初中幾何綜合題的解題策略

?廣西壯族自治區柳州市柳城縣教育局教研室 何愛美

1 綜合分析法

綜合分析法具體是指同時對條件和所求結論進行分析，結合問題所給信息和問題所求進行理解、聯想和推導，找到已知條件和問題所求的中間關聯點，使已知和未知產生連接.這種同時對條件和問題所求進行分析解題的方法，也被稱為“兩頭湊”.

例1已知AD是圓O的的直徑，CE⊥AD于點E，連接AC，過A點任作圓O的弦AB交CE(或其延長線)于點F.

求證：AC2=AF·AB.

分析：如圖1，根據已知條件和具體圖形如△ACE∽△ADC，可知AC2=AE·AD.

圖1

因為需要證明的結論為AC2=AF·AB，所以可轉化為證明AE·AD=AF·AB.

2 方程法

方程法就是利用方程的思想來在幾何圖形中設置未知數溝通已知和未知的關系，然后通過建立方程組求出未知數，最終解決問題的一種思想方法.這種方法在幾何類綜合題的解題過程中的運用非常廣泛.一般來說，能夠找到線段、角度之間等量關系的幾何問題都可以考慮運用方程法求解.

例2如圖2，AB是圓O的直徑，C是半圓上一點，圓C切AB于點D，交圓O于點E，F,連接EF交CD于點M.

圖2

求證：CM=MD.

證明：設CM=x，MD=y，延長CD交圓O于點G，交圓C于點H，如圖3所示.

圖3

由垂徑定理和切線性質，可得CD=DG.

由相交弦定理，可知

EM·MF=CM·MG=MD·MH.

即x(y+x+y)=y(x+x+y).

故x=y.

即CM=MD.

3 數形結合法

所謂數形結合法，就是同時運用數量關系和具體圖象性質解答問題的方法.在幾何類綜合題解題過程中，主要有以數化形或以形代數兩種解題思路.

圖4

解：由題意可得，線段BE，AE的長度隨內接正方形ABCD的位置的變化而變化.

由勾股定理,可得BE2+AE2=p2.

∵BF=AE,

∴BE2+BF2=p2.

又∵BE+BF=q,

∴BE2+BF2=(BE+BF)2-2BE·BF.

即p2=q2-2BE·BF.

又∵BE，BF>0，

4 化歸轉化法

化歸轉化法是指將需要解決的幾何問題轉化為學生已經學過的問題來解決的方法.這種方法可以化復雜為簡單，化抽象為具體，通過研究數學問題解決的本質進行轉化，最終解決問題.

例4如圖5，已知△ABC的面積為12，BC=6,BC上有一動點P,過點P作PD∥AB交AC于點D,連接PA,假設PB=x，當x為何值時，△PAD的面積有最大值？最大面積是多少？

圖5

分析：求S△PAD的最大值，首先根據公式得到關于x的具體表達式.由于△PAD中沒有與x有關聯的直接條件，故解題的關鍵在于找出△PAD與PB存在的間接關系，并列出關系式.通過觀察可以發現所求三角形面積S△PAD=S△ABC-S△ABP-S△PCD，因此本題可以轉化為以下思路求解：

(1)求S△ABP關于x的解析式；

(2)求S△PCD關于x的解析式；

(3)求S△PAD關于x的解析式；

(4)求SPAD有最大值的x的值，并求出面積的最大值.

解：(1)由S△ABC=12，BC=6，可得△ABC的BC邊上的高為4，則△ABP中BP邊上的高也為4，因此S△ABP=2x.

(2)由PD∥AB，可得△DPC∽△ABC.

(3)S△PAD=S△ABC-S△ABP-S△PCD

(4)當x-3=0，即x=3時，S△PAD有最大值，△PAD的面積的最大值是3.

例5如圖6所示，四邊形ABCD內接于圓O，AD=CD,AC交BD于點E.

圖6

求證：AD·CD-AE·EC=DE2.

分析：問題需要證明的等式左右兩邊形式不一致，解題時應考慮化簡較為復雜的一邊，故首先化簡等式的左邊.

要證明AD·CD-AE·EC=DE2，等價于證明

BD·DE-AE·EC=DE2.

移項可得BD·DE-DE2=AE·EC，即

DE(BD-DE)=AE·EC.

故等價于證明DE·BE=AE·EC.

顯然，運用相交弦定理很容易得到這一結論，因此這道題就能得到完整地解決.

總而言之，幾何類綜合題在中考試卷中所占分值不容忽視，教師應當歸納常見的解題策略以幫助學生靈活應對各種題型，最終提高學生數學學習能力與效率.