一類具有快速增權的非線性橢圓方程解的存在性①

鄭文靜， 陳尚杰， 李麟

1.重慶工商大學 數學與統計學院，重慶 400067；2.經濟社會應用統計重慶市重點實驗室，重慶 400067

考慮如下發展方程：

(1)

(2)

具體可參見文獻[1].熱方程作為拋物型偏微分方程，不僅可以用來描述熱傳導過程，也可以用來描述多種反應的擴散過程，諸如液體流動、傳染病擴散、生物種群的遷移、生物分子的運動以及飛行器的冷卻與保護等.目前關于用變分原理來研究相關增權問題解的存在性和不存在性，受到了國內外學者的廣泛關注并取得了豐碩的研究成果.

文獻[2]研究了在非線性項f(x，u)分別滿足超線性條件和漸近線性條件的情況下，方程(2)基態解的存在性.除此之外，更多的學者研究了方程(2)中非線性項f(x，u)具有臨界增長的情況，即如下方程：

(3)

其中

文獻[3-8]研究了N≥3且非線性項臨界增長的情況，通過改變方程(3)中a(x)，b(x)的取值及討論q和參數λ的取值范圍，分別得到了相應方程的基態解、非徑向解、非徑向對稱基態解、變號解、衰減解、非平凡解和多解的存在性結論.文獻[9-10]研究了方程(3)帶有凹凸非線性項的情況，其中文獻[9]運用極小化理論和山路定理證明了方程存在兩個非負解，文獻[10]在文獻[9]的基礎上，運用測試函數和山路定理得到了方程非平凡解的存在性.

與上述方程略有不同，文獻[11]考慮了帶非局部項的橢圓型偏微分方程

(4)

目前關于該類具有快速增權的方程的研究多限于非線性項為具體函數，如方程(3).而在非線性項為抽象函數(如方程(4)的右邊)的情況下，該類方程的解是否存在，還尚未可知.

基于對以上帶權重K(x)的方程的研究及文獻[11，15]的啟發，本文將研究如下一類帶有一般非線性項的橢圓型方程解的存在性問題：

(5)

由于方程(5)不是點態恒等的，且其右端是一個抽象函數，我們不能確定范數項與非局部項的競爭關系.并且關于該類方程是否存在基態解這一問題，暫無學者做相關研究.因此本文不能利用文獻[2，11]的方法證明方程(5)解的存在性.為了解決這一問題，受文獻[2，15]的啟發，本文考慮將方程放入一個加權的Sobolve空間中以解決空間失緊問題，并對非線性項f(x，u)做一些恰當的假設，利用山路定理來證明解的存在性.對非線性項f(x，u)的假設如下：

(F4)(局部AR條件) 存在l>0，C2>0，使得

本文的主要結果為：

定理1假設條件(F1)-(F4)成立，則方程(5)有一個非平凡解.

定理2假設條件(F1)-(F3)和(F5)成立，則方程(5)有一個基態解.

注1對于方程(5)，目前還沒有類似的結論，且關于本文中給出的條件，可以找到滿足條件的函數，如F(x，t)=t4log(1+|t|).

范數為

對?q∈[2，6]，定義空間

對?q∈[2，6]，可以定義

Sq=inf{‖u‖2：u∈X，‖u‖q=1}

方程(5)相應的能量泛函為

(6)

顯然，I(u)是連續可導泛函，且其導數形式為

(7)

如果對?v∈X，u∈X滿足〈I′(u)，v〉=0，則u∈X是方程(5)的弱解.

Γ={γ∈C([0，1]，X)：γ(0)=x0，γ(1)=x1}

若泛函I滿足(C)c條件(既對任何滿足I(un)→c，(1+‖u‖)I′(un)→0的序列{un}都有一個收斂子列)，則c是I的一個臨界值，且c>max{I(x0)，I(x1)}.

證設{un}是泛函I的一個(C)c序列，即滿足

I(un)→c(1+‖u‖)I′(un)→0

(8)

定義集合

則meas(B)≥0.下面分兩種情況考慮：

情況1 若meas(B)>0，根據‖un‖→∞可以得到，當n→∞時，有|un|→∞(?x∈B).因此，由Fatou引理可得

(9)

又由條件(F1)，(F2)和(F3)知，對?M>0，存在CM>0，使得

(10)

因此由定理3有

(11)

根據(9)式和(11)式，當n→∞時，有

不等式兩邊矛盾，說明假設錯誤，則序列{un}是有界的.

-C3|t|≤f(x，t)≤C3|t|

因此存在C4>0，使得當|t|≤l時，

f(x，t)-4F(x，t)≥-C4|t|2

f(x，t)-4F(x，t)≥-C5|t|2

因此有

上面已證明對泛函I的任一(C)c序列{un}在空間X中都是有界的.現證序列{un}在空間X中有一個強收斂的子列.因為序列{un}是有界的，所以存在一個子列{un}(仍記為{un})和u∈X，使得

un?ux∈X

由(6)式和(7)式可以得到

整理得

當n→∞時，顯然有

〈I′(un)-I′(u)，un-u〉→0

(12)

由序列{un}在X中的有界性，且在空間X中un?u，則當n→∞時，有

(13)

由條件(F1)，(F2)知，存在C6>0，使得

|f(x，t)|≤C6|t|+C6|t|p-1p∈[4，6)

結合H?lder不等式，有

(14)

結合(12)，(13)和(14)式可以得到‖un-u‖→0，證畢.

引理2設條件(F1)-(F3)成立，則泛函I滿足山路幾何結構：

(i)存在ρ，r>0，使得對任意的u(‖u‖=ρ)，有I(u)≥r；

(ii)存在φ∈X，使得‖φ‖>ρ和I(φ)<0.

證(i)由條件(F1)和(F2)知，對?ε>0，存在Cε>0使得

結合定理3，有

又因ε任意小，而p∈[4，6)，因此存在ρ，r>0(ρ足夠小)，對任意的u(‖u‖=ρ)，都有I(u)≥r>0成立.

令t足夠大，則存在φ=tu使得‖φ‖>ρ和I(φ)<0.

定理1的證明從引理2可以看出，泛函I具有山路幾何結構.而引理1已證明泛函I滿足(C)c條件，從而泛函I有臨界值，即存在u∈X滿足I(u)=c>0，I′(u)=0，則u為方程(5)的一個非平凡解.

定理2的證明觀察條件(F5)可以推出條件(F4)，因此將條件(F5)換成條件(F4)成立時，引理1和引理2均成立，因此由條件(F1)-(F3)和(F5)可以得出方程(5)有一個非平凡解.令

m=inf{I(u)：u∈X{0}，〈I′(u)，u〉=0}

假設u是泛函I的任意一個臨界點，由條件(F5)得

因此

0≤m≤I(u)<+∞

設{un}是泛函I的臨界點構成的序列，使得I(un)→m，因為u0是臨界點，所以有I′(un)→0，因此{un}是在水平m上的一個(C)c序列，因而其存在收斂子列(仍記為{un})，設其極限為u0，易知I′(u0)=0，即u0為方程(5)的解.又由Fatou引理可得

因此，方程(5)存在一個基態解u0.