圓與“影子”結合的問題類型及解析

?甘肅省正寧縣茍仁九年制學校 袁金鋒

1 引言

“影子”是一種常見的物理現象，當不透明的物體受到陽光或光線的照射時，就會產生影子.近年來，“影子問題”經常出現在各級各類考試中，成為命題的一個新熱點.這類試題既貼近現實生活，又司空見慣，綜合考查了學生的數學應用意識、創新精神和解決實際問題的能力．

2 光線切圓成影

例1為了更好地學好數學，老師帶領學生到操場上進行數學活動．將一個圓形球體放在平整的水平地面上，在充足陽光的斜射下，得到球在陽光下的影子，同學們繪制出圖1所示的圖形，其中AB為球體在地面上的影子，平行光線CB，DA與球體相切，切點分別為H，G，經測量球在地面的影子AB=52.5 cm，光線與地面的夾角為45°，能否求出球體的直徑(精確到1 cm)？

圖1

分析：首先理解題意是解題的基礎，“平行光線CB，DA與球體相切，切點為H，G”，可知HG為球的直徑，也是圓的直徑．另外確定點A落在何處，是成功解題的關鍵.A點的位置不是圓O與地面相切的切點，而是DG的延長線與地面的交點.可通過構造直角三角形，將所求線段轉換到直角三角形中進行計算．

解：如圖2，過點A作AE⊥CB于點E.

圖2

因為DA，CB分別與圓相切于點G，H，所以GH的長為圓的直徑.

由圓切線的性質，可知GH⊥GA，GH⊥HE.

于是四邊形AEHG是矩形.所以，AE=GH.

在Rt△ABE中，AB=52.5，∠ABG=45°，所以AE=AB·sin∠ABE=52.5×sin 45°≈ 37(cm).

所以球的直徑是37 cm.

點評：體會現實生活中的實際問題，用數學的眼光去觀察生活，體會生活，運用數學知識去解釋、分析、解決實際問題，是數學服務生活的鮮明特征與宗旨．觀察生活，體會生活，還原生活是解決實際問題的依據和法寶．在教師的指導下開展數學活動無疑是很好的教學形式，具有廣泛的指導意義．

3 光線切隱圓成影

例2在一次數學興趣小組活動中，利用樹影測樹高．已知測出某一時刻太陽光線與地面成30°角，又測出樹OB的影子OA為24 m．

(1)求出樹高OB；

分析：第(1)問只需找出OA所在的直角三角形即可．第(2)問,實質是直線與圓相切的問題，即樹在倒下的過程中形成一條以點O為圓心，OB的長為半徑的圓弧，此時弧與太陽光線CD相切時影長最大．解題的關鍵在于根據實際生活背景轉化為數學問題.

解：(1)如圖3，太陽光線與地面成30°角，則∠A=30°；大樹與地面垂直，則∠AOC=90°.

圖3

(2)大樹從直立到倒下的這一過程，樹頂B的運動路徑是以點O為圓心，以OB的長為半徑作圓弧，如圖4，當太陽光線與圓弧相切時樹影最長．

圖4

假設大樹在傾斜倒下與平行光線相切時的切點為D，過點D作OC⊥OD交OA于C點.

由切線的性質得∠ODC=90°，由平行光線得∠OCD=30°.

在Rt△OCD中，OC=2OD=2×14=28(m).

答：樹高AB約為14 m；樹影有最長值，最長值約為28 m.

點評：在解題過程中，首先要了解問題的實際背景，明確事物的發生、發展過程，用動態思維把握實際問題．然后用數學語言抽象、簡化，將生活中的實際問題轉化為數學問題，再用所學數學知識與方法解決此數學問題，這時實際問題也就得以解決．

4 光線切圓的組合體成影

圖5

分析：因為“球體的高度與正方體的高度相同”，且底座為正方體，所以圓的直徑為正方形邊長，整個模具的高度就是圓直徑的兩倍，運用相似的性質求解再根據直線與圓相切，得到直角三角形，從而得以求解．

解：因為球體的高度與正方體的高度相同，底座為正方體，所以圓的直徑為正方形邊長.

根據對稱性知，正方形與圓的對稱中心的連線垂直于地面，如圖6.設點O為正方形的對稱中心，點P為圓的圓心，連接OP并兩向延長交MN，NQ的延長線于點E,F,易得EF⊥MN.

圖6

又知太陽光線在圓右側相切，設切點為Q，連接PQ．由切線的性質得PQ⊥NQ，設圓P的半徑為r.

因為太陽光線與地面的夾角成60°，則∠F等于30°.又PQ=r，由30°角的直角三角形得PF=2PQ=2r.

根據對稱性EM=r，那么EF的長為正方形的高度加上圓的半徑及PF的長，即EF=5r.

點評：解決本題的關鍵在于將實際問題抽象、簡化成數學問題，運用幾何的基本圖形、性質、定理，推理解答平面幾何問題．正如《義務教育數學課程標準》強調：“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷，將實際問題抽象成數學模型并解釋和運用的過程，讓學生在空間想象能力、思維能力等各方面得到進步和發展．”

5 部分影子在圓上

例4某中學數學興趣小組到戶外開展數學活動，發現廣場有一根旗桿AB和一規則的冬青圓球(冬青球和地面相切)，在太陽光的照射下，如圖7，旗桿的頂端A的影子恰好落在冬青球的最高處，而冬青球的影子剛好落在地面上一點E處，測得BO=16 m，OE=2.5 m，冬青球的直徑為2 m，EF=2米.求旗桿的高度.

圖7

分析：本題求旗桿AB的高度，將線段AB分成兩段HB和AH，HB即為圓的半徑長，但AH未知.根據圓的切線有垂直，過點G作GH⊥AB于H，發現有△AGH與△OEF相似，再根據相似三角形的對應邊成比例即可解決.本題有兩個誤區：(1)直接將BE當成AB的影子；(2)將線段OG的影子誤認為是OE.因此，仔細推敲影子的形成是解題關鍵．

解：如圖8，根據題意，FE與半圓相切于點F，連接OF，由切線的性質知∠OFE=90°.

圖8

過點G作GH⊥AB于H，則四邊形BOGH是矩形.

則BH=OG=2,BO=GH=16.

因為平行光線與水平面的夾角不變，則∠E=∠AGH.又∠OFE=∠AHG=90°，所以△AGH∽△OEF.

故旗桿的高度為14 m.

6 總結

綜上幾例，可以發現，解決圓與“影子”相結合的一類問題的關鍵：根據題意，分析“影子”是由實物的哪一部分形成的，體會“影子”的形成規律，如何將實際問題抽象、轉化為數學問題，清楚哪些是未知，要求什么；再運用直線與圓相切的性質或相似三角形的判定、性質等數學知識來推理解答.

在“雙減”背景下，如何減負提效是廣大教師共同研究的課題．對于數學解題教學，教師要精選習題.在某節課中，選擇同一類型的有代表性的習題，層層遞進，逐步展開．培養學生的數學運算、數學抽象和數學建模等核心素養，不斷提升學生的思維品質．