半群的秩和3次方冪等元秩①

張心茹， 羅永貴， 劉木村

貴州師范大學 數學科學學院，貴陽 550025

設S是半群，A是S的非空子集且a，e∈S.若對任意的s∈S，存在a1，a2，…，am∈A，使得s=a1a2…am，則A是半群S的生成集，記S=〈A〉.若對半群S的任意生成集B都有|A|≤|B|，則A為半群S的極小生成集.通常半群S的秩定義為

rankS=min{|A|：A?S，〈A〉=S}

其中|A|為A的基數.

若e2=e，則e為半群S的冪等元，半群S中所有冪等元之集記為E(S).類似地，A中所有的冪等元之集記為E(A).

若(a3)2=a3且a3≠a，則a為半群S的3次方冪等元，所有3次方冪等元之集用E3(S)表示.類似地，A中所有3次方冪等元之集記為E3(A).

若A?E3(A)，且對任意s∈S，存在b1，b2，…，bm∈A使得s=b1b2…bt，則A為半群S的3次方冪等元生成集.令M是半群S的任意3次方冪等元生成集且|A|≤|M|，則A為半群S的3次方冪等元極小生成集.進而|A|為半群S的3次方冪等元秩，記為

rank3(S)=min{|A|：A?E3(S)，〈A〉=S}

設Xn={1，2，…，n}并賦予自然序，Tn和Sn分別是Xn上的全變換半群和對稱群，記Singn=TnSn，則Singn是Tn的子半群且Singn為奇異變換半群.記

ker(α)={(x，y)∈[n]×[n]：xα=yα}

顯然

其中1≤i，j≤n且i≠j，即

設n≥3，3≤k≤n，記

令E(Dn-1)為Dn-1中所有冪等元之集，于是有

R(i，j)={α∈Dn-1：iα=jα}

Lq={α∈Dn-1：im(α)=Xn{q}}

本文未定義的符號及術語參見文獻[12-16].

為完成定理1和定理2的證明，先給出以下若干引理：

引理1[2]當n≥3時，Singn=〈E(Dn-1)〉.

引理4[5]當1≤r≤n-2時，Dr?Dr+1·Dr+1.

證易驗證，～是Dn-1上的等價關系.對任意α∈Dn-1，記

|im(αj)|≥n-1 |im(αp)|≥n-1 1≤j，p≤t

f=min{i：|im(αi)|=n-1，1≤i≤t}

l=h1+…+hf-1p=hf+1+…+hk-1

|im(g1αfg2)|=|im(αf)|=n-1

設g1αfg2的唯一非單點核類為{x，y}，則xg1αfg2=yg1αfg2.于是

xg1αfg2αk…αt=yg1αfg2αk…αt

引理10設n≥3，3≤k≤n，則rankE*=3.

引理12設n≥3，3≤k≤n，當k為奇數時，rankE?=n-k+1；當k為偶數時，rankE?=n-k+2.

定理1的證明因為

再由引理1知Singn=〈E(Dn-1)〉.又因

則

定理2的證明由定理1知

顯然

因此

設δ∈Dn-1，且δ的唯一非單點核類為(i，j)，其中i，j∈Xn，則Dn-1中3次方冪等元的形式如下：

設n≥5，3≤k≤n.記

為完成定理3及定理4的證明，先給出以下若干引理：

?

?

對任意的j∈{k-2，k-1，k}，s∈{1，2，3}，有

證根據引理13及引理14可知

從而

定理3的證明因為

則

定理4的證明由定理3知

顯然

因此