薄壁結構干摩擦阻尼減振設計分析

高世民，王延榮，葉 航

（北京航空航天大學能源與動力工程學院1，北京100083，江西研究院2，南昌 330096；3.成都航利（集團）實業有限公司，四川彭州 611936）

0 引言

航空發動機轉子葉片、整體葉盤、篦齒封嚴結構、薄壁齒輪和減渦器引氣管等屬于典型的薄壁結構，在工作過程中承受著很高的離心載荷、熱載荷導致的靜應力，以及變化載荷導致的振動應力，容易出現高循環疲勞失效，使得降低結構所受靜應力及控制其敏感階次振動應力成為必要[1-2]。然而，薄壁結構在工作中的激勵頻率范圍寬、激勵階次多，難以避開所有共振點。通過摩擦耗散振動能量的干摩擦阻尼減振是降低薄壁結構振動應力的有效技術手段[3]。

薄壁結構干摩擦阻尼減振設計依賴于對薄壁結構動力學和接觸問題的把握，重點關注共振頻率、阻尼和振動應力水平等[4]。接觸模型刻畫了彈性體（通常為金屬）干摩擦接觸時的相互作用，及其與接觸面間相對運動的關系[5]。目前，接觸模型可分為1D模型[6-7]和2D模型[8-9]；恒 定[6，8]或 者變法 向正壓 力[7，9]模型；宏滑動和微滑動模型[10]。利用發展的接觸模型可計算分析系統的動力響應。直接的時間積分法非常耗時，Phadke等[11]計算帶緣板阻尼器葉片1個激勵頻率點下的響應便需40 h。而在設計階段無法承擔如此高昂的時間成本。考慮到薄壁結構響應往往具有周期性，Cardona等[12]采用諧波平衡法將運動方程由時域微分方程轉換為頻域代數方程，進而高效求解此非線性方程。為能更有效地描述接觸，在諧波平衡法基礎上，Cameron等[13]提出了時頻轉換法，將頻域位移轉換到時域后，在時域內求解非線性接觸作用力后再轉換回頻域。為進一步提高計算效率，Mehrdad[14]采用模態綜合法，Petrov[15]采用頻率響應函數法，利用減縮模型計算葉盤結構的非線性響應；Krack等[16-17]從非保守系統角度利用非線性模態來處理干摩擦問題；Hüls等[18]采用幅頻響應曲線來評價減振結構的阻尼效果。然而，響應計算存在實際激勵大小難以確定、計算時間長和收斂困難等問題[4]。值得注意的是，航空發動機工作中薄壁結構典型狀態的穩態應力和許用的振動應力范圍已基本確知。

本文從薄壁結構振動應力出發，基于能量耗散發展了一種減振結構阻尼效果的分析方法及流程。

1 干摩擦系統運動模型

航空發動機薄壁結構設計中常見的干摩擦阻尼器形式主要有緣板阻尼器、葉冠、凸肩、阻尼環、阻尼套筒。其中前三者主要用于葉片結構，阻尼環主要用于齒輪、葉盤和封嚴篦齒，阻尼套筒主要用于封嚴篦齒和減渦器引氣管，航空發動機典型薄壁結構及其干摩擦阻尼器結構形式如圖1所示。

圖1 航空發動機典型薄壁結構及其干摩擦阻尼器結構形式

1.1 運動方程

含干摩擦作用的薄壁結構運動方程為

式中：M、C和K分別為薄壁結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；u（t）為結構的位移列向量；fe（t）為結構受到的激振力列向量；fc為干摩擦接觸面上非線性接觸作用力列向量，只在接觸面自由度上不為0。

由式（1）可看出干摩擦阻尼減振包含了經典振動和接觸2方面內容。本文的目的是分析減振結構提供的干摩擦阻尼；若需考慮材料阻尼等其他阻尼時，因阻尼比是無量綱參數，可直接與計算所得的干摩擦阻尼相加減。

1.2 接觸模型

接觸模型刻畫了接觸面接觸作用力（即切向的摩擦力和法向的正壓力）與接觸面相對位移的關系，這與系統的摩擦耗能直接相關。本文采用接觸節點對進行接觸建模。接觸節點間的3維相對運動在接觸局部坐標系下可分解為面外的法向運動和面內2個相互垂直方向的運動。

經典的庫倫摩擦模型假定接觸面存在粘滯和滑移2種狀態，且二者間瞬時轉變，如圖2所示。1D切向相對位移-恒正壓力接觸模型（如圖3所示）將接觸面的干摩擦等效為線性彈簧與經典庫倫摩擦副的串聯，并假設法向的正壓力恒定，只考慮接觸面內1個切向的相對運動。在此基礎上，1D切向相對位移-變正壓力接觸模型（如圖4所示）考慮了法向正壓力的變化。2D切向相對位移-恒正壓力接觸模型（如圖5所示）考慮了接觸面內2個切向的相對運動，而2D切向相對位移-變正壓力接觸模型（如圖6所示）在此基

圖2 庫倫摩擦模型

圖3 1D切向相對位移-恒正壓力接觸模型

圖4 1D切向相對位移-變正壓力接觸模型

圖5 2D切向相對位移-恒正壓力接觸模型

圖6 2D切向相對位移-變正壓力接觸模型

礎上，考慮了法向正壓力的變化，被稱為全3D接觸模型。前述接觸模型及其不同接觸狀態（粘滯、滑移、分離）的轉換準則詳見文獻[9]，這里給出全3D接觸模型時域內接觸作用力的表達式。給定接觸節點對之間的相對位移Δuc，tx、Δuc，ty、Δuc，nz，利用接觸相對位移Δhtx、Δhty，則法向正壓力為

在實際程序計算中采用預報-校正格式，按離散時間步推進迭代求解摩擦力。從上一時刻開始，按照接觸規律求解摩擦力后進行下一時刻的求解，直至摩擦力穩定。通常需要幾個振動周期遲滯回線便可收斂。

式中：

2 阻尼特性曲線

2.1 摩擦耗能

干摩擦阻尼減振的機理是接觸面之間相對運動產生摩擦力，從而耗散振動動能。從能量的角度出發，摩擦耗能與系統振動能量之比可以用來評價阻尼效應。選用合適的接觸模型，1個振動周期內摩擦耗能可由接觸模型中的遲滯回線所圍成的面積得到，即

損耗因子通常被用來評定工程材料的阻尼效果[19]，可表達為每個振動周期的耗散能量占系統振動能量的比例，即

系統振動能量可用1個周期內的最大振動動能Ek來表示，則減振結構（阻尼器）所能提供的等效阻尼比可近似表達為

2.2 等效阻尼比

針對薄壁結構某一階模態，在小振幅條件下，模態的位移Aref、振動應力σref和最大振動動能Ek，ref和實際的位移A、振動應力σ、最大振動動能Ek間有如下關系

給定考核點某一振動應力σ，計算位移A和最大振動動能Ek；再選取相應的接觸模型，可得到相應的摩擦耗能Ef，進而利用式（7）計算當前振動應力下的等效阻尼比ζ；改變振動應力大小，可得到阻尼比隨振動應力的變化曲線，即阻尼特性曲線。薄壁結構阻尼特性計算流程如圖7所示。值得注意的是，對于不同的減振結構，摩擦耗能的計算方式有差別，這將在下文中予以介紹。

圖7 薄壁結構阻尼特性計算流程

3 減振設計分析

3.1 設計分析流程

本文利用阻尼特性曲線進行減振設計，阻尼特性曲線即系統所能提供的阻尼比隨結構振動應力的變化曲線，如圖8所示。其中，減振結構開始提供阻尼效應時結構考核點的共振振動應力，稱為臨界振動應力σcr；峰值阻尼比ζmax為阻尼比最大值，其對應的振動應力為σm。干摩擦阻尼減振結構設計分析流程如圖9所示。

圖8 阻尼特性曲線

圖9 干摩擦阻尼減振結構設計分析流程

薄壁結構典型工作狀態的穩態應力和許用振動應力范圍在設計中往往是已知的，調整減振結構設計參數，以滿足阻尼比要求：在許用振動應力下，減振結構能提供盡可能大的阻尼比，即峰值阻尼比盡可能大；同時，臨界振動應力要相對小；主結構的典型振動應力落在阻尼特性曲線左半支為最佳，使得振動應力增大時，減振結構提供的阻尼比也隨之增大。另外，若需得到某假設激勵幅值fe下結構的響

應，則可利用該激勵下阻尼比-振動應力曲線與減振結構阻尼特性曲線的交點來獲得。

3.2 緣板阻尼器分析示例

緣板阻尼器常用于風扇和高壓渦輪轉子葉片，典型的結構形式有楔形、柱狀、帶狀及非對稱形狀等。本例針對渦輪葉盤結構模型（如圖10所示），利用其Campbell圖分析確定的危險模態（4節徑葉片1彎），選取平板式緣板阻尼器按流程進行減振分析。

圖10 渦輪葉/盤轉子結構有限元模型

相鄰葉片振動相位差φ由節徑數Nd和葉片數nsec表示為

利用諧波平衡法和B-B（Blade-to-Blade）型接觸運動，阻尼器振動位移為v=（uL+uR）/2。阻尼器與緣板間接觸左、右面的位移及阻尼器與左緣板相對位移表達為

則接觸面相對位移幅值Aref用左、右緣板絕對位移AL、AR表示為

因工作過程中緣板阻尼器由離心力緊壓在葉片緣板處，可忽略法向正壓力的變化。采用1D切向相對位移-恒正壓力接觸宏滑動模型（圖3），利用式（5）計算摩擦耗能，即

式中：Acr=μN0/kt，為接觸面處于粘滯與滑移之間的臨界狀態時的相對位移。

扇區最大振動動能Ek，ref為式中：Ek，wh為模態分析全環的最大振動動能；Ai為第i扇區的模態位移（駐波模態振幅）。

通過葉盤結構的接觸分析和循環對稱模態分析，按上述方法獲得緣板阻尼器減振參數，見表1。經式（7）計算得阻尼器與單側緣板摩擦提供的等效阻尼比；需要注意的是，阻尼器與兩側緣板都進行摩擦耗能，最終阻尼比是單側的2倍。緣板阻尼器不同質量m0下的阻尼特性曲線如圖11所示。取許用振動應力50 MPa，則質量為1.2 g時的阻尼效果最佳。

圖11 渦輪葉片不同質量緣板阻尼器的阻尼特性曲線

表1 緣板阻尼器減振參數

3.3 葉冠減振分析示例

葉冠主要用于低壓渦輪轉子葉片，有鋸齒冠和平行冠等形式。某鋸齒冠葉片結構有限元模型如圖12所示。關注危險模態（20節徑葉片1彎），選取不同預扭角α對鋸齒冠按流程進行減振分析。值得注意的是，葉冠對葉片固有振動特性有較大影響，通過在冠間建立彈簧單元，采用循環對稱邊界條件，以模擬接觸剛度對結構固有振動特性的影響。

圖12 某鋸齒冠葉片結構有限元模型（經變形處理）

考慮相鄰葉片振動相位差φ，鋸齒冠接觸左、右面的位移及相對位移表達為

相對位移幅值Aref用左、右葉冠絕對位移AL、AR表示為

采用1D切向相對位移-恒正壓力接觸宏滑動模型（圖3），利用式（5）、（12）計算摩擦耗能。扇區最大振動動能為Ek，ref。通過接觸分析和冠間含等效彈簧（剛度為kn=578 N/mm、kt=289 N/mm）的模態分析，按上述方法獲得鋸齒冠減振參數，見表2。經式（7）計算得鋸齒冠提供的等效阻尼比，鋸齒冠不同預扭角α下的阻尼特性曲線如圖13所示。取許用振動應力50 MPa，則預扭角為0.5°時的阻尼效果最佳。

圖13 渦輪葉片鋸齒冠不同預扭角下的阻尼特性曲線

表2 鋸齒冠減振參數

3.4 阻尼環分析示例

阻尼環可應用于航空發動機篦齒封嚴、整體葉盤、薄壁齒輪等結構的減振，有閉口、C形和螺旋形等形式，橫截面有矩形和圓形等。本例對篦齒封嚴結構模型（如圖14所示），關注危險模態（5節徑），選取矩形截面（軸向寬度b，徑向厚度h）阻尼環按流程進行減振分析。

圖14 篦齒封嚴結構有限元模型

與緣板阻尼器、葉冠等結構不同，阻尼環是周向整環連續體，主結構節徑型振動的徑向分量會導致接觸面內的周向變形，進而產生相對位移耗散能量，計算摩擦耗能時采用庫倫摩擦模型（圖2），通過不同周向位置摩擦力fc，t（θ）與接觸面相對位移Δs（θ）乘積的積分獲得

式中：P為接觸面上單位長度的正壓力；Ad為阻尼環橫截面面積；E為阻尼環材料彈性模量；Rf為接觸面半徑；θ0為滑移與粘滯區轉換的臨界角度

式中：A為篦齒封嚴結構徑向振動位移；cs和cd分別為篦齒環和阻尼環徑向半厚度；Rs和Rd分別為篦齒環和阻尼環中性層半徑。

提取篦齒封嚴結構最大振動動能Ek，ref，按上述方法獲得阻尼環減振參數，見表3。經式（7）計算得阻尼環提供的等效阻尼比，阻尼環不同徑向厚度h下的阻尼特性曲線如圖15所示。阻尼效果隨著阻尼環徑向厚度的增加而提高，其取值在設計許可的范圍內越大越好。

圖15 篦齒封嚴結構阻尼環不同徑向厚度下的阻尼特性曲線

表3 阻尼環減振參數

3.5 阻尼套筒分析示例

阻尼套筒可應用于篦齒封嚴和減渦器引氣管等結構的減振，有簡單筒狀、指狀、裂式環等形式。本例針對某減渦器結構模型（如圖16所示），關注引氣管2彎危險模態，選取安裝于引氣管內部的裂式阻尼套筒按流程進行減振分析。接觸面相對運動及摩擦耗能在引氣管軸向為x向、引氣管周向為θ向的局部坐標系進行分析。主結構彎曲振動時會導致接觸面內沿引氣管軸向的變形，進而產生軸向相對位移耗散能量，計算摩擦耗能時采用庫倫摩擦模型（圖2），通過不同位置摩擦力fc，t（x，θ）與接觸面相對位移Δs（x，θ）乘積的積分獲得

圖16 減渦器及阻尼套筒有限元模型

式中：cs和cd分別為引氣管壁半厚度和阻尼套筒壁半厚度；A為引氣管徑向振動位移；L為阻尼套筒軸向長度；a、b、c、d為用于刻畫主結構振型函數的4個系數（可由有限元模態分析結果擬合得到）；Rf為接觸面半徑；x0為滑移與粘滯區轉換的臨界軸向位置，滿足

需要注意式（21）為超越方程，可用數值方法求解。

經式（7）計算得阻尼環提供的等效阻尼比，阻尼套筒不同軸向長度L下的阻尼特性曲線如圖17所示。從圖中可見，阻尼效果隨著阻尼套筒軸向長度的增加而提高，其取值在設計許可的范圍內越大越好。提取引氣管結構最大振動動能Ek，ref，按上述方法確定阻尼套筒減振參數，見表4。

圖17 減渦器阻尼套筒不同長度下的阻尼特性曲線

表4 阻尼套筒減振參數

4 結論

（1）阻尼特性曲線可用于評定減振結構提供的阻尼比，給出了在所關注模態下阻尼比隨主結構考核點振動應力的變化關系。

（2）對分析的渦輪葉片模型緣板阻尼器質量進行減振設計，取許用振動應力50 MPa，質量為1.2 g時的阻尼效果最佳。

（3）對分析的渦輪葉片鋸齒冠預扭角進行減振設計，取許用振動應力50 MPa，預扭角為0.5°時的阻尼效果最佳。

（4）對分析的篦齒封嚴結構進行阻尼環減振設計，阻尼環徑向厚度越大，阻尼效果越好，可在設計許可范圍內取大值。

（5）對分析的減渦器引氣管所用裂式阻尼套筒，套筒長度的增加有益于阻尼效果的提高。

需要指出的是，本文方法及其流程針對的是模態非密集結構的單一模態進行的減振分析，后續需要綜合考慮多個模態，尤其模態密集的結構，進一步發展其減振設計分析方法。