新課標背景下高中數學建模素養探究

時俊

（珠海市第一中學，廣東珠海 519000）

一、數學建模的發展

2017年教育部正式公布了《普通高中數學課程標準（2017年版）》，該課程標準的公布標志著新一輪的數學課程改革正式開始實施。通過系統梳理本輪數學課程改革可以發現，改革的主要目的是完成立德樹人的根本任務，對于數學學科而言，特別是在高中階段的數學教育來講，數學對于培養學生有著非常重要的價值，有著不可替代的基礎作用。通過諸多學者們對數學學科特點的系統梳理和發現，課程標準正式提出了培養學生的數學核心素養，即數學學科核心素養。核心素養共有六項，分別是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，這六項核心素養直接指明了數學教育要重點培養的方向。

數學建模是本次數學核心素養之一，也是歷來數學教育的重要內容。早在2003年的數學課程標準實驗版中數學建模就有重要的地位，但事實上具有關學者的考證，早在1996年的數學教學大綱中就出現了數學建模的要求，只是當時以數學模型的表達出現在文件中[1]。到了2003年的高中數學課程標準實驗稿中，數學建模就被正式提出，并且給予了足夠的重視[2]。要求學生能夠“選擇有效的方法和手段收集信息、聯系相關知識、提出解決問題的思路，建立恰當的數學模型，進而嘗試解決問題”。但是如果拓展高中階段，進一步討論初中階段的數學要求，會發現在2011年的義務教育數學課程標準中也進一步強調了數學建模，并且提出了十個核心詞，其中包含模型思想[3]。這也可以看出對數學建模的重視程度在不斷增加。到最新的高中數學課程標準2017年版中，數學建模成為了六個核心素養之一[4]。并且要求逐步提高，學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯；學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐經驗等。由此可見，隨著人們對數學研究的不斷深入，數學教育學者們日漸認識到數學建模的重要性，數學建模已經成為數學基礎教育中不可缺少的重要內容[5]。

二、數學建模培養的意義

數學建模作為基礎教育中重要的培養內容，具有不可替代的作用。數學建模主要是指研究者對現實世界的某些問題進行抽象，然后通過數學的語言、數學的方法解決問題，在這個過程中研究者要經歷發現問題，分析問題，建立模型，確定參數，計算求解，檢驗結果，改進模型，最終成果等幾個基本過程。顯然，可以發現數學建模過程對于培養學生的各方面能力和素養具有重要的作用。目前無論是國際還是國內都已經非常明確地指出，在21世紀人才培養中能力是第一位的，傳統的以知識為主要的人才培養模式和培養目標已經被淘汰，而能力的培養并不是像知識的講授那樣簡單，具有更加復雜的特性[6]。因此，數學建模過程中能夠較好地鍛煉學生的各方面能力，對于人才培養其中重要作用[7]。

（一）數學建模活動有利于培養學生的小組合作能力

無論是美國的21世紀技能，還是PISA測試等國家大型測試項目都對學生能夠合作交流提出了較高的要求。無疑可以看出在未來社會中學生的合作交流能力是個體能力構成的重要成分。隨著人工智能、信息技術的不斷發展，日漸清晰地可以看出未來社會對較低水平的重復操作變得不重要，而高端的創造性能力需求較高。個體的能力終究有所限制，一定是在一個合作交流的團隊中才能更好地發揮出來。在數學建模過程中，學生需要根據不同要求形成研究小組。在小組內可以形成記錄員、陳述員等等多種任務分工，總之在這個過程中可以極大地鍛煉學生之間的合作溝通交流能力，小組成員通過對不同方案的選取，在分工合作成最終的建模報告。完整的建模過程中融入了多次小組成員的交流，非常有利于培養學生的合作能力[8]。

（二）數學建模活動有利于培養學生的數學綜合能力

21世紀的人才培養已經正式從知識走向了能力，各個國家、研究機構都已經非常清晰確定地認為在未來社會當中能力只最為重要的培養目的。從數學學科的人才培養來看，高中數學需要講授三角函數、不等式、概率與統計、集合等等數學知識，然而在以往的數學教學中對知識的強調過多，甚至達到了一定程度。學生往往會認為對知識的掌握就是數學學習的目的。事實上，數學的學習更多的是培養學生的數學能力，而不是單純地記住某些數學知識。數學定理，數學公式只有在應用的過程中才能有價值，而應用的過程就是學生能力的體現。所以，只記住某些公式，或者能夠進行一些非常簡單的操作并沒有達到數學教育的目的。要培養學生的數學能力才是關鍵。數學建模過程中學生將經歷一系列數學操作過程，從發現問題、提出問題開始，到后期找到合適的模型，進而形成研究報告，整體的過程中學生的數學能力得到培養。數學建模過程將學生從外部的真實世界問題引入到數學世界中，再通過自己所學習的數學方法、數學公式去解決問題，然后通過數學語言進行表達。所以，可以看出在數學建模過程中學生的數學能力將會得到很大的提高和培養。

三、數學建模過程分析

數學建模的過程相對復雜，一個完整的建模過程需要經歷較多步驟。但是在最新的高中數學課程標準中對數學建模的過程進行了精簡提煉，給出了最為關鍵的主要步驟，共有四個部分。這個四個部分也成為建模過程的主體[9]。

（一）發現和提出問題

發現和提出問題是建模過程的初始階段，雖然有時我們會看到一個非常清楚的問題，好像并不需要問題的提出和發現。但是這個過程是將問題或者現實背景轉化為數學問題的過程，需要學生具有較好的抽象能力。即使有時我們看到了一個相對穩定的問題，這個問題仍然需要進一步抽象成一個完整的數學問題，才能使建模得以進行。另外，發現問題、提出問題在我們的傳統數學教學中較少培養，更多關注需要如何解決問題。所以在這個過程中非常有利于培養學生的問題提出能力[3]。

（二）建立和求解模型

這是進行建模的第二階段，在這個過程中學生已經將問題轉化為數學問題，需要利用自己所學習的各種數學知識進行問題求解，也就是要建立模型。以新課標中給出的案例進行分析，學生需要找到測量高度的方法，事實上學生在經過了初中階段的學習后能夠解決一些見得問題，在高中階段重要的是如何應用。并且在較多的解決方案中能尋找出適合自己的方案。最適合的方案就是學生小組能夠利用已有知識進行求解，并使之更加簡潔。

（三）檢驗和完善模型

這個過程是對前面求解結果的驗證，求解模型的過程往往會十分復雜一個小組可能會形成多個模型，在對結果的比較中進行選擇。所以求解的結果和模型本身都需要檢驗和完善。如果發現結果不好，或者模型有問題，就需要重新尋找模型，并求解新的結果。通常情況下學習小組可以通過結果是否符合實際來進行驗證。例如，在求解建筑物的高度過程中可以通過一些資料進行檢索，如需要學生計算珠海市國際會展中心大樓的高度，可以通過該會展中心的主頁查找相關資料獲得基本數據。利用結算的結果與之相比較，就可以判斷所得結果是否合理。如果發現所得結果與事實不符合，則需要重新調整模型。

（四）分析和解決問題

這個過程主要是將前期結果應用的過程，或者說將數學結果轉化為現實結果的過程。在很多時候一個問題會較為復雜，建模過程中所得到的結果要轉化成現實的結果。例如在求解高度中往往數學結果比較好和實際問題相一致，但是在階梯電價、階梯水費、出租車計價、手機通信費等問題中，現實背景要更加復雜，需要對數學結果進一步分析，形成現實問題的答案。這就需要能夠將所獲得的數學結果轉化為實際結果，完成對問題的解決。

四、數學建模素養培養建議

（一）創設課堂教學情境

在實際教學中要重視課堂教學中情境的選擇問題。通常上課時教師往往會通過情境引入教學，情境的選擇尤為重要，要符合實際，也要能夠激發學生學習興趣。特別在數學建模的教學中，情境一定要符合實際背景。例如，有學者給出了下面有關背包客的一個情境，就能夠激發學生的興趣。“某背包客計劃從徐州出發乘火車（含高鐵，火車票價以中國鐵路12306網站公布為準）到常州、青島、北京、洛陽、黃山、武漢、西安、九江等八個城市旅游，最后回到徐州。1.請為背包客設計游覽全部八個城市且火車票費用最省的行程表。2.假設該背包客只預算了2 000元的火車票費用，請為背包客設計行程表使得旅游城市盡可能多。”在這個情境中學生比較熟悉火車的乘坐，也能夠了解12306網站的使用，并且這是一個在現實中能夠遇到的真實問題，學生在解決中會比較真實[10-11]。從新課改以來，教學環節就在不斷地面臨改革。教學情境一直都是教學改革的重點關注內容，鼓勵教師設計較為現實、豐富的教學情境，引導學生關注現實世界。教師除了在課堂內容引入、課后習題設置等方面進行情境設計外，也可能大膽嘗試新方式、新方法、例如項目學習方式，通過將所學知識整合，形成貫穿性知識體系，并構建一個大情境，讓學生實現問題引導下的數學知識學習，既能夠實現教學情境的真實化、問題化，也能夠提高學生學習興趣，起到培養數學建模能力的目的。

（二）形成小組合作學習意識

在高中數學教學中，教師在培養和發展學生數學建模能力的時候，應立足于學生的實際情況，充分借助小組合作的形式，強化學生數學建模能力的培養，使得學生在小組合作的過程中，通過相互合作、互動和交流等，共同完成數學模型的構建。所以，一定要激發學生小組合作的意識，形成合作共識。在未來社會中合作顯然已經成為非常重要的個人能力，在基礎教育階段一定要有意識地、有設計地去培養學生合作的能力。數學建模過程中往往通過小組形式來完成，這就為培養學生的合作能力提供了較好的平臺。但是有些時候學生只關注到問題解決的本身，也就是是否能夠完成建模活動，能夠獲得最后的結果，忽視了在建模過程中其他能力的培養。因此，教師要引導學生形成團隊意識，能夠快速進行小組合作，讓學生知道在合作中學習的重要性。這樣才能使學生體驗一個良好的數學建模過程[12-14]。

（三）拓展學生數學應用意識

在義務教育數學課程標準中含有十個核心詞匯，其中包含應用意識。主要體現了在數學學習中著重培養的學生能力。應用意識作為數學培養的重要內容，一直都是數學教學中密切關注的要點。在小學階段學生開始接觸應用題，逐步懂得在現實背景下存在數學內容，將以往抽象的數學數字、符號等與實現世界相聯系，在初中階段學生的抽象能力得到顯著增強，學生能夠在較為基礎的現實背景下抽象出數學元素、關系等，這些都為高中階段的建模能力培養做好了準備。建模能力的培養離不開學生的抽象能力，學生必須能夠將現實問題轉化為數學問題，然后在數學環境下解決問題。但是在這個過程中學生如何能夠將抽象的結果進行解決就需要養成良好的應用意識。學生在平時學習，乃至日常生活中都要有較好的應用意識，能夠熟練地了解數學知識所應用的范疇。同時，學生需要將知識與現實背景做好銜接，培養出一種數學知識應用習慣，而不是單純地僅僅在數學情境下解決問題，一旦面對新環境、新情境就難以應用數學知識解決問題。應用意識的培養對于提高數學建模能力至關重要，很多時候學生的應用意識培養可以從日常點滴開始，教師要有意識地設計一些應用類問題，培養學生的應用意識。

數學建模素養作為重要的數學素養之一，在高中階段要特別給予關注，要充分利用好教材中綜合實踐的環節，以及生活中的實際問題，讓學生真正經歷數學建模的過程，積累數學活動經驗，提高數學素養。