波形鋼腹板簡支組合梁橋梁端混凝土附加應(yīng)力

張 愉張 云羅婷倚劉玉擎

（1.中交公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限公司，北京 100088；2.廣西北投公路建設(shè)投資集團(tuán)有限公司，南寧 530000；3.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092）

0 引言

波形鋼腹板組合梁橋采用折形腹板代替混凝土腹板，具有自重輕、預(yù)應(yīng)力施加效率高、避免腹板開裂等優(yōu)點(diǎn)［1］。

各國學(xué)者對(duì)該種橋梁的彎曲性能進(jìn)行了研究［2-3］。Hamilton等［4］進(jìn)行了波形腹板I形鋼梁的彎曲試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)腹板幾乎不承擔(dān)彎矩，鋼梁的抗彎承載力由翼緣板的屈服強(qiáng)度控制。Metwally等［5］進(jìn)行了波形鋼腹板-混凝土頂?shù)装褰M合梁的抗彎試驗(yàn)，結(jié)果表明，組合梁的抗彎承載力僅由混凝土頂?shù)装宄袚?dān)。因此，一般認(rèn)為波形鋼腹板的“手風(fēng)琴效應(yīng)”使得腹板幾乎不承擔(dān)彎矩，波形鋼腹板組合梁抗彎設(shè)計(jì)時(shí)只考慮混凝土頂?shù)装褰孛娴呢暙I(xiàn)，且符合平截面假定，即混凝土橋面板正應(yīng)力為

式中：σc，tr為混凝土正應(yīng)力；yc為距截面中性軸的距離；Ic為混凝土截面慣性矩。

波形鋼腹板組合梁端支點(diǎn)處通常設(shè)有橫梁，如圖1所示，當(dāng)不考慮端部橫梁約束的影響時(shí)，波形鋼腹板組合梁在支點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)角與波形鋼腹板的剪切變形，混凝土應(yīng)力分布滿足平截面假定。實(shí)際上，由于端橫梁的約束作用，支點(diǎn)處波形鋼腹板的剪切變形會(huì)受到約束，進(jìn)而對(duì)局部混凝土頂?shù)装迨芰Ξa(chǎn)生影響，稱之為混凝土附加應(yīng)力。

圖1 簡支梁端部附加應(yīng)力產(chǎn)生機(jī)理Fig1 Mechanism of additional stress near the end of simply supported beams

當(dāng)前關(guān)于波形鋼腹板剪切變形影響的研究主要集中于其對(duì)橋梁撓度的增大效應(yīng)，關(guān)于剪切變形引起的支點(diǎn)區(qū)段附加應(yīng)力問題研究很少。Combault等［6-7］最早指出支點(diǎn)區(qū)段頂?shù)装宕嬖诘母郊討?yīng)力問題。Shiratani等［8］通過試驗(yàn)和有限元研究了波形鋼腹板組合梁的支點(diǎn)區(qū)段的彎剪性能，揭示了支點(diǎn)區(qū)段混凝土附加應(yīng)力現(xiàn)象并建議加強(qiáng)支點(diǎn)區(qū)段頂?shù)装遢S向鋼筋配置。Zhou等［9］基于試驗(yàn)和有限元分析了線彈性波形鋼腹板組合梁應(yīng)變分布，有限元結(jié)果顯示，支座附近混凝土應(yīng)變分布不滿足“平截面假定”。聶建國等［10］研究了波形鋼腹板剪切變形對(duì)波形鋼腹板梁受力行為的影響，認(rèn)為端部的約束條件對(duì)主梁撓度影響較小，而主梁梁端混凝土局部受力產(chǎn)生較大影響。劉保東等［11］進(jìn)行了變截面波紋鋼腹板連續(xù)剛構(gòu)橋彎曲試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果顯示靠近支點(diǎn)截面混凝土應(yīng)變分布復(fù)雜，不滿足“平截面假定”。

為此，利用考慮剪切變形的波形鋼腹板梁模型，推導(dǎo)了波形鋼腹板簡支組合梁在在集中荷載和均布荷載作用下梁端區(qū)段混凝土頂?shù)装逭龖?yīng)力的解析解，并與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，揭示了波形鋼腹板組合梁端支點(diǎn)區(qū)段混凝土附加應(yīng)力的分布規(guī)律，并給出其計(jì)算式。

1 波形鋼腹板組合簡支梁混凝土應(yīng)力解析解

1.1 基本假定

先給出以下5點(diǎn)基本假定：

（1）混凝土頂、底板截面轉(zhuǎn)角相同，獨(dú)立于整個(gè)截面轉(zhuǎn)角；

（2）波形鋼腹板縱向剛度為0；

（3）假定截面不發(fā)生面內(nèi)扭曲，不考慮剪力滯效應(yīng)；

（4）梁端鋼腹板剪切變形為0；

（5）材料處于彈性范圍，不考慮混凝土頂、底板與鋼腹板之間的剪切滑移。

1.2 理論推導(dǎo)

圖2所示為組合梁某截面混凝土頂?shù)装迮c波形鋼腹板的內(nèi)力分布。Vt、Vw、Vb分別為混凝土頂板、鋼腹板、混凝土底板剪力，Mt、Mw、Mb分別為混凝土頂板、鋼腹板、混凝土底板彎矩，Nt、Nw、Nb分別為混凝土頂板、波形鋼腹板、混凝土底板軸力。

圖2 組合梁內(nèi)力變形圖示Fig.2 Diagram of internal force and deformation of composite beams

1）物理方程

式中：ht、hb為截面形心至混凝土頂?shù)装逍涡牡木嚯x；Ec為混凝土彈性模量；At、Ab為混凝土頂?shù)装褰孛娣e；It、Ib為混凝土頂?shù)装鍛T性矩；Aw為波形鋼腹板截面積；?為梁豎向撓度；γ為鋼腹板剪切變形；θ為腹板水平轉(zhuǎn)角；φ為頂?shù)装逍涡倪B線的水平轉(zhuǎn)角；Gw為波形鋼腹板等效剪切模量。

即

式中：G為鋼材剪切模量；aw為直板段長度；bw為斜板段投影長度；cw為斜板段長度；tw為板厚；αw為波形鋼腹板形狀系數(shù)，波形尺寸如圖3所示。

圖3 波形示意Fig.3 Profile of corrugated steel web

2）幾何方程

組合梁豎向撓度?、轉(zhuǎn)角ω′，鋼腹板剪切變形γ、轉(zhuǎn)角θ；頂、底板形心連線的水平轉(zhuǎn)角φ具有如下關(guān)系：

式中：et、eb分別為混凝土頂板形心至下緣和底板形心至上緣的距離；hw為鋼腹板高度，hc為混凝土頂?shù)装逍涡拈g距。

3）平衡方程

整個(gè)截面利用平衡方程，截面內(nèi)力與變形的關(guān)系為

其中

聯(lián)立式（6）—式（10）得到關(guān)于?的六階微分方程：

其中，

集中荷載與均布荷載下，式（12）分別為

集中荷載：ωVI-ξ2ωIV=0

則方程的解為

其中，A*x4為特解，當(dāng)為集中荷載時(shí)，q=0，則A*=0；當(dāng)為均布荷載時(shí)，A*=。

聯(lián)立式（8）—式（10）得

由式（15）得：

聯(lián)立式（3）、式（4），式（15）—式（17），即可得到混凝土頂?shù)装甯鱾€(gè)截面的內(nèi)力分布。以混凝土頂板為例，截面內(nèi)力Mt，Nt如式（18）、式（19）所示：

當(dāng)?shù)玫交炷另數(shù)装甯鱾€(gè)截面的內(nèi)力后，即可計(jì)算分別由頂?shù)装遢S力與彎矩引起的應(yīng)力分布，頂?shù)装逭龖?yīng)力的解析解由軸力與彎矩產(chǎn)生的應(yīng)力進(jìn)行疊加，即以頂板為例可得：

式中：σc為混凝土頂板截面正應(yīng)力的解析解；yt為計(jì)算點(diǎn)至混凝土頂板中性軸的距離。

當(dāng)荷載形式與邊界條件確定后，計(jì)算系數(shù)A1-A6的值，即可得到混凝土頂板正應(yīng)力的解析解，即

1.3 典型邊界條件及解析解

如表1所示，研究波形鋼腹板簡支組合梁承受集中荷載與均布荷載的兩種工況。

表1 典型邊界條件及荷載Table 1 Typical boundary conditions and loads

1.3.1 簡支梁受集中荷載

當(dāng)跨中作用集中荷載P時(shí)，梁端位移為0；腹板剪切變形受到混凝土的抑制，梁端腹板剪切變形為0，綜合考慮式（8），即梁端對(duì)混凝土與鋼腹板的約束作用。固定端剪力V=P/2；跨中由于對(duì)稱性，組合梁轉(zhuǎn)角與混凝土頂?shù)装暹B線轉(zhuǎn)角均為0；跨中剪力V=P/2。則位移與外荷載具有如下關(guān)系：

利用邊界條件式（22），可得到

利用邊界條件式（24）、式（25），可得到

進(jìn)而得到

利用邊界條件式（23），可得到

解得

利用邊界條件式（27），可得到

利用邊界條件式（26），可得到

進(jìn)而得到

將式（36）代入式（28），即可得到

基于以上分析，即可得到組合梁中點(diǎn)受集中荷載P作用下，考慮腹板剪切變形下的混凝土頂板正應(yīng)力解析解為

1.3.2 簡支梁受均布荷載

同理可得作用均布荷載q時(shí)典型邊界條件，即

同理，此邊界條件下各常數(shù)解為

2 混凝土附加應(yīng)力解析解驗(yàn)證

2.1 有限元模型

為驗(yàn)證混凝土正應(yīng)力解析解，建立實(shí)體有限元模型如圖4所示。組合梁跨度L=20 m，梁高h(yuǎn)=3 m，上、下混凝土頂?shù)装鍖捄駷?.8 m×0.4 m，波形鋼腹板采用1600波形（直板段430 mm、斜板段長370 mm、高220 mm），鋼板厚度20 mm。波形鋼腹板與混凝土頂?shù)装褰Ⅰ詈霞s束，忽略連接件滑移，梁端與混凝土頂?shù)装骞探Y(jié)。設(shè)集中荷載P=360 kN，均布荷載q=10.5 kN/m。所有材料均為理想線彈性材料，混凝土彈性模量Ec=3.6×104MPa，鋼板彈性模量Es=2.06×105MPa。

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model

2.2 解析解驗(yàn)證

圖5所示為解析解、傳統(tǒng)計(jì)算式（1）以及有限元計(jì)算的波形鋼腹板組合簡支梁在集中荷載和均布荷載下混凝土頂?shù)装鍛?yīng)力比較，在有限元建模中，端梁料選取與頂?shù)装逑嗤Ｒ虼耍邢拊Ｓ?jì)算結(jié)果符合實(shí)際，結(jié)果顯示，解析解與有限元結(jié)果吻合良好，可以準(zhǔn)確預(yù)測混凝土應(yīng)力分布。有限元計(jì)算結(jié)果、解析解在梁端一定范圍內(nèi)均大于傳統(tǒng)計(jì)算式（1）的結(jié)果，隨著離梁端距離增大，三條曲線逐漸重合，說明支點(diǎn)區(qū)段頂?shù)装逯挟a(chǎn)生附加應(yīng)力，隨著梁端距離的增大附加應(yīng)力逐漸減小至0。

圖5 解析解的數(shù)值驗(yàn)證Fig.5 Numerical verification of the analytical solution

對(duì)于集中荷載作用，簡支端的混凝土頂板上表面產(chǎn)生0.76 MPa的附加拉應(yīng)力，當(dāng)距離固定端約1.7 m時(shí)，附加應(yīng)力基本為0。對(duì)于均布荷載作用，簡支端的混凝土頂板上表面產(chǎn)生0.88 MPa的附加拉應(yīng)力。

3 附加應(yīng)力分布規(guī)律

圖6所示為有無端橫梁約束條件下的波形鋼腹板組合梁支點(diǎn)區(qū)域混凝土頂板正應(yīng)力云圖，結(jié)果顯示，對(duì)于無端橫梁約束條件下的簡支梁，支點(diǎn)區(qū)域彎矩為0，因此無端梁約束下的混凝土應(yīng)力為0，且混凝土頂板在簡支梁全跨范圍內(nèi)受壓。而在有端橫梁約束條件下的支點(diǎn)區(qū)段，存在局部的附加應(yīng)力。在混凝土頂板上1/2厚度范圍內(nèi)，附加應(yīng)力為局部拉應(yīng)力，使得混凝土頂板應(yīng)力出現(xiàn)局部反號(hào)的現(xiàn)象；在混凝土頂板下1/2厚度范圍內(nèi)，附加應(yīng)力為局部壓應(yīng)力，使得混凝土頂板壓應(yīng)力出現(xiàn)局部增大的現(xiàn)象；頂板中性軸處為0。

圖6 混凝土頂板應(yīng)力云圖對(duì)比Fig.6 Comparison of stress distribution for girders with or without crossbeams

設(shè)附加應(yīng)力為實(shí)際混凝土應(yīng)力與傳統(tǒng)計(jì)算結(jié)果的差值，即

式中：σc.ad為頂?shù)装寤炷粮郊討?yīng)力；σc為基于解析解的混凝土實(shí)際應(yīng)力；σc，tr為基于平截面假定的傳統(tǒng)計(jì)算式（1）下的混凝土應(yīng)力。

圖7所示為在跨中集中荷載作用下的附加應(yīng)力沿梁縱向的分布。圖8所示為不同截面（x=0，x=0.8 m，x=1.7 m）的附加應(yīng)力沿截面高度的分布。結(jié)果顯示，在頂?shù)装迳暇墸郊討?yīng)力為拉應(yīng)力；在頂?shù)装逑戮墸郊討?yīng)力為壓應(yīng)力，中性軸處為0。同一截面頂?shù)装逄幧舷戮壍母郊討?yīng)力方向相反，沿混凝土頂?shù)装褰孛娓叨瘸尸F(xiàn)線性分布，且附加應(yīng)力大小隨著梁端距離的增大逐漸減小至0。由于附加應(yīng)力的存在導(dǎo)致平截面假定在此范圍內(nèi)不成立。

圖7 不同位置混凝土附加應(yīng)力縱向分布Fig.7 Longitudinal distribution of additional stress

圖8 不同截面混凝土附加應(yīng)力豎向分布Fig.8 Vertical distribution of additional stress in concrete at different sections

以上分析可知，波形鋼腹板簡支組合梁，梁端附加應(yīng)力在混凝土頂板、底板的上表面為拉應(yīng)力。基于不同尺寸模型參數(shù)分析，附加應(yīng)力分布范圍約為0.6倍的梁高。實(shí)際設(shè)計(jì)中，應(yīng)當(dāng)考慮梁端區(qū)域混凝土頂?shù)装宕嬖诘母郊永瓚?yīng)力，采取相應(yīng)的抗裂性措施。

4 梁端附加應(yīng)力設(shè)計(jì)指導(dǎo)

考慮到簡支梁零彎矩區(qū)傳統(tǒng)計(jì)算方法應(yīng)力結(jié)果為0，實(shí)際上由于端梁的約束作用會(huì)產(chǎn)生頂板附加拉應(yīng)力，對(duì)設(shè)計(jì)產(chǎn)生不利的效果。因此，給出附加應(yīng)力計(jì)算式直接計(jì)算混凝土附加應(yīng)力的大小，以供設(shè)計(jì)參考。圖9為附加應(yīng)力分布模式，其中σc.ad為附加應(yīng)力沿梁縱向x的分布，σc.ad，max為梁端最大附加拉應(yīng)力，其值可用于指導(dǎo)實(shí)橋支點(diǎn)處混凝土抗裂設(shè)計(jì)。

圖9 波形鋼腹板組合梁附加應(yīng)力表達(dá)Fig.9 Expression of additional stress

簡支梁在集中荷載和均布荷載下σc.ad計(jì)算式為式（42）、式（44）；此外，將x=0代入即可得到σc.ad，max的計(jì)算式，考慮到sinh(ξL/2)≈cosh(ξL/2)>>1，σc.ad，max計(jì)算式可簡化為式（43）、式（45）。

跨中集中荷載作用：

均布荷載作用下：

5 結(jié)論

（1）利用考慮剪切變形的波形鋼腹板梁模型，推導(dǎo)了波形鋼腹板簡支組合梁在集中荷載和均布荷載作用下的梁端混凝土頂?shù)装逭龖?yīng)力的解析解，并與有限元結(jié)果進(jìn)行比較，揭示了波形鋼腹板組合梁梁端混凝土附加應(yīng)力的分布規(guī)律。

（2）簡支組合梁橋混凝土橋面板附加應(yīng)力在梁端為峰值，且隨著梁端距離的增大應(yīng)力值逐漸減小至0，長度約為梁高的0.6倍，此范圍平截面假定不適用。

（3）簡支組合梁橋混凝土橋面板附加應(yīng)力豎向分布呈現(xiàn)混凝土板上緣為附加拉應(yīng)力，下緣為附加壓應(yīng)力，中性軸處為0的線性分布規(guī)律。

（4）波形鋼腹板簡支組合梁，梁端附加拉應(yīng)力發(fā)生在混凝土頂、底板的上表面，實(shí)際設(shè)計(jì)中應(yīng)對(duì)梁端區(qū)域混凝土頂板采取相應(yīng)的抗裂措施。