依“標”靠“本”重基礎 能力立意考素養
——淺析幾道中考數學試題的“根”與“源”

?瀘州市教育科學研究所 鄒倫富

1 引言

新的數學課程標準指出：數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的理性思維和創新能力方面的不可替代的作用.2016年9月，教育部發布了《關于進一步推進高中階段學校考試招生制度改革的指導意見》(以下簡稱《指導意見》).《指導意見》指出：要依據義務教育課程標準確定初中學業水平考試內容，提高命題質量，減少單純記憶、機械訓練性質的內容，增強與學生生活、社會實際的聯系，注重考查學生綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力.近年來，各省市初中學業水平考試和高中階段學校招生考試試題的命制按照《指導意見》精神，積極探究，涌現了不少緊密貼合課程標準，牢牢扎根教材，體現能力立意，素養導航的試題.下面淺析近幾年部分中考數學試題的“根”與“源”，供大家參考.

2 試題溯源

2.1植根教材正文

圖1

評析：人教版教材八年級下冊“勾股定理”一節中，介紹了運用“趙爽弦圖”證明勾股定理的基本思路，即通過對圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關系證明勾股定理.“趙爽弦圖”曾被作為2002年在北京召開的國際數學家大會的會徽.一般地，涉及“趙爽弦圖”的相關問題，需要弄清構成“趙爽弦圖”中的兩個正方形、四個直角三角形的邊角以及面積間的等量關系.“趙爽弦圖”溝通了代數與幾何的聯系，能夠完美地體現數形結合思想，由“趙爽弦圖”派生出的多種問題，對于考查學生的理性思維能力，提升核心素養具有較大的幫助，因此它備受各級命題者青睞.多年來，全國各省市州中考數學試題中，涉及“趙爽弦圖”的試題可以說不計其數，而且常考常新，值得我們關注.

圖2

2.2 源于閱讀與思考

評析：人教版教材八年級下冊第16頁閱讀與思考安排了閱讀素材“海倫-秦九韶公式”，通過對這段材料的閱讀，可以幫助學生了解已知三角形的三邊求其面積的方法和求三角形面積的數學歷史.本題將教材閱讀與思考欄目提供的素材加以改編，給出三角形的半周長和c邊的長，要求學生靈活使用公式，消元減參，轉化為二次函數的最值問題，主要考查學生的閱讀理解、數學運算能力，同時滲透了數學文化.

2.3 立足數學活動

圖3

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)已知F(x0,y0)為平面內一定點，M(m,n)為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標.

評析：本題的第(3)問實際上是已知拋物線的方程，在題設條件下求拋物線的焦點坐標，一般思路是運用勾股定理建立方程，再通過恒成立問題得出方程組，最后求出定點F的坐標.

人教版教材九年級上冊第54頁，在第二十二章學習結束之后安排了兩個數學活動，其中活動2要求學生在平面直角坐標系中探求拋物線的解析式，滲透了拋物線的定義、焦點、準線等.本題的第(3)問可以看作是對該數學活動的延伸與拓廣.

2.4 扎根實驗與探究

例4(2021重慶中考第9題)如圖4，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O作ON⊥OM，交CD于點N.若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為( ).

圖4

評析：本題源于人教版教材八年級下冊第十八章“平行四邊形”中的實驗與探究：

圖5

本題以教材中的實驗與探究為原型，適度改編和變形，給出四邊形MOND的面積，逆向求正方形的邊長.對于學生來講，試題來源于教材，面目親切，難度適中，體現了命題者考查學生數學素養，引導師生立足教材開展數學實驗與探究的良苦用心.

2.5 拓展教材習題

圖6

評析：本題源于人教版教材八年級下冊習題的拓廣探索“如圖7，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，求證：AE2+AD2=2AC2”.

圖7

本題以教材習題為原型，在原題設條件下，增加線段AE，AD的長度，求出兩個三角形重疊部分的面積.解決本題需要首先求出△ACB的邊長，再添加輔助線，發現∠ADB=90°，且CD平分∠ADB，求出CD分線段AB之比，進而解決問題.此題與教材習題相比，問題的深度和廣度都得到進一步的提升，對學生分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求.本題源于教材，高于教材，考查學生靈活運用所學知識解決問題的能力，并且具有一定的選撥功能，是一道改編于教材的較為成功的試題.

3 啟示與思考

啟示一：深入學習新課程標準，研讀教材，理解教材，弄清教材體系、體例和各個欄目的作用，認真體會編者的意圖是開展教學工作的前提，要用教材教，而不是教教材.在平常教學中，教師要注意引導學生用好教材，結合教材安排的閱讀素材、實驗與探索、數學活動等，指導學生開展數學閱讀、數學實驗、數學活動；適時安排一些具有針對性的研究性學習課題，對拓展學生的視野，提高分析問題、解決問題的能力，進而提升數學思維能力，培養學生數學核心素養，無疑具有較大的幫助.

啟示二：當前，一些學校數學教學中還存在著教學脫離課程標準和教材，盲目使用教輔資料的現象，教師忙于歸納各種題型和套路，學生忙于機械“刷題”，課堂教學容量過大，教學節奏過快；教學過程中，學生獨立思考、感悟、反思的時間不多，師生交流、碰撞、合作的機會較少；所用的資料和考題絕大多數來自于現成的出版物或者網絡，缺少改編、自編、原創試題，影響教學質量的進一步提升.因此，建議教師在教學中要認真揣摩課程標準，研究回歸教材的具體措施，增加整合、激活、落實教材的環節，細化對教材各個欄目作用的研究；鼓勵教師立足教材，積極開展改編、自編、原創試題的研究，形成具有校本特色的教材拓展資源，提升資料、試卷的針對性，切實提升學生的數學素養.