二次函數中系數的符號與其圖象之間的關系

?甘肅省慶陽市寧縣中村初級中學 韓興寧

1 引言

圖象與性質作為初中數學中二次函數非常重要的內容，其系數符號的判斷不亞于求函數圖象與坐標軸的交點[1].盡管該知識點基礎且重要，但是仍有很多學生對此掌握不夠深入.為此，筆者結合近幾年的中考題，為學生提供判斷二次函數系數符號的方法，同時也為一線教師在這方面的教學提供參考.

2 方法探究

對于二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)而言，ax2的系數為a，bx的系數為b，c常數項.當然，這里的a，b，c已經包含了符號，在此作特殊說明[2].那么，如何根據二次函數的圖象分析出系數的符號呢？接下來將從以下三個方面進行研究.

2.1 確定“a”的符號

“a”的符號通常比較容易確定，它與二次函數圖象的開口方向有關，即圖象開口向上時a為正數，圖象開口向下時a為負數[3].關于 “a”的符號的判斷，在中考題中出現得比較少，這與它的難易程度有關.

例1如圖1，函數y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象可能是( ).

圖1

解析：函數y=ax+1中的“a”與y=ax2+bx+1(a≠0)中的“a”符號一致，所以可根據y=ax2+bx+1(a≠0)圖象的開口方向判斷“a”的符號.首先，A，B選項中二次函數圖象開口向下，所以a<0，那么直線應向下傾斜，選項B排除.然而，函數y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)中都有“1”，即圖象與y軸交點坐標都為(0，1)，因此排除選項A.其次，C，D選項中二次函數圖象開口向上，所以a>0，那么直線應向上傾斜，選項D排除.所以，本題應選答案：C.

2.2 確定“b”的符號

“b”的符號判斷比較復雜，因為需要考慮二次函數中與b有關的量.這時候，就自然想到了判別式Δ和頂點坐標，其中頂點的橫坐標關系最簡單，即對稱軸.所以，在“a”一定的前提下，嘗試從對稱軸的位置探究確定“b”的符號的方法.

首先，觀察圖2中兩個函數圖象，它們都是開口向下，不同的是①中的對稱軸與x軸的負半軸相交，而②中則與x軸的正半軸相交.

圖2

最后，綜合兩種不同的情況，發現b的符號與a有關，且通過對稱軸的位置得到了a與b“左同右異”的關系.

例2如圖3,函數y=mx+m和函數y=-mx2+2x+2(m是常數，且m≠0)的圖象可能是( ).

圖3

解析：函數y=mx+m和函數y=-mx2+2x+2(m是常數，且m≠0)中的“m”符號一致.首先，四個選項中均以直線為參考對象.在A，B，D三個選項中，直線y=mx+m均向下傾斜且與y軸負半軸相交，所以m<0，則-m>0，所以二次函數開口向上，排除A選項.再觀察b=2>0，采用“左同右異”中的“左同”得到對稱軸應與x軸的負半軸相交，即選項B排除.因為C選項中的直線向上傾斜，所以m>0，因此-m<0，這與C選項的二次函數開口方向向上矛盾，所以應排除C選項.故選答案：D.

2.3 確定“c”的符號

“c”的符號的確定，需要先觀察二次函數解析式y=ax2+bx+c(a≠0).不難發現，當x=0時，y=c，即函數與縱軸的交點坐標是(0，c)[4].由此可見，“c”的符號的確定依賴于交點坐標(0，c).如果二次函數圖象與縱軸的正半軸相交，那么c>0；如果二次函數圖象與縱軸的負半軸相交，那么c<0；如果二次函數圖象過原點，那么c=0.

例3拋物線的圖象如圖4所示，根據圖象可知，拋物線的解析式可能是( ).

圖4

A.y=x2-x-2

D.y=-x2+x+2

解析：函數圖象顯示開口向下，交y軸正半軸，其對稱軸與x軸正半軸相交.根據上述分析，可知a<0；c>0；b的符號與a的符號相反，既然a<0，那么b>0.綜合此三點，選項A,C排除.再仔細觀察圖象可知，圖象與y軸正半軸的交點一定不是(0，1)，而是(0，2)，所以應選答案：D.

3 方法應用

例4(濰坊)已知二次函數y=

ax2+bx+c的圖象如圖5所示，則a，b，c滿足( ).

圖5

A．a<0，b<0，c>0

B．a<0，b<0，c<0

C．a<0，b>0，c>0

D．a>0，b<0，c>0

解析：觀察函數圖象發現，圖象顯示開口向下，所以a<0；圖象與y軸的正半軸相交，所以c>0；對稱軸與x軸的負半軸相交，所以b與a的符號相同，都是負數.綜上可知，a<0，b<0，c>0.故選答案：A.

例5(陜西省)已知二次函數y=ax2+bx+c(其中a<0，b<0，c>0)，關于這個二次函數的圖象有如下說法：①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點一定在第四象限；③圖象與x軸的交點至少有一個在y軸的右側．以上說法正確的個數為( ).

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：本題沒有給出圖象，而是需要根據“a<0，b<0，c>0”嘗試畫出圖象，然后根據圖象在①②③中選擇.所以，首先根據“a<0，b<0，c>0”畫出圖象，如圖6所示.然后，根據圖象分析可知①錯誤，圖象應該一定開口向下；②錯誤，圖象的頂點一定在第二象限；③正確.所以，本題應該選答案：B.

圖6

4 結語

總而言之，二次函數中系數符號的確定既關系到學生對函數圖象的整體把握，又關乎到后期的計算.倘若在第一步就判斷錯誤a，b，c的符號，那么后續有關系數的運算一定會出現錯誤.所以，作為一線數學教師，在用心教學、耐心指導的前提下，務必讓學生掌握該基礎知識點，為日后函數的計算和應用打下堅實的基礎.