和雙曲不穩定區域的無黏增長率在一個演化周期內的平均值,這一平均值代表了不穩定區域在一個周期內的無黏增長率.可以看到橢圓不穩定區域的無黏增長率平均值隨著電磁力作用參數的增大而減小,這是因為背流面控制和全圓柱控制時,尾渦得到一定抑制,渦強度降低,從而渦核區域的橢圓不穩定區域的無黏增長率平均值減小.圖12(a)中,同一電磁力作用參數下,全圓柱控制中橢圓不穩定區域的無黏增長率平均值小于背流面控制中.實際上,圖12(a)只展示了高無黏增長率區域,對于一般或較低無黏增長率區域(如渦核以外的積分區域),其在全圓柱控制中較背流面控制中少,所以確定積分區域和積分變量取值后,全圓柱控制下無黏增長率的平均值較背流面控制中小.與橢圓不穩定平均無黏增長率的變化相似,背流面控制和全圓柱控制情況下雙曲不穩定區域的平均無黏增長率隨著電磁力作用參數的增大而減小.在迎流面控制中,雙曲不穩定區域的平均無黏增長率隨著電磁力作用參數的增大而增大,但增量很小.可以看到,背流面控制和全圓柱控制下的兩條曲線很接近,但在同一電磁力作用參數下,背流面控制下雙曲不穩定區域的平均無黏增長率小于全圓柱控制中.這一現象歸因于全圓柱控制中辮狀區域的進一步拉伸,從而雙曲不穩定區域的平均無黏增長率稍增大.

圖12 隨電磁力作用參數變化的平均無黏增長率(a)橢圓不穩定誘導;(b)雙曲不穩定誘導Fig.12.Variations of the mean inviscid growth rates with the control numbers:(a)Induced by the elliptic instability;(b)induced by the hyperbolic instability.

對比圖12(b)和圖7(b),可發現Floquet 穩定性分析中,在同一電磁力作用參數下,全圓柱控制中最不穩定轉捩模態B的增長率小于背流面控制中,而在雙曲不穩定分析中,這一趨勢剛好相反(圖12(b)).該現象歸因于兩方面因素,一方面圖12(b)只代表高無黏增長率隨電磁力作用參數變化的趨勢,且在雙曲不穩定區域的無黏增長率分析時,設定了積分區域及積分變量的取值范圍,從而只考慮了近尾跡中的高無黏增長率區域,忽略了小無黏增長率區域;另一方面,前面已提到圓柱尾跡中不穩定區域的增長率由無黏增長率和黏性增長率組成,即σ=σi?σv,而圖12(b)中只展示了無黏增長率的變化.無論是哪種因素,由于Floquet穩定性分析得到的是全局流場的三維擾動變化,因此相同電磁力作用參數下,全圓柱控制可使轉捩模態獲得最小的增長率.圖7和圖12 中曲線變化特性相似,這進一步表明橢圓不穩定誘導了轉捩模態A的增長,而雙曲不穩定誘導了轉捩轉捩模態B的增長.

4.3 三維尾跡特性

通過對二維基態流的Floquet 穩定性分析、尾跡區域橢圓不穩定與雙曲不穩定誘導無黏增長率分析得到背流面控制及全圓柱控制下圓柱尾跡轉捩模態變化的原因,然而轉捩模態增長率的變化只是線性穩定性分析的結果.實際流動中,擾動通過非線性演化形成湍流,所以本文將采用三維直接數值模擬研究轉捩模態的非線性演化以及此時流向電磁力的控制效果.在計算轉捩模態A的非線性演化時,計算區域的展向尺寸為最不穩定轉捩模態A 對應展向擾動波長的4倍,而在計算轉捩模態B的非線性演化時,三維計算區域的展向尺寸為最不穩定轉捩模態B 對應展向波長的16 倍.采用譜元法進行三維計算時,變量在展向(第三維方向)Fourier 展開,展開平面數即是展向計算節點數.Fourier 模態關于模態指數0 共軛對稱的,若選用整個Fourier 模態進行變量展開,混淆誤差會使兩個展開變量乘積的Fourier 系數并不等于各自變量系數的乘積,因此計算中展向平面個數設為偶數,只選取Fourier 模態指數不小于0的模態參與展開.計算區域在展向均采用192 個平面,這樣就有96 個Fourier 模態,充分保證了流場刻畫的分辨率.初始流場為不同控制參數下的基態流場疊加最不穩定的轉捩模態,轉捩模態中擾動能量與基態流能量的比值為10?5.邊界條件設置與二維基態流計算時相同,展向邊界設為周期性邊界條件,采用二階格式的時間離散,計算時間步長為0.001.

圖13 展示了三維直接數值模擬中不同控制參數下主Fourier 模態(最不穩定模態)的能量ε=隨時間的變化,電磁力作用參數為0.6.是二維計算域面積,是Fourier 模態中速度變量,是其共軛變量.可以看到,演化初期,主模態能量變化曲線呈波動上升,達到最大值后,能量曲線稍稍下降直至準平衡狀態.達到能量平衡狀態的主Fourier 模態的能量隨時間呈周期性變化,變化周期約為二維尾跡周期的一半.在無電磁力控制和迎流面控制中,能量曲線一開始的增長率相似,這與圖7(b)結果相吻合,不過由于非線性影響,達到準平衡狀態時迎流面控制下主Fourier 模態的能量小于無電磁力控制中.背流面控制和全圓柱控制中主Fourier 模態的能量一開始增長緩慢,這是由于黏性耗散引起的.當主Fourier 模態能量增大到一定量級后,增長率增大.當t >20后,背流面控制下的主Fourier 模態能量增長率稍大于全圓柱控制下,這一趨勢與圖7(b)中結果相吻合.

圖13 隨時間變化的主Fourier 模態能量Fig.13.The energy of the primary Fourier mode varying with the time.

圖14 展示了電磁力作用參數N=1.0時,不同控制情形下的三維流動結構圖,這些流動結構均是由如圖8 所示的初始擾動演化形成,渦結構采用λ2判別準則[31]描述(λ2=?0.001).可以看到,在給定初始擾動后,圓柱尾跡中的擾動形成自維持振蕩,擾動能量隨時間指數增長,達到非線性飽和臨界值后,由非線性主導流動轉捩,形成圖14 中三維結構.圖14(a)和(b)展示了由轉捩模態B 非線性演化形成的三維渦結構,圖14(c)和(d)展示了由轉捩模態A 非線性演化形成的三維渦結構.可以發現圓柱三維尾跡中相鄰的展向渦由流向渦對連接,在由模態B 非線性演化形成的三維流場中,流向渦對的展向間距較小,約為0.8 個圓柱直徑.在由模態A 非線性演化形成的三維流場中,流向渦對的空間尺寸大于模態B 中的流向渦對,且其展向間距約為3.4 個圓柱直徑.不難看出,由轉捩模態A 形成的三維渦結構中,展向渦出現形變,從而每個流向位置處展向渦上的流向渦的旋轉方向發生變化.而由轉捩模態B 形成的三維渦結構中,展向渦沿展向不變化,所以經過每個展向渦的流向渦旋轉方向不變.在同一展向位置,流向渦形成的流動結構好似在展向渦附近正弦振蕩.

圖14 不同控制工況下的圓柱三維尾跡結構Fig.14.The three-dimensional structures of the cylinder wake for different control cases.

圖15 展示了不同控制參數下由模態B 非線性演化形成的流場中不同流向位置處展向速度脈動沿法向的變化.實線表示無電磁力作用時,虛線、點劃線和點線分別表示迎流面控制、背流面控制和全圓柱控制時.可以看到無電磁力控制和迎流面控制中,展向脈動速度沿法向變化相似,而背流面控制和全圓柱控制中曲線空間變化趨勢接近.總的來看,在同一法向位置,無電磁力控制中的展向脈動速度最大,而在全圓柱控制中最小,這一現象歸因于擾動能量的降低.可以發現,曲線關于y/d=0 對稱,且存在兩個峰值,這是由于三維尾渦上下交替演化,而大部分展向擾動存在于辮狀區域,所以辮狀區域會出現展向速度脈動峰值.由于基態流中渦街脫落過程中渦的振蕩,使得連接相鄰渦核的辮狀區域沿法向擴張,所以圖8(a)和(b)展示的模態B 中的下游擾動逐漸沿法向擴張,從而轉捩形成的三維渦結構圖中流向渦對也沿法向擴張(圖14(a)和(b)),因此可以看到展向脈動速度峰值沿法向向兩邊移動.此外,圓柱繞流屬于振蕩器流動系統,擾動在空間固定位置隨時間呈指數增長,盡管Floquet 穩定性分析中模態B 中的擾動在x/d=1.2處擾動較強,當在其三維非線性演化中,由于非線性影響,這一位置的展向速度脈動較小.在其下游位置,速度脈動增強.不過,當x/d>2.1后,展向速度脈動沿流向開始衰減,這與Floquet 模態展示的擾動強度分布類似.

圖15 模態B 轉捩形成的流場中流向不同位置展向速度脈動Fig.15.Distributions of the spanwise velocity pulsations along the wall-normalwise direction at different streamwise locations in the wake evolving from Mode B.

圖16 展示了不同控制參數下由轉捩模態A 非線性演化形成的流場中不同流向位置展向速度脈動沿法向的變化,其中實線表示背流面控制,虛線表示全圓柱控制,電磁力作用參數為1.0.對比圖15和圖16 可知,由模態A 非線性演化形成的三維流場中的展向速度脈動沿法向的變化與由模態B 非線性演化形成的三維流動中展向速度脈動沿法向變化不一樣.盡管兩種曲線都關于y/d=0對稱,都有兩個峰值,但可以看到由模態B 非線性演化形成的三維流動結構中展向速度脈動在峰值附近波動較大,而由模態A 非線性演化形成的三維流場中,該波動較小.這一現象歸因于擾動增長的誘因不同,可以看到圖9(b)中曲線在峰值附近的波動比圖11(c)中黑線所示曲線波動劇烈,而這種隨時間的波動恰好也反映了不穩定在空間上的波動.雙曲不穩定與流動區域的應變有關,而辮狀區域伴隨著初生渦生成次生渦、初生渦的生長以及次生渦的脫落,雙曲不穩定區域的無黏增長率在峰值附近波動劇烈,使得轉捩后流場中展向速度脈動在峰值附近波動劇烈.而橢圓不穩定區域主要集中在渦核區域,其無黏增長率與渦量強度有關,而一個周期內圓柱尾渦的渦強度變化較規律,所以橢圓不穩定區域的無黏增長率在峰值附近波動較小,從而使三維流場中展向脈動速度在峰值附近波動較小.

圖16 模態A 轉捩形成的流場中流向不同位置展向速度脈動Fig.16.Distributions of the spanwise velocity pulsations along the wall-normalwise direction at different streamwise locations in the wake evolving from Mode A.

表2 展示了不同控制參數下圓柱所受平均阻力系數,此時平均阻力系數計算采用面積分,表達式為其中Sb代表圓柱表面.對比表中數據可知,迎流面控制中,無論是N=0.6 或1.0,圓柱所受平均阻力幾乎不變,與無電磁力控制時相同.而在背流面控制和全圓柱控制中,圓柱所受阻力較無電磁力控制時降低,且當電磁力作用參數由0.6 增大到1.0后,電磁力的減阻率增大.在N=1.0時,背流面控制和全圓柱控制下,圓柱所受阻力較無電磁力控制時分別降低了15.2%和14.4%.

表2 不同控制參數下圓柱所受平均阻力Table 2.The average drag for different control numbers.

5 結論

本文通過在圓柱迎流面、背流面和全圓柱布置電磁激活板,產生流向電磁力對R e=300 時的圓柱尾跡轉捩進行控制,發現圓柱基態流尾跡的頻率隨電磁力作用參數的增大而增大.迎流面控制中,圓柱尾跡轉捩模態A和模態B的增長率幾乎不變.在背流面控制和全圓柱控制中,兩種最不穩定轉捩模態的增長率均隨電磁力作用參數的增大而減小.通過對比不同控制工況下尾跡中橢圓不穩定和雙曲不穩定誘導的無黏增長率變化規律,發現迎流面控制中高無黏增長率較無電磁力控制時變化較小,而背流面控制和全圓柱控制中兩種不穩定誘導的無黏增長率均隨電磁力作用參數增大而減小.這些變化趨勢與Floquet 穩定性分析結果吻合,表明橢圓不穩定和雙曲不穩定分別誘導了轉捩模態A和模態B的增長.最后,對圓柱尾跡的三維直接數值模擬發現電磁力作用參數N=0.6時,無論哪種控制工況,圓柱尾跡中流向渦對的展向距離均為0.8 個圓柱直徑.此時,背流面控制和全圓柱控制中尾跡中展向脈動速度最小.當電磁力作用參數增大到1.0后,背流面控制和全圓柱控制中圓柱尾跡流向渦對的間距約為3.4 個圓柱直徑,該結果與Floquet 穩定性分析結果吻合.由模態A 非線性演化形成的三維結構中展向脈動速度在峰值附近波動較小,而由模態B 非線性演化形成的三維流場中展向脈動速度在峰值附近波動較大,這與橢圓不穩定和雙曲不穩定區域無黏增長率分析結果吻合.此外,迎流面控制并不能改變圓柱所受阻力,而背流面控制和全圓柱控制可以減小圓柱所受阻力,且減阻率隨著電磁力作用參數的增大而增大,在背流面控制和全圓柱控制中N=1.0時,圓柱尾跡所受阻力被分別減小了 15.2%和 14.4%.總的來說,3 種控制策略中,背流面控制的效率最高.