基于高斯過程回歸的橡膠玻璃化溫度的預測研究

陳祝丹，李大字*，劉 軍，高 科

（1.北京化工大學 信息科學與技術學院，北京 100029；2.北京化工大學 材料科學與工程學院，北京 100029）

玻璃化溫度（Tg）作為聚合物的重要工藝指標，指聚合物高彈態與玻璃態之間的轉換溫度。溶聚丁苯橡膠（SSBR）[1]在Tg以上表現為具有高彈性的高彈態，在Tg以下表現為具有脆性的玻璃態。由于橡膠的Tg會影響其物理性能、阻尼性能、耐熱性能等，其一直是橡膠性質的重要指標。

影響合成橡膠Tg的因素包括聚合物中各組分含量和微觀結構等[2-3]。合成橡膠的Tg通常采用差示掃描量熱儀、動態熱機械分析儀等測試[4-6]，Tg測試值會隨測試方法和條件的變化而改變，且無法預測Tg，即測試缺乏擴展性和靈活性；測試過程需進行重復試驗，消耗大量的人力和物力，測試結果還會受到設備的影響。不同苯乙烯和丁二烯含量的SSBR的Tg不同，要實現其良好表征，目前測試方法的預測分析能力受到極大地限制。

隨著機器學習在材料學科的應用越來越廣泛[7-9]，研究學者開始開發新的方法研究高聚物的Tg測試。通過神經網絡來建立高聚物的Tg預測模型是一種普遍且備受關注的方法[10]，但神經網絡也有很多不足。神經網絡需要依賴訓練數據，數據的多樣性和數量對網絡性能具有重大影響。橡膠每次合成和表征都需要研究人員進行設計和反復試驗，這限制了訓練數據的多樣性。

高斯過程回歸[11]是基于統計學理論，可以在模型搭建的過程中自適應地得到超參數，并給予預測輸出明確的概率解釋。因此，與反向傳播（BP）神經網絡相比，高斯過程回歸具有更少的參數和更快的收斂速度，以及對小樣本、非線性問題具有難以取代的優勢[12]。

本工作以實例數據為樣本，利用高斯過程回歸模型分析苯乙烯和丁二烯含量對SSBR的Tg的影響，從而預測Tg，以期為實際生產過程中預測和控制橡膠的Tg提供參考。

1 高斯過程回歸

高斯過程回歸是一種貝葉斯學習框架下的無參數核方法[13-14]。通過直接對函數建模，產生非參數模型。對訓練輸入數據X＝x1，x2，x3，…，xn，x*及其對應輸出數據Y＝y1，y2，y3，…，yn，y*建立的回歸方程為

式中：回歸函數f（X）不需要指定具體形式，可以認為是在高斯回歸過程中采樣得到的一個無窮維的點；N（0,n2σ）表示均值為0、方差為n2σ的噪聲；G（0，K）是均值為0、協方差為K的高斯回歸過程；對于新輸入x*和對應輸出y*仍有相同的映射關系。

利用協方差函數，即核函數反映高斯回歸過程中數據點之間的相互關系，本課題選取徑向基（RBF）核函數作為協方差函數：

式中，K（x,x′）是x與x′之間的協方差，σf和l為可調節的參數。

要求取一個新輸入x*及其對應輸出y*依然滿足上述高斯分布，利用上述協方差矩陣可以得出式（3）和（4）：

根據貝葉斯回歸方法，預測數據y*的條件分布P（y*｜y）服從如下高斯分布：

分布的均值可以作為y*的估計值：

分布的協方差表示預測值的不確定性：

因此，高斯過程回歸模型不僅可以模擬任何黑盒模型，還可以計算置信區間，即計算模擬的不確定性。

2 結果與分析

本課題采用數據從文獻[15]中獲取，在橡膠合成過程中，采用復合結構調節劑調節苯乙烯和丁二烯含量，合成了多種結構的SSBR，研究苯乙烯含量對SSBR的Tg的影響。試樣包含12種苯乙烯含量的SSBR，其苯乙烯含量為5%～45%，丁二烯含量為24%～78%。不同苯乙烯和丁二烯含量SSBR的Tg如表1所示。其中，1#—8#試樣數據構建高斯過程回歸模型，9#—12#試樣數據驗證模型的有效性。

表1 不同苯乙烯和丁二烯含量的SSBR的TgTab.1 Tg of SSBR with different styrene and butadiene contents

利用表1中1#—8#試樣數據作為訓練數據，參數設置為σf和l，建立高斯過程回歸模型。同時，利用相同的訓練數據和測試數據，本課題構建BP神經網絡模型作為對比試驗。為了提高BP神經網絡模型的預測能力，對訓練數據和測試數據進行了歸一化處理。通過多次試驗，優化選取了2-8-1網絡結構，即網絡有3層，輸入層包含2個節點、隱含層包括8個節點、輸出層包含1個節點，學習率設為0.2。

SSBR的Tg測試數據和訓練數據輸出結果如表2所示。測試誤差采用絕對誤差和相對誤差來表示，前者反映誤差的大小，后者是絕對誤差占真值的百分比，可以反映誤差的偏離程度。

從表2可以看出，BP神經網絡模型Tg預測值的最大絕對誤差和最大相對誤差分別高達26.47 ℃和44.9%，高斯過程回歸模型預測的最大絕對誤差和最大相對誤差分別為2.37 ℃和5.5%，后者結果更理想。高斯過程回歸模型的偏差遠小于BP神經網絡模型，表明高斯過程回歸模型的可靠性和有效性。

表2 SSBR的Tg測試數據和訓練數據輸出結果Tab.2 Testing data and train data output results of SSBR

為了了解2種模型的有效性和泛化性，對苯乙烯含量為5%～45%和丁二烯含量為24%～78%的SSBR的Tg進行預測，在設定范圍內均勻采取40 000組含量值作為輸入，求高斯過程回歸模型和BP神經網絡模型對應預測的Tg，并將預測結果繪制成3D圖像，如圖1和2所示。

圖1 高斯過程回歸模型預測SSBR的Tg的3D圖像Fig.1 3D image of Tg of SSBR by Gaussian process regression model

從圖1可以看出，SSBR的Tg與苯乙烯和丁二烯含量的有關。在苯乙烯含量不變時，Tg隨丁二烯含量增大而升高；在丁二烯含量不變時，Tg隨苯乙烯含量增大而升高。高斯過程回歸模型的輸出結果與試驗數據分析結果[15]一致，這也證明了該模型的可靠性和有效性。

從圖2可以看出，BP神經網絡模型預測的三維曲面不符合已知的映射關系。根據BP神經網絡的特性推想模型效果不佳的原因是訓練數據過少，從而BP神經網絡中的參數訓練不完全。

圖2 BP神經網絡模型預測SSBR的Tg的3D圖像Fig.2 3D image of Tg of SSBR by BP neural network model

3 結論

（1）通過實例數據分析表明，高斯過程回歸建立的SSBR的Tg預測模型切實可行，還可對一定范圍內苯乙烯和丁二烯含量對SSBR的Tg的影響進行定性和定量分析。

（2）與BP神經網絡模型相比，高斯過程回歸模型解決小樣本問題具有優越性，可為更多復雜耗時的試驗數據預測提供有效解決方案。

（3）高斯過程回歸模型可通過添加更多Tg數據，即通過增加學習數據，進一步提高模型的預測精度和可靠性。