新高考數(shù)學(xué)多選題的考查類型剖析

◎ 海南省農(nóng)墾中學(xué) 龐怡婷

新高考多選題具有無需解題過程，考試分值小、考查容量大、解題思路廣、數(shù)學(xué)思想豐富等特點(diǎn)，題中多個正確選項(xiàng)的設(shè)置將會影響學(xué)生的作答時(shí)間和得分率，能對學(xué)生進(jìn)行多層次區(qū)分，對學(xué)生能力的考查更加深入，要求學(xué)生具備完整、細(xì)致、全面的思維。下面就2020-2022年新高考多選題進(jìn)行研究分析，從中思考其考查類型，為教育教學(xué)改革提供借鑒。

一、基本概念的考查

例1（：2021年新高考Ⅱ卷，9）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的 離散程度的是（ ）。

A.樣本x1，x2，…，xn的 標(biāo)準(zhǔn)差

B.樣本x1，x2，…，xn的 中位數(shù)

C.樣本x1，x2，…，xn的 極差

D.樣本x1，x2，…，xn的 平均數(shù)

【點(diǎn)評】2021年高考題例1考查了平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和極差的概念，為基本概念的考查。

【啟示】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)體系的形成元素，概念中的每個符號，每句術(shù)語都有明確的含義，都是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的重要組成部分，盡管數(shù)學(xué)題型千變?nèi)f化，里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念永恒不變。多選題中出現(xiàn)概念考查，體現(xiàn)了新高考試題注重基礎(chǔ)知識，回歸教材的特點(diǎn)，教師在教學(xué)中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生端正態(tài)度，重視基礎(chǔ)，認(rèn)真學(xué)習(xí)研究教材中的基本概念、基本定理和基本方法等，通過持續(xù)鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，可以更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升問題解決能力。

二、數(shù)量關(guān)系的考查

例2：（2021年新高考Ⅰ卷，10）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1（cosα，,sinα，），P2（cosβ,-sinβ），P3(cos（α，+β）sin（α，+β))，A（(1，0），則（ ）。

【點(diǎn)評】例2考查了向量的模長、數(shù)量積的計(jì)算以及兩角差的余弦公式的化簡，屬于數(shù)量關(guān)系的考查。

【啟示】數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分，在高考中占據(jù)較大的比重，其中包含基本的數(shù)與式的運(yùn)算、化簡或量化等，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算化簡能力。多選題的數(shù)量關(guān)系更是從多個側(cè)面、多個角度對學(xué)生進(jìn)行多次的考查，對運(yùn)算能力要求更高。教師在教學(xué)中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生熟記一些常用公式、法則和數(shù)據(jù)，重視解題技巧的培養(yǎng)，比如運(yùn)算技巧和簡便方法等，還要重視培養(yǎng)學(xué)生良好的計(jì)算習(xí)慣，引導(dǎo)其細(xì)心審題，規(guī)范書寫，使學(xué)生真正具備“細(xì)心、靈活、迅速、正確”的運(yùn)算能力。

三、變形變式的考查

例3（：2020年新高考Ⅱ卷，11）圖1是函數(shù)y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（ ）。

例4：（2020年新高考Ⅱ卷，12）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則（ ）。

【點(diǎn)評】例3先利用周期和特殊點(diǎn)確定ω和φ的值，求出函數(shù)的解析式為，再利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行等價(jià)變形變換，即，屬于變形變式的考查。

例4圍繞一個不等式鏈展開，即

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立），不等式鏈?zhǔn)怯苫静坏仁阶冃窝由於鴣淼模瑑?nèi)涵豐富，實(shí)際應(yīng)用相對于基本不等式更為廣泛，考查了學(xué)生的變形拓展能力，屬于變形變式的考查。

【啟示】變形變式是指同一個知識點(diǎn)，適當(dāng)?shù)刈儞Q條件或結(jié)構(gòu)，變換表述或形式，從而出現(xiàn)多個變形的結(jié)果。變形變式有利于檢測學(xué)生的思維深度，教師在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的變形能力，比如在三角函數(shù)教學(xué)中，要突出誘導(dǎo)公式的轉(zhuǎn)換、三角恒等變換、正余互化、切弦互換、和積互化、平方消元等變形技巧；在不等式教學(xué)中，要拓展基本不等式的各種不同變形，比如不等式鏈等；在解方程教學(xué)里，要指導(dǎo)分組分解、提取公因式、配方法、系數(shù)變換法等變形技巧。巧妙靈活地應(yīng)用變形技巧，可以化繁為簡、化難為易，提升學(xué)生對知識的靈活變換能力，進(jìn)而鞏固了基礎(chǔ)知識和基本技能，起到舉一反三的作用。

四、形數(shù)兼?zhèn)涞目疾?/h2>

例5：（2021年新高考Ⅰ卷，11）已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點(diǎn)A(4，0)、B(0，2)，則（ ）。

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)∠PBA最小時(shí)，

D.當(dāng)∠PBA最大時(shí)，

例6:（2022年新高考Ⅱ卷，10）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C:y2=2px(p＞0)焦點(diǎn)F的直線與C交:于A(A、B兩點(diǎn)，其中A(在第一象限，點(diǎn)M(p，0)，若|AF|=|AM|，則（ ）。

A.直線AB的斜率為

B.|OB|=|OF|

C.|AB|＞4|OF|

D.∠OAM+∠OBM＜180°

【點(diǎn)評】例5考查了點(diǎn)到線的距離，以及數(shù)形結(jié)合思想解決角的最值問題；例6需要利用拋物線的圖像及性質(zhì)來求解點(diǎn)、線、角等基本量，均屬于形數(shù)兼?zhèn)涞目疾椤?/p>

【啟示】數(shù)學(xué)的研究對象不僅是數(shù)，還有圖形，而且對數(shù)和圖形的討論與研究，不是孤立進(jìn)行，而是有分有合，辯證統(tǒng)一，圖形中常常隱藏著代數(shù)問題，而代數(shù)問題中往往又寓有圖形的問題，因此，形數(shù)兼?zhèn)涫歉呖紨?shù)學(xué)中的一種重要考查題型，特別是對函數(shù)、圓、圓錐曲線、復(fù)數(shù)幾何意義、取值范圍等問題。教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生牢記各種方程、函數(shù)、圓錐曲線等對應(yīng)的圖形，并能適當(dāng)拓展，繪制一些相關(guān)的特殊圖形，必要時(shí)建立坐標(biāo)系，建立起數(shù)與圖的關(guān)聯(lián)，學(xué)會觀察分析數(shù)與形的關(guān)系，學(xué)會以形助數(shù)、以數(shù)解形，在講解例題時(shí)，注重引導(dǎo)，傳授數(shù)形結(jié)合的方法和技巧，以提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力。

五、辨析思維的考查

例7：（2020年 新 高 考Ⅱ卷，10）已 知 曲 線，（ ）。

A.若m＞n＞0，則C:是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若m=n＞0，則C:是圓，其半徑為

C.若mn＜0，則C:是雙曲線，其漸近線方程為

D.若m=0，n＞0，則C:是兩條直線

例8：（2021年 新 高 考Ⅱ卷，11）已 知 直 線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說法正確的是（ ）。

A.若點(diǎn)A(在圓C:上，則直線l與圓C:相切

B.若點(diǎn)A(在圓C:內(nèi)，則直線l與圓C:相離

C.若點(diǎn)A(在圓C:外，則直線l與圓C:相離

D.若點(diǎn)A(在直線l上，則直線l與圓C:相切

【點(diǎn)評】例7考查了曲線方程及其系數(shù)之間的關(guān)系，要求學(xué)生能動態(tài)分析參數(shù)的變化并加以辨別分析，例8考查了點(diǎn)、直線和圓之間的位置關(guān)系，也是要求學(xué)生能辨別分析各種不同的位置關(guān)系，這些屬于辨析思維的考查。

【啟示】辨析即辨別分析，對于一些相似或相關(guān)的知識，給出一定的發(fā)散條件，讓學(xué)生進(jìn)行辨別和分析。比如涉及參數(shù)變化的開放式題型，要分類討論問題，分析動態(tài)變化的結(jié)果等。數(shù)學(xué)是邏輯學(xué)科，具有高度的抽象性和嚴(yán)密性，很多相似或相關(guān)的知識和結(jié)論，都需要非常嚴(yán)格的條件去辨別分析，任何細(xì)微條件的忽略都會引起辨別錯誤。教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生注重細(xì)節(jié)，注意輔助條件和隱含條件。對于帶參數(shù)的類型，要深入理解參數(shù)的各種變化及其影響；對于動態(tài)問題，分析時(shí)要做到不缺不漏；對于分類討論的問題，要能全方位地思考、研究、判斷、推理等，從而提高學(xué)生觀察、分析、邏輯推斷和辨析的綜合能力。

六、幾何直觀的考查

例9：（2020新高考Ⅱ卷，9）我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是（ ）。

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

例10（：2022年新高考Ⅱ卷，11）如圖2，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB=ED=2FB，記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則（ ）。

A.V3=2V2B.V3=V1

C.V3=V1+V2D.2V3=3V1

【點(diǎn)評】例9考查了折線圖，例10考查了空間幾何體的體積，屬于幾何直觀的考查。

【啟示】幾何直觀是指依托、利用圖形描述和分析問題，它包含兩個層次：一是幾何，即圖形，二是直觀。直觀不僅僅是直接看到的圖形，更突出由圖形得到的更深層次的思考，所以幾何直觀本質(zhì)上是通過圖形展開的想象和分析，與邏輯、推理不可分割。主要包括：利用圖形圖表描述分析數(shù)學(xué)問題，借助平面或空間圖形認(rèn)識事物的位置關(guān)系、量化特征、運(yùn)動規(guī)律等。圖形是數(shù)學(xué)體系的重要組成部分，幾何直觀是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備思維能力，教師在教學(xué)中應(yīng)該全方位、多角度地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀思維，提高學(xué)生的識圖能力，培養(yǎng)學(xué)生平面圖形思維和空間圖形思維，使其能從圖中分析求解相關(guān)的量。

七、綜合能力的考查

例11：（2021年新高考Ⅱ卷，12）設(shè)正整數(shù)n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k，其中ai∈{0，1}，記ω(n)=a0+a1+…+ak．則（ ）。

A.ω(2n)=ω(n)

B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3)

D.ω(2n-1)=n

【點(diǎn)評】例11屬于新定義的題型，需要學(xué)生運(yùn)用遷移拓展能力和思維穿透能力，對新定義的正整數(shù)n的展開公式，能理解它的本質(zhì)，才能正確應(yīng)用于各個選項(xiàng)，屬于綜合能力的考查。

【啟示】《考試說明》中提出，“發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的把握程度，又注意考查進(jìn)去高校連續(xù)學(xué)習(xí)的潛能”。2022年，教育部考試中心命題專家也表示要“發(fā)揮數(shù)學(xué)科高考的選拔功能，助力提升學(xué)生綜合素質(zhì)”。這都說明了提升學(xué)生的綜合能力是數(shù)學(xué)培養(yǎng)的趨勢和最終目標(biāo)，而多選題選項(xiàng)的多樣性，更能反映學(xué)生的綜合能力的強(qiáng)弱。教師需要在教學(xué)中有意識地去培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生，使其對原有的知識能融會貫通、舉一反三，對新知識能突破思維定勢，進(jìn)行創(chuàng)造性地思考。教師在教學(xué)中要多理論聯(lián)系實(shí)際，多拓展延伸，多探究和啟發(fā)，提高學(xué)生的主觀能動性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)反思和遷移能力。

剖析新高考多選題的考查類型，我們不僅要關(guān)注知識的變化，更要關(guān)注學(xué)生獲取知識的途徑，教學(xué)不能只是簡單地把解法告訴學(xué)生，更應(yīng)該重視知識的形成過程，正確地應(yīng)用好多選題，能讓學(xué)生更多角度地理解知識的內(nèi)涵和外延，使其真正得到數(shù)學(xué)能力的提升。