源重構近遠場變換的探頭補償算法

袁浩波， 董欣欣， 張瑞雪， 魯欖埔， 陳 曦

(西安電子科技大學 電子工程學院，西安 710071)

平面近場測量是天線測量與診斷的最重要技術之一，主要分成兩種.主流的技術采用平面波譜展開待測天線和探頭天線的近場，然后采用快速傅里葉變換算出待測天線的波譜[1].該方法一般用于測量窄波束天線.由于測量平面不可能無限大，需要進行截斷，所以平面近場測量的方向圖中存在一個可信角[2]，在可信角范圍內的結果比較可靠，在此范圍之外則不太可靠.即使采用某些特殊的技巧對截斷誤差進行彌補[3-4]，也不能使得可信角范圍外的方向圖足夠準確.此外，平面近場測量難以得到天線的后向方向圖.

另一種平面近場測量方法稱為源重構方法(SRM)[5-6].首先假定測量得到的接收信號即為待測天線的近區電場；然后采用等效磁流建立積分方程，并轉化為矩陣方程進行求解；最后對磁流積分得到遠場方向圖.該方法在快速多極子、圖形處理器(GPU)和機器學習等[7-9]最新技術的支持下，已經廣泛應用于天線診斷、電磁成像和無相位測量等[10-16]各個方面.

SRM經常用于平面掃描的近遠場變換，它最大的優點是對掃描面沒有任何限制.比如該方法用于電磁場全息成像時[12]，會將掃描面擴展為一個包圍待測天線的長方體盒子，從而避免掃描面截斷的問題.因此，SRM不需要考慮可信角，可以測量寬波束天線，還可以得到天線的后向方向圖.

然而，SRM存在兩個主要缺點.一是采用矩量法求解積分方程時速度較慢，這個問題目前可以通過快速多極子方法[8]或GPU計算[9]進行加速.另一個問題是，SRM還沒有合適的探頭補償算法，這制約了算法的使用范圍和發展前景.

最合理的SRM應該采用長方體包圍面，并配合完善的探頭補償算法.作為初步的嘗試，本文設計了一種基于互易定理的探頭補償算法，它適用于任意掃描面的情況.由于現有硬件設備不能進行長方體包圍面掃描，所以只討論平面掃描的情況.研究旨在摸索提高SRM精度的可能途徑，從而進一步改善天線測量、天線診斷以及電磁成像等實際應用的性能.

1 互易定理

圖1為平面測量系統的結構圖.將待測天線記為A，探頭天線記為B，探頭在掃描平面S上進行測量.圖中：r=(x,y,z)為場點坐標；r′=(x′,y′,z′)為源點坐標；R=|r′-r|為源點與場點之間的距離.根據洛倫茲互易定理[17]可知探頭天線接收的信號功率為

(1)

根據等效原理，假定在天線A的口面附近建立一個無窮大平面S′，然后將S′的左側包圍區域全部替換成理想磁導體，而右側不變.那么S′上的等效磁流M(r′)可以在S′右側區域產生與原問題中EA和HA完全相同的場.這兩種場可以根據電場積分算子K和磁場積分算子L寫成等效磁流的表達式：

EA(r)=-K(M)=

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(2)

G2(R)(r′-r)×(r′-r)×M(r′)]ds′

(3)

(4)

(5)

圖1 天線測量系統模型Fig.1 Antenna measurement system model

P(r)=

(6)

式中：sB為區域SB面積.上式右側是個雙重面積分，計算量較大.

2 矩量法求解積分方程

采用類似于文獻[5]中的矩量法求解式 (6).首先僅考慮有限大區域上的磁流分布和有限大的測量面，即對理論上無限大的磁流面S′和測量面S進行截斷.

最后，式(6)右側的積分區域SB的幾何中心位置rn由第n個采樣點確定.SB往往覆蓋S面上若干個矩形面片，其具體尺寸由探頭口面場的分布確定.比如對于波導探頭來說，其電磁場在口面之外快速衰減到幾乎沒有，因此SB一般取口面向外擴展1個波長即可.繼續擴大該尺寸，則算法消耗的時間快速增加，但對于整個算法精度的提高沒有明顯的作用.

采用上述離散過程可將式(6)展開為

(7)

(8)

寫成矩陣方程：

(9)

其中矩陣元素為

α=

(10)

β=

(11)

μ=

(12)

υ=

(13)

求解式(9)得到磁流分布的展開系數，再通過式(2)即可算出待測天線的方向圖.式(9)的系統矩陣是強奇異性的矩陣，求解時很不穩定.首先對系統矩陣進行奇異值分解[10]，然后丟棄較小的奇異值以及對應的奇異矢量，最后解出磁流展開的系數.這種解法相當于通過濾波壓制了數值誤差以及測量數據中的噪聲，因此得到的方向圖比較光滑.

3 計算結果

圖2所示的喇叭天線工作頻率為8.15 GHz，對應自由空間的波長λ= 36.81 mm.喇叭的口面尺寸為122.5 mm×84.5 mm.探頭天線為BJ70矩形開口波導，其口面大小為34.85 mm×15.80 mm.測量平面S大小為550.94 mm×512.94 mm，網格數設為 38×40，平面S距離喇叭天線口面150 mm，探頭天線距離測量平面1 mm.此測量系統的可信角范圍為[-55°，55°].等效磁流面S′大小為6λ×6λ，網格數為30×30，距離待測天線口面0.1λ.平面S和S′中心均與喇叭天線口面中心對齊.探頭天線口面附近進行互易定理積分的區域為SB.本文算法中系統矩陣的規模為 3 040×1 800，將探頭補償的平面波譜算法[1]得到的方向圖作為對比的參考結果.

圖2 喇叭天線測量系統Fig.2 Measurement configuration of a horn antenna

首先取互易定理的積分面積sB=9λ2，測試不同奇異值截斷時的方向圖.如圖3和圖4所示，本文方法求解式(9)時奇異值σ的截斷主要影響方向圖左右兩側，即可信角的附近范圍.圖中：θ為待求場點的矢徑與z′軸的夾角；Eunit為歸一化電場強度的幅度，Eunit=20lg(|E|/|E|max)，其中E為電場強度，|E|max為最大電場幅度.保留的奇異值越多，則方向圖左右兩側的抖動越明顯，反之，則方向圖越光滑.這主要是因為采用脈沖基函數來表示等效磁流導致積分后填充的矩陣十分病態，對誤差十分敏感，在保證矩陣特性的前提下保留較少的奇異值能夠有效抑制噪聲.從總體上看，奇異值的截斷對方向圖影響不大.圖中丟棄σmax×10-2以下奇異值時，僅保留了349個奇異值，此時E面和H面方向圖的均方根誤差(RMSE)只有0.53 dB和 0.56 dB.

圖3 不同奇異值截斷時的E面方向圖Fig.3 E-plane pattern for different truncation of the singular value of the system matrix

圖4 不同奇異值截斷時的H面方向圖Fig.4 H-plane pattern for different truncation of the singular value of the system matrix

其次，求解矩陣方程時丟棄σmax×10-2以下奇異值，測試不同積分面積sB時的方向圖.從圖5和圖6可見，積分面積sB越大，則計算結果越接近參考結果.但積分面積增加至一定程度時，計算結果將趨于穩定.為了降低計算量，并保持較好的計算精度，sB一般取略大于波導探頭口面的尺寸即可.

圖5 不同積分面積sB下的E面方向圖Fig.5 E-plane pattern for different integral areas sB

圖6 不同積分面積sB時的H面方向圖Fig.6 H-plane pattern for different integral areas sB

最后，在本文方法中取sB=9λ2，對σmax×10-2以下奇異值進行截斷，其結果與無補償的源重構算法[5]以及探頭補償的平面波譜算法對比.從圖7和圖8可以看出無補償的源重構算法在磁面上的主瓣明顯偏離參考方向圖，其RMSE為2.21 dB；在E面上的RMSE也高達1.55 dB.而本文方法在兩個主面上的RMSE分別為0.53 dB和0.56 dB.因此本文的探頭補償算法更準確有效.在計算時間方面，無補償算法平均計算時間為10 s，平面波譜算法的平均計算時間為0.5 s，有補償算法由于需要在每次探頭移動后進行互易定理積分，平均計算時長為 134 s.測量算法運行一次即可得出結果，但縮短計算時間并不是該算法研究的重點.

圖7 喇叭天線E面方向圖Fig.7 E-plane pattern of the horn computed by different methods

圖8 喇叭天線H面方向圖Fig.8 H-plane pattern of the horn computed by different methods

4 結語

本文提出一種對源重構近遠場變換進行探頭補償的算法，通過喇叭天線的例子驗證該方法的有效性.此外，該方法對掃描面和測量探頭都沒有限制.后續工作中，首先將把掃描面擴展為長方體盒子的形式，以便解決平面近場測量中對于掃描面的截斷問題.其次將嘗試采用多探頭測量系統以提高測量效率，并通過本文方法進行補償，以實現高精度的測量.