基于增益自適應超螺旋滑模理論的無人機控制

周齊賢， 王 寅， 孫學安

(南京航空航天大學 航天學院， 南京 211106)

現(xiàn)如今，無人駕駛飛行器，即無人機(UAV)已在民用領(lǐng)域發(fā)揮重要作用，可以飛得更快、更遠、更高，并在人工難以到達的位置作業(yè).民用無人機能夠攜帶包括相機在內(nèi)的設(shè)備并運送小載荷物品，因此可以進行監(jiān)視、醫(yī)療保健、科學研究和探索、作物噴灑、野生動物監(jiān)測、媒體報道和應急服務(wù)等活動.此類無人機具有快速機動性的同時，也具有耦合性和非線性強的特點.

無人機全包線飛行過程具有難以控制的不確定性，因此，為保證無人機的穩(wěn)定性和安全性，飛行控制器性能設(shè)計要求極高.近10多年來，國內(nèi)外眾多研究人員和學者采用多種控制方法進行相關(guān)領(lǐng)域研究.王家琪等[1]改進滑模面趨近律，基于干擾觀測器的滑?？刂坡梢种茻o人機高速飛行過程中的不確定性和外部干擾，加快系統(tǒng)的收斂速度.黃金杰等[2]將時變參數(shù)變化范圍劃分為具有多個重復區(qū)域的子空間，在非重復區(qū)域單獨調(diào)用相應的狀態(tài)反饋控制器，在重復區(qū)域加權(quán)調(diào)用控制器，基于平穩(wěn)切換的策略設(shè)計具有魯棒H∞性能的無人機控制系統(tǒng).孫冰等[3]采用自適應反步設(shè)計思想，通過使用徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)對無人機舵控指令進行誤差逼近，實現(xiàn)無人機抗飽和非線性飛行控制.劉志豪等[4]針對垂直起降的無人機控制問題，提出最快模式轉(zhuǎn)換定高控制策略，通過模擬分析和實驗手段與比例積分微分(PID)控制策略做對比，證明該控制策略相較于常規(guī)控制策略具有顯著的優(yōu)越性.Huang等[5]采用深度強化學習算法中的雙深度Q學習方法，通過建立無人機的非線性姿態(tài)動力學模型和相應的馬爾可夫決策過程，訓練控制器使其具有優(yōu)秀的固定翼飛行器姿態(tài)控制能力.Zhi等[6]提出一種基于魯棒伺服線性二次型調(diào)節(jié)器控制和卡爾曼濾波器的槳距角控制器.然而，如果飛行狀態(tài)偏離標稱條件，這些控制器的性能就會下降.非線性控制技術(shù)通過對整個飛行狀態(tài)使用單個控制器來改善性能.Hirano等[7]提出推力矢量系統(tǒng)方法解決反步控制方法中虛擬控制量難以確定的問題，并設(shè)計無人機的非線性控制器.Oliveira等[8]使用自適應神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)作為飛行動力學辨識器和遺傳算法在模擬環(huán)境中搜索姿態(tài)控制的最佳參數(shù)，建立使用人工智能技術(shù)的新自適應方法.Swarnkar等[9]為解決空氣動力學系數(shù)在大多數(shù)飛行條件下無法準確獲得的問題，提出一種采用自適應方法學習和控制未知動力學的反推技術(shù)用于飛機的橫向控制.

針對具有強耦合性和強非線性特征的無人機在全包線飛行過程中氣動參數(shù)攝動大、不確定性強、擾動未知等問題，提出一種新型的增益自適應超螺旋滑模(ASTSM)姿態(tài)控制算法.創(chuàng)新之處在于：首先，針對多變量的二階無人機系統(tǒng)模型，通過引入自適應項，使ASTSM控制器增益能夠達到非高估的最佳值，抑制了控制器的抖振；其次，所提出的ASTSM控制算法在有界且變化率有界的擾動上界未知的情況下，能夠有效抑制擾動.

1 無人機數(shù)學模型

無人機的姿態(tài)變化涉及慣性坐標系Oexeyeze和機體坐標系Obxbybzb等，無人機在坐標系中的示意圖如圖1所示.圖中：p為滾轉(zhuǎn)角速度；q為偏航角速度；r為俯仰角速度.

圖1 無人機坐標示意圖Fig.1 Diagram of referential frames configuration of UAV

該類型無人機的姿態(tài)運動方程[10]如下:

(1)

式中：θ為俯仰角；φ為偏航角；γ為滾轉(zhuǎn)角；Jx為繞x軸的轉(zhuǎn)動慣量；Jy為繞y軸的轉(zhuǎn)動慣量；Jz為繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量；Ma為滾轉(zhuǎn)力矩；Me為俯仰力矩；Mr為偏航力矩.

令無人機的合力矩為M=[MaMeMr]T，主要分為飛行過程中的氣動力矩和舵面偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的操縱力矩.

假設(shè)無人機為剛體，其旋轉(zhuǎn)運動主要考慮姿態(tài)角Ω=[θφγ]T和姿態(tài)角速度ω=[pqr]T這6個變量的變化規(guī)律，將動力學微分方程改寫為

(2)

Laero=qaSLlaero

Maero=qaSLmaero

Naero=qaSBanaero

Mc=[LcMcNc]T

其中：Laero，Maero，Naero分別為滾轉(zhuǎn)、偏航、俯仰通道的氣動力矩，令Maero=[LaeroMaeroNaero]T為氣動力矩；qa為動壓；S為機翼參考面積；L為機翼長度；Ba為平均氣動弦長；laero為滾轉(zhuǎn)通道上的氣動力矩系數(shù)；maero為偏航通道上的氣動力矩系數(shù)；naero為俯仰通道上的氣動力矩系數(shù)，可以通過無人機飛行過程中的迎角(α)和馬赫數(shù)(Ma)變化擬合得到，naero和laero變化如圖2和圖3所示；Lc為滾轉(zhuǎn)通道上的控制力矩；Mc為偏航通道上的控制力矩；Nc為俯仰通道上的控制力矩.

圖2 氣動俯仰力矩系數(shù)Fig.2 Aerodynamic pitching moment coefficient

Mc與無人機舵面的映射關(guān)系表示如下：

圖3 氣動滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)Fig.3 Aerodynamic rolling moment coefficient

圖4 操縱俯仰力矩系數(shù)Fig.4 Control pitching moment coefficient

圖5 操縱滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)Fig.5 Control roll moment coefficient

由圖2～5可知，無人機全包線飛行過程中，在不同迎角和馬赫數(shù)的情況下氣動參數(shù)攝動變化明顯，具有很強的不確定性.

2 基于ASTSM算法的控制器設(shè)計

滑模算法及其改進算法被廣泛應用于各種復雜的非線性系統(tǒng)控制中[11-12].針對式(2)所示的模型，提出一種基于ASTSM算法的控制器，來跟蹤無人機的給定姿態(tài)角Ωd.如圖6所示，自適應機制可以根據(jù)姿態(tài)角誤差e調(diào)節(jié)控制器增益k1的值，主要用來提供非高估的控制器增益，以減少干擾未知時過大的控制器增益可能帶來的抖振；sat(·)為飽和函數(shù).控制器基于超螺旋算法的滑?？刂茖崿F(xiàn)無人機姿態(tài)角跟蹤控制.

圖6 無人機姿態(tài)控制框圖Fig.6 UAV attitude control diagram

定義姿態(tài)角的跟蹤誤差為

e=Ω-Ωd

(3)

式中：e∈R3×1；Ωd∈R3×1為目標姿態(tài)角，對式(3)求導有

(4)

(5)

考慮舵面偏轉(zhuǎn)存在飽和的情況和外部干擾對系統(tǒng)產(chǎn)生的擾動力矩Md=[LdMdNd]T，其中Ld,Md,Nd分別為滾轉(zhuǎn)、偏航、俯仰通道上的擾動力矩，將式(5)轉(zhuǎn)化為如下形式：

(6)

(7)

(8)

式中：f(t)∈R3×1；g(t)∈R3×3；t為時間；d∈R3×1；u∈R3×1，表達式為

(9)

針對系統(tǒng)模型式(8), 做出如下假設(shè).

設(shè)計滑模面如下：

(10)

式中：s∈R3×1；c1∈R3×3，c1=diag(c11,c12,c13)為待設(shè)計的Hurwitz矩陣.易知所設(shè)計的滑模面可以使得姿態(tài)角誤差和姿態(tài)角誤差變化率以指數(shù)形式快速收斂，對滑模面s求導可得：

(11)

采用文獻[14]中設(shè)計的超螺旋滑?？厮惴ú⒔Y(jié)合本文二階系統(tǒng)式(8)，可以得到控制器表達式如下：

(12)

式中：k1>0；k2>0為待設(shè)計的控制器參數(shù).將式(12)帶入式(11)中可以得到如下表達式，即

(13)

令ξ=[ξ1ξ2]T，且：

(14)

對式(14)進行求導得到：

(15)

將式(14)帶入式(15)中得到：

(16)

設(shè)計如下控制器的增益自適應律：

(17)

式中：αc，β，ε，ν為大于0的常數(shù).

引理1[15]對于非線性系統(tǒng)，假設(shè)存在連續(xù)可微的正向無界函數(shù)V(x):Rm→R+和常數(shù)κ>0，0<λ<1，0<η<∞滿足下列條件，即

(1)V(x)=0?x=0

則系統(tǒng)可以在有限時間內(nèi)收斂，收斂時間為

其中：θ0為影響收斂時間的參數(shù).

定理1對于二階系統(tǒng)模型式(8)，設(shè)計滑模面式(10)、超螺旋算法式(12)和控制器增益自適應律式(17)，選取適當?shù)目刂破鲄?shù)變量αc，β，ε，ν，式(8)將在有限時間收斂.

證明選擇如下Lyapunov候選函數(shù)，即

(18)

(19)

(20)

(21)

對于正定矩陣P和Q，有如下不等式關(guān)系：

(22)

式中：λmin{·}為矩陣最小特征值；λmax{·}為矩陣最大特征值.

根據(jù)式(14)可得：

(23)

將式(22)和式(23)帶入式(20)可得：

(24)

對式(18)求導可得：

(25)

根據(jù)文獻[16]中的不等式：

(26)

m≤n

結(jié)合式(25)和式(26)可得：

(27)

式(27)滿足引理1條件，因此ξ1和ξ2能夠在有限時間收斂，同時滑模面s也在有限時間內(nèi)收斂.

3 仿真與分析

以本文中無人機的氣動數(shù)據(jù)和轉(zhuǎn)動慣量為例，其轉(zhuǎn)動慣量為

給定姿態(tài)角初始值Ω0=[0.573 0.573 0.573]T，目標姿態(tài)角Ωd=[5.735.735.73]T，姿態(tài)角速率初始值ω0=[000]T，滑模面參數(shù)c1=diag(2, 2, 2)，自適應律參數(shù)ε=0.003，αc=6，β=4，k1的初始值為20.

本文設(shè)計的ASTSM算法的增益k1變化如圖7所示.由圖可知，在t=2 s左右，系統(tǒng)的姿態(tài)角誤差e收斂至收斂域‖e‖<ε中，此時控制器增益k1停止變化，達到非高估的最佳值.

圖7 控制器增益變化曲線Fig.7 Changing curve of adaptive-gain of controller

圖8和圖9分別為本文設(shè)計的ASTSM控制器和普通滑模(SM)控制器的姿態(tài)角誤差變化曲線.e=[eθeφeγ]，其中eθ，eφ，eγ分別為俯仰角誤差、偏航角誤差和滾轉(zhuǎn)角誤差.對比圖8(a)與圖9(a)以及圖8(b)與圖9(b)可知，在6.1 s附近，ASTSM控制器使無人機姿態(tài)角誤差收斂到原點附近的極小領(lǐng)域，相較于SM控制器作用下姿態(tài)角誤差收斂到的領(lǐng)域更小.因此，ASTSM控制器能夠使被控對象更快收斂.

圖8 ASTSM姿態(tài)角誤差變化曲線Fig.8 Error curves of attitude angle by ASTSM

圖9 SM姿態(tài)角誤差變化曲線Fig.9 Errors curves of attitude angle by ASTSM

圖10～ 12為本文設(shè)計的ASTSM控制器、SM和PID控制器的無人機姿態(tài)角跟蹤曲線對比.對比圖10～12可知，無人機系統(tǒng)非線性強，普通PID控制難以滿足要求，控制品質(zhì)較差，出現(xiàn)較大超調(diào)，并且收斂時間長.對比圖8～12可知，本文設(shè)計的控制器能夠滿足無人機系統(tǒng)非線性控制要求，并且引入自適應項，使控制器具有非高估的最佳增益，因此相較于普通滑模控制具有更快的收斂速度.

圖10 偏航角跟蹤曲線Fig.10 Tracking curves of yaw angles

圖11 俯仰角跟蹤曲線Fig.11 Tracking curves of pitch angles

圖12 滾轉(zhuǎn)角曲線Fig.12 Tracking curves of roll angles

仿真時加入d=[0.2sint0.15sint0.1sint]T的擾動，得到本文設(shè)計的ASTSM控制器、SM和PID控制器的無人機姿態(tài)角跟蹤曲線圖，如圖13～15所示.對比圖13～15可知，無人機全包線飛行過程中，氣動參數(shù)攝動大，外部擾動等不確定性強，普通PID控制難以抑制擾動，無法滿足無人機姿態(tài)控制要求.本文設(shè)計的ASTSM控制器能夠有效抑制外界干擾，滿足無人機全包線飛行要求.

圖14 俯仰角跟蹤曲線(擾動)Fig.14 Tracking curves of pitch angles with disturbance

圖15 滾轉(zhuǎn)角曲線(擾動)Fig.15 Tracking curves of roll angles with disturbance

4 結(jié)語

基于增益自適應超螺旋滑?？刂扑惴ㄔO(shè)計的無人機姿態(tài)控制器ASTSM能夠有效解決無人機在全包線飛行過程中遇到的氣動參數(shù)攝動大、非線性強、擾動干擾強等問題.理論分析表明，該控制器能夠有效適用于無人機的姿態(tài)跟蹤要求.