用數學建模方法構建高效課堂，滲透數學核心素養

文/ 廣州市西關培英中學 蘇進強

廣州市天河外國語學校 陳陽彩

《普通高中數學課程標準》（2017 年版）明確提出了六個數學核心素養，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，給出了每個素養的內涵、價值、表現和水平，設置了基于數學核心素養的“學業質量標準”。數學核心素養的評價形式可以是多樣化的，除了傳統的紙筆測驗之外，還可以采用課堂活動、開放式活動中的表現、課內外作業等評價形式。本文結合解三角形的應用舉例的課堂活動評價方式，滲透數學建模、直觀想象和數學運算的數學核心素養能力。

問題一：河流的兩岸上分別有A、B 兩點，測量工作者位于河岸B 的同側，由于實際情況，河岸另一邊的A處無法到達。請問如何設計方案，求A、B 兩點間距離。提供可用的測量工具有測角儀和測距儀（需要兩端點都能到達）。

分析：將實際問題轉化為數學問題，建立合適的數學模型來求解。此處引導學生利用可測量的工具在點B 的同側選定一點C，測量BC 的距離和∠ABC、∠ACB，從而建立數學模型。

數學模型1：在ΔABC 中，已知BC ＝a，∠B ＝β，∠C＝α，求邊AB 的長。

分析：這是簡單的解三角形問題，直接由正弦定理可求。

小結：數學模型1 由于構造的三角形的兩邊AB，AC 均不可直接測量，故只能尋求構造已知兩角及一邊的三角形，這是一種測量不可到達點的距離的方法，讓學生想象實際可能的測量條件限制，例如BC 實際上可能在一條容易測量的道路上，而近旁則不宜實施測量，體現了學生直觀想象的數學素養能力。

問題二：如果A、B 都在河流的同側，而測量者在對岸，如何設計一種方案，使得測量者不用過對岸也能求出A、B 兩點間距離。

分析：在測量者所在位置取一點C，由A、B、C 構建三角形ΔABC，觀測者可以測量∠ACB ＝α。但在ΔABC中只有角∠ACB 已知，是不能求邊AB 的。根據解三角形理論，需要已知三角形ΔABC 中的三個要素，且其中至少一個要素是邊。如果采取數學模型1 的測量方法分別求AC、BC，再結合已知角α，則AB 可求。所以，可以在河流點C 的同側分別取兩點D、E，結合原來的三個點A、B、C 構建兩個三角形ΔACD、ΔBCE，分別在ΔACD、ΔBCE 利用正弦定理求AC 和BC。

數學模型2：在平面五邊形ABCDE 中，已知CD ＝a，CE＝b，∠ACB，∠ACD，∠ADC，∠BCE，∠BEC 分別為α，α1，α2，β1，β2，求線段AB 的長。

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosα ＝＋·cosα

所以

小結：由模型1 可知，A、B 兩點中當有一點A 不可到達，求AB 的長時，可以在另一點B 處構造可求線段BC，得到ΔABC，度量∠ABC、∠ACB，即可解這個三角形。由此引導學生分別構造兩個三角形去求AC、BC 的長，在學生的最近發展區內培養學生的知識遷移能力，進行觀察、實驗，培養學生的數學建模和數據運算的數學素養。在模型2 中，實際測量中取了三個不同的點C、D、E，而且需要測量的量較多，需要進一步將模型優化。

在測量者所在河岸邊選定兩點C、D，結合A、B 兩點構建平面四邊形ABCD，可以利用儀器測量CD 的長與∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠BDA，建立如下數學模型。

數學模型3：在平面四邊形ABCD 中，已知CD ＝a，∠ACB＝α1，∠ACD＝α2，∠BDC＝β1，∠BDA＝β2，求線段AB 的長。

分析：在平面四邊形ABCD 中求AB 的長，需要解與AB 邊有關的三角形ΔABC 或ΔABD，但這兩個三角形中都只是已知一個角，無法直接求解AB，因此需要借助其他三角形先求出更多的邊或角。

同理，在ΔACD，利用正弦定理求得

因此，在ΔABD 中，利用余弦定理得，

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosβ2＝＋·cosβ2

從而

小結：在實際測量中，既要考慮數學模型的可操作性，也要兼顧計算，對建立的數學模型進行優化。數學模型3是在模型2 的基礎上優化而來，既減少了要測量的數據，也滿足模型的可操作性，符合實際的要求。從多個角度分析問題，結合解三角形中的正弦定理、余弦定理，構建不同的解三角形模型，有利于培養學生的發散性思維、創新能力，凸顯了數學抽象、數學建模的核心素養。

本文運用3 個數學模型構建高效課堂，其中數學建模的主要步驟有：

（1）理解問題的實際背景，從現實對象中提取信息；（2）建立合適的數學模型，本文是建立合適的解三角形模型；（3）利用正弦定理或余弦定理求解三角形模型；（4）將模型的解還原為對現實對象的解答。

數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。在中學階段，選擇比較有代表性的實際問題開展數學建模活動，不僅讓學生進一步鞏固所學知識，同時也能提高學生分析問題和解決實際問題的能力以及用數學語言表達實際問題的能力，增強學生應用數學的意識。本文將解三角形的數學模型用于解決測量距離的問題，利用這些實際背景和需要，使學生認識到學習解三角形知識的必要性，并能應用正弦定理和余弦定理建立解三角形的模型，解決實際測量中的距離問題，培養學生數學建模、直觀想象、數學運算的核心素養能力。