規律源自猜想 精彩源于變式 素養成于實踐
——以“兩條直線成為折線型平行線的條件”教學為例

?廣州市駿景中學 顧桂新

《義務教育數學課程標準》指出:學生通過義務教育階段的學習，經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理能力.猜想是獲得規律的方法，在觀察中獲得的特殊例子放到一般情況下看看是否也有這種可能性，即從特殊到一般.一題多解的變式教學可以激發學生的學習興趣和求知欲，向學生展示不同的思考過程，根據學生的最近發展區適當地拓展解題思路，從而讓學生主動學習，實現有意義地建構，也能使不同層次學生的數學思維能力都得到提高，這是數學教學中十分重要的一環.基于此，筆者根據人教版七年級下冊數學，執教了“兩條直線成為折線型平行線的條件”，從“特殊到一般”“一題多解”上下功夫，收獲良多.

1 從特殊到一般，以舊引新，大膽猜想，導出主題

學生已經學習過“平行線的判定方法”“平行線的性質定理”等知識，明確“角的數量關系”與“兩直線位置關系(平行)”之間是可以互推的.如何從這些舊知識出發，使學生想到，“兩條直線成為折線型平行線的條件”呢？

問題1我們知道平行線判定方法有四種.如圖1，AB，CD被BD所截，∠B，∠D滿足什么數量關系時，AB∥CD?

圖1

設計意圖：通過動態改變AB的位置，明確“∠B+∠D=180°”與“兩直線平行”可以互推，喚醒學生的知識儲備.

問題2如圖2，當點O在線段BD上運動時,猜一猜:若AB∥CD,則∠B+∠D與∠BOD須滿足什么數量關系?

圖2

設計意圖：通過增加點O，在兩個同旁內角基礎上增加了一個平角.當∠B+∠D=180°時，AB∥CD；而∠BOD=180°.從而引導學生得到當點O在線段BD上移動時，∠B+∠D與∠BOD須滿足某個數量關系，AB，CD方可以成為平行線.

問題3當點O從線段BD上移動到平面內任意位置，即變成折線型時，不妨研究點O向左移動時的情況.如圖3,猜一猜：∠B，∠D，∠BOD須滿足什么數量關系,才有AB∥CD?

圖3

設計意圖：在問題2的基礎上引出本節課主題“兩條直線成為折線型平行線的條件”，同時通過問題2的特殊情況，引導學生從“特殊到一般”探究規律的過程中，通過觀察，猜想三個角之間滿足什么數量關系，兩條直線能成為“折線型”平行線.

在問題3中，學生猜想三個角之間滿足∠B+∠D=∠BOD時,AB∥CD，即為兩條直線成為“折線型”平行線的條件.接下來證明猜想的正確性.

2 一題多解，突出思維之道

證明兩條直線平行的方法有多種，通常從“三線八角”的基本圖形中尋找同位角、內錯角、同旁內角等，運用平行公理或平行線判定定理解決.若沒有現成的“三線八角”，就需要構造，這是初中數學學習的難點.

問題4問題3猜想的證明如何通過添加輔助線來構造“三線八角”，找出解題路徑呢？

設計意圖：教師先引導學生構造同旁內角互補，證明兩直線平行，證法1作為例題加以講解；然后學生模仿證法1，由平行線的判定方法，從內錯角相等、同位角相等、平行公理等角度思考，添加輔助線解決問題.證法2～5是學生提出來的各種解法.

證法1：如圖4，連接BD，構造同旁內角互補，證明兩直線平行.

圖4

在△BOD中，∠2+∠3+∠BOD=180°.

又∵∠BOD=∠1+∠4，

∴∠2+∠3+∠1+∠4=180°.

∴∠ABD+∠BDC=180°.

∴AB∥CD.

證法2:如圖5，延長BO，與CD交于點E，構造內錯角相等，證明兩直線平行.

圖5

在△OED中，∠1+∠D=180°-∠DOE.

又∠BOD=180°-∠DOE，

∴∠1+∠D=∠BOD.

∵∠BOD=∠B+∠D，

∴∠1+∠D=∠B+∠D，即∠1=∠B.

∴AB∥CD.

證法3：如圖6，過點O作直線a∥AB，從平行公理的角度思考，構造中間量，由直線a∥AB知∠1=∠B.

圖6

∵∠BOD=∠1+∠2，

∠BOD=∠B+∠D.

∴∠1+∠2=∠B+∠D.

∴∠2=∠D.

∴a∥CD.

∴AB∥CD.

證法4：從將∠BOD拆解成兩個小角的角度思考.如圖7，作∠BOE=∠B，則OE∥AB.

圖7

∵∠BOD=∠BOE+∠DOE，∠BOD=∠B+∠D，

∴∠BOE+∠DOE=∠B+∠D.

∴∠DOE=∠D.

∴OE∥CD，

∴AB∥CD.

證法5:構造垂直，將AB，CD直接聯系起來.如圖8，過點O作AB的垂線，交AB于點E，交CD于點F，則∠BEO=90°，且∠1+∠B=90°.

圖8

∵∠1+∠2+∠BOD=180°，∠BOD=∠B+∠D，

∴∠1+∠2+∠B+∠D=180°.

∴∠2+∠D+90°=180°.

∴∠2+∠D=90°.

∴∠OFD=90°.

∴∠OFD+∠BEO=180°.

∴AB∥CD.

上述證法是學生通過猜測、嘗試，在教師指導下得出的證明方法.通過一題多解，啟發學生基于原有經驗，突破思維局限，創新探究思路，完成探索推理，概括獲得新知；通過一題多解，培養學生積極思考，勇于嘗試的精神.

3 歸納共性，揭示問題本質規律，觸類旁通

通過對問題3猜想的五種證法的學習，發現除了證法1外，其他的方法都是以點O為切入點，也就是所作的輔助線都與點O有關系，如過點O作平行、延長BO、過點O作垂直等，其目的是依據現有的圖形通過作輔助線，構造“三線八角”和三角形這兩種基本圖形，從而根據“三線八角”角度之間的數量關系與三角形內角和為180°進行等量代換，得到角的關系，最終證明兩直線平行，這是該研究的根本所在.

問題5剛才研究了點O向左運動的情況，那么當點O在平面內向其他方向運動時，還可以得到哪些不同的新圖形呢？對每種新圖形，∠B，∠D，∠BOD滿足什么數量關系時,AB∥CD？請證明你的猜想.

設計意圖：學生通過動手作圖、試驗，得到不同類型的兩條直線成為折線型平行線的圖形.如圖9所示，點O可以向右運動，向左上運動，向右上運動，等等.對于每一種圖形結論的猜想與證明，引導學生在課后根據自己的選擇，選取自己喜歡的方法完成，并體會運動變化中不變的規律.

圖9

4 結語

變式教學即通過不斷改變問題情境、問題條件，探索變化規律以及變化中的不變性質.在整個教與學的活動過程中，學生既要參與解題，更要參與數學思考，在思考的過程中去體會“變”與“不變”的辯證思想，體驗數學創造、數學探究與數學發現的過程.

通過變式教學，不僅改變了學生被動的學習方式，也大大開闊了教師的解題視野.教師不必再停留在繁忙的找題、做題、講題的題海戰術之中，而是可以更好地利用經典試題進行深度剖析，充分演變，揭示問題的本質規律，達成舉一反三、觸類旁通的教學效果．

本節變式教學課，從特殊到一般，給學生創造觀察、探究、猜想、歸納等學習機會，引導學生“從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構”,讓學生在活動中增強求知欲，凸顯學生學習的主體地位，克服學習中的思維定式.通過“一題多解”的變式教學，向學生展示不同的思考過程，根據學生的最近發展區適當地拓展解題思路，從而讓學生主動學習，實現有意義地建構，也能使不同層次學生的數學思維能力都能得到提高，這是數學教學中十分重要的一環.