基于模態局部化的耦合懸臂梁能量收集分析

胡帥釗，邵明玉，劉漢彪，張洪瑜，馬馳騁，李波

(山東理工大學 交通與車輛工程學院, 山東 淄博 255049)

生活中的振動能無處不在，如何通過特殊的能量收集器將振動能收集起來轉化為其他能量為人類所利用是當前的一個研究熱點。壓電能量收集方式具有綠色環保、投入成本低、適應環境能力強等優點。隨著國內外對能量收集技術的研究，壓電收集技術被社會所重視并深入研究，現在已經成為能量收集領域的熱門對象之一。振動能收集的方式可分為三種：電磁式、壓電式和靜電式。

國外關于壓電能量收集技術的研究開展較早，已經取得豐富的研究成果。Ajitsaria等[1]建立了雙晶型壓電懸臂梁的動力學模型，分析了結構的能量收集效率，表明該結構可以提供傳感器和數據傳輸的充足電力。Shi等[2]基于多項式形式的應力函數和歸納函數，分析了不同載荷作用對功能梯度壓電懸臂梁能量收集的影響。Izadgoshasb等[3]進行了壓電懸臂梁的實際應用，采用理論集中模型把實驗測量的加速度作為輸入數據預測電壓輸出。Johnson等[4]設計出微變形的壓電懸臂梁，將小振幅機械振動轉換為可用于低功耗電子設備的能源。Zhao等[5]基于有限元方法設計壓電懸臂梁，進行了低頻振動實驗設計和性能分析，結果表明低頻條件對能量收集效率有所提高。Lin等[6]提出了一種耦合壓電效應的瞬時最優閉環控制算法，進行了自適應控制分析，分析了兩者之間的耦合作用。Bonello等[7]基于能量捕獲光束的替代建模原理，提出了一種雙晶型能量收集結構。

國內關于壓電能量收集技術的研究開展稍晚，但是近年來取得了豐碩的研究成果和應用產品。李彬[8]進行了低頻寬頻帶壓電振動能量收集研究，設計出能在低頻、寬頻帶條件下高效收集振動能量的六階折疊懸臂梁壓電收集器。劉紅俊[9]基于壓電效應原理建立相應的數學模型和有限元分析模型，旨在優化和改善低頻換能器結構，增加工作振動頻率帶寬，提高輸出響應性能。于斌[10]研究低頻驅動懸臂梁振動能量收集器，設計出低頻驅動懸臂梁能量收集器實物，并對采集器進行了物理測試。費立凱[11]基于電站低頻環境影響，設計和分析壓電振動懸臂梁結構，通過結構理論分析確定出合適的模型。楊炯炯[12]將非線性彈簧與傳統的雙穩態壓電式俘能系統相結合，提出了含非線性彈簧的雙穩態壓電式振動俘能裝置，從而達到更好的動力學輸出響應。查宏[13]進行了壓氣機離心葉輪錯頻葉盤結構的模態和振動響應分析,比較了不同模態局部化下葉輪的模態振型和強迫振動響應幅值。洪婧[14]基于模態局部化的四耦合懸臂梁質量感知方法，確定了最優耦合因子。李曉東[15]基于模態局部化的耦合懸臂梁質敏機理，建立了耦合懸臂梁結構的彈簧-質量-阻尼模型，分析了系統的模態局部化振動特性，提出了外界擾動對系統諧振特性的作用機制。學者側重對低頻帶環境以及能量收集器的外形研究，很少考慮模態局部化對系統的影響，模態局部化能夠改變系統的固有頻率，降低制作成本。針對研究結構的不足，為了提高能量采集的實用性，本文提出基于模態局部化的耦合壓電懸臂梁的設計，以降低壓電振動能量收集器的固有頻率，提高能量收集效率。

1 數學方程

基于模態局部化的原理，本文采用圖1所示的結構進行能量收集研究，該結構由兩個懸臂梁通過中間部分彈性連接，兩個懸臂梁的長度分別為a+d、a+d-δ，厚度為h，彈性模量為E,密度為ρ，中間的連接長度為c。

圖1 機械式耦合懸臂梁簡化力學模型

對于圖1所示的系統，根據簡化力學模型，其彈性變形能V和動能T可以通過Euler-Bernoulli梁理論得到：

(1)

(2)

式中：Kc為耦合剛度；w1為左懸臂梁的撓度；w2為右懸臂梁的撓度；Ib為橫截面對中性軸的慣性矩；A為橫截面的面積。

(3)

為求解微分方程(3)，需要施加必要的邊界條件，由于梁結構為懸臂梁，因此對于梁I和梁II，邊界條件為：

(4)

(5)

根據模態疊加法(mode superposition method，簡稱MSM)，式(1)的解可以表示為模態組合的形式，即

(6)

式中：n表示模態階數；qi(t)為廣義坐標；φi(x,t)為瞬時模態。

機械式耦合懸臂梁的左、右梁均采用等截面的類型。其邊界條件滿足一端固定，另一端自由振動，因此可以用等截面橫向振動頻率方程進行求解。等截面橫向振動頻率計算式為：

cos(βl)ch(βl)=-1，

(7)

Yi(x)=Ci[cos(βix)-ch(βix)+

ri(sin(βix)-sh(βix))]，

(8)

ri=(sin(βil)-sh(βil))/(cos(βil)+

ch(βil))，

(9)

式中：Ci代表常數；βl為等截面梁頻率方程的根；l為懸臂梁的梁長。

通過定積分求出與固有頻率相關的系數，定積分為：

(10)

(11)

(12)

(13)

通過Galerkin方法可以得到變質量梁系統的振動控制方程：

(14)

(15)

(16)

當僅考慮梁I和梁II的第一階振型時，系統的質量矩陣和剛度矩陣為：

(17)

采用Rayleigh比例阻尼形式，C=αM+βΚ， 則阻尼矩陣為

(18)

首先計算結構的無阻尼頻率，簡化后的模型如圖2所示，其中M1代表左懸臂梁，M2代表右懸臂梁；K1代表左懸臂梁的剛度系數，K2代表右懸臂梁的剛度系數，二者之間的連接可以看成剛度系數為Kc的彈簧連接；左右兩端進行固定。

圖2 簡化后的懸臂梁模型

將式(10)—式(13)的計算結果代入式(14)，可以得出質量矩陣M和剛度矩陣K，然后通過MATLAB軟件進行編程求(M,K)的特征值，進而求得只含Kc的結果。

取鋁合金懸臂梁，其梁長為0.2 m，橫截面積A=0.002×0.025 m2為例，通過理論公式的推導計算，求出該懸臂梁的第一、二階固有頻率分別為41.1、257.7 Hz。通過軟件仿真結果分別為41.2、259.9 Hz。理論公式推導的計算結果與ANSYS仿真結果非常接近，這說明了推導公式的正確性，為后續實驗驗證提供了理論依據。

2 模型設計

通過文獻閱讀，在壓電式振動能量收集器的研究成果中，降低諧振頻率或者提升帶寬是提高壓電能量收集器能量收集效率的關鍵因素。本文設計不同尺寸的矩形壓電懸臂梁，仿真與實驗分析輸出響應的影響因素。

2.1 能量收集器的整體結構

能量收集器的整體設計分為4個步驟，分別為建模分析、仿真實驗、實物制作和實驗驗證。本文設計的壓電懸臂梁能量收集器主要由3部分組成：鋁合金懸臂梁，靠黏液粘貼的壓電片和2根電路導線。壓電片比較薄，在設計的同時，還要保證壓電片不被破壞，因此選擇硬度相對較弱的懸臂梁。壓電片的厚度為0.5 mm，長和寬分別為4 cm和2 cm。結構示意如圖3所示。紅色部分表示懸臂梁，藍色部分表示壓電片，鋁合金懸臂梁由2個懸臂梁左右耦合而成，左端黑色部分表示約束，也就是說整體能量收集器被固定。采用激振器不斷地給系統提供的激振力，使得系統發生振動，從而達到收集能量獲得電能的目的。為了獲得較大的能量輸出效應應將壓電片粘貼在懸臂梁的根部。

圖3 壓電懸臂梁的結構圖

2.2 壓電懸臂梁的仿真分析

利用ANSYSAPDL軟件對壓電懸臂梁進行仿真分析，其有限元分析的具體過程分為4個階段，分別為制作壓電懸臂梁、建立幾何模型、有限元模型模態分析、獲得結果。通過設置尺寸和坐標對壓電懸臂梁進行有限元建模，為了縮短建模時間和改變尺寸時方便建模，后續采用命令流的方式進行建模。建立的實體模型如圖4所示。

圖4 懸臂梁的實體建模

本文共設計9組懸臂梁模型，先對其中1個模型進行仿真。壓電懸臂梁的俯視圖如圖5所示。

圖5 懸臂梁模型的俯視圖

耦合剛度Kc不能直接獲取。通過模態疊加法計算出單懸臂梁的剛度矩陣和質量矩陣，耦合懸臂梁由左、右懸臂梁以及彈簧耦合組成，通過振動微分方程列出含耦合剛度Kc的運動方程，將ANSYSAPDL仿真結果與理論結果進行對比進而求出Kc，得到Kc隨d的變化曲線如圖6所示。左、右懸臂梁可以看成由一個彈簧連接，這個彈簧的剛度系數為Kc，耦合長度為d，當d從10 mm變化到20 mm時，Kc從40.8變化至10.1，從而可以得出隨著d的增加，Kc呈減小趨勢。

圖6 耦合剛度與耦合部分長度的關系曲線

利用ANSYSAPDL軟件對建模后的模型進行網格劃分。為研究壓電懸臂梁能量收集效率的影響因素，本文設計不同尺寸的懸臂梁。為使研究更有說服力和針對性，設計出只改變左右懸臂梁長度的不同規格懸臂梁。模型序號為1—9，表1、表2為不同尺寸d的壓電懸臂梁的前兩階固有頻率。

表1 d=10 mm時壓電懸臂梁的前兩階固有頻率

表2 d=20 mm時壓電懸臂梁的前兩階固有頻率

由表1、表2可知，當d=10、20 mm，懸臂梁按不同的方式固定，系統會出現不同的固有頻率。隨著右懸臂梁的長度逐漸增加，壓電懸臂梁的前二階固有頻率均逐漸減小。此時，壓電材料發生正壓電效應的能力逐漸變強，能量收集效率也會逐漸提高。系統的固有頻率與耦合長度也有聯系。隨著d的增大，系統的固有頻率呈現降低的趨勢，不同類型的壓電懸臂梁都有效地將前二階固有共振頻率控制在30～40 Hz范圍內，這意味壓電懸臂梁滿足在低頻環境中供電的條件，適當改變懸臂梁的梁長，系統的諧振頻率也會發生改變。因此根據實際環境中的自然振動頻率，有效改變懸臂梁的長度，可以有效地提高能量收集器的收集效率。

3 壓電懸臂梁的實驗測試

3.1 振動能量收集器的制作

振動能量收集器制作由4個部分組成，分別為制作壓電懸臂梁、壓電片的粘結、引出電極以及壓電片尺寸的選擇。

3.2 實驗測試和結果分析

主要設備有HVP-1070B功率放大器、DG1032信號發生器、激振臺、示波器和電源，實驗平臺示意如圖7所示。整個實驗平臺的工作原理是：打開電源，信號發生器輸出正弦波信號，該信號被傳遞給功率放大器；功率放大器將收到的信號通過驅動信號傳遞給激振器，從而激振器為壓電懸臂梁提供持續激勵；示波器測出能量收集器的輸出電壓與時間的關系曲線，并以Excel的形式導出數據。

圖7 實驗平臺

仿真、理論計算與實驗測試系統固有頻率與懸臂梁尺寸的關系曲線如圖8所示。由圖8可知，懸臂梁長度的差值從-8 mm變化為8 mm且耦合長度為10 mm時，能量收集器系統的第一階固有頻率從38.92 Hz下降到36.90 Hz，系統的第二階固有頻率從43.13 Hz下降為41.21 Hz;耦合長度為20 mm時，系統的第一階固有頻率從34.04 Hz下降到31.04 Hz，系統的第二階固有頻率從41.94 Hz下降到38.89 Hz。從變化結果可以得出改變懸臂梁的梁長范圍，可以有效降低系統的振動頻率，從而有效提高能量收集效率。仿真與實驗結果在誤差范圍以內，這證明了實驗的準確性。

(a)耦合長度10 mm

通過示波器測出振動能量收集器的電壓，繪制在d=20 mm時壓電懸臂梁的電壓隨時間變化關系曲線如圖9所示。激振器為系統提高基礎激勵，隨著時間不斷變長，系統所提供的外界激振頻率不段增加，壓電懸臂梁發生的形變不斷增加，當外界激振頻率與系統的諧振頻率相等時，系統發生共振，壓電懸臂梁達到最大的形變，從而系統發出最大的電壓。因為不同模型的懸臂梁長度差值不同，導致了系統的固有頻率也不盡相同，系統達到共振要求也不同，適當改變系統的諧振頻率，系統更容易達到共振，從而壓電懸臂梁發生最大形變，為系統提高最大的電壓，進而提高系統的能量收集效率。將示波器測定的電壓與時間關系經過傅里葉變換得到圖10。懸臂梁左右梁長度差值的變化，影響系統的固有頻率，當給系統提供基礎激勵時，因其固有頻率不同，壓電懸臂梁發生的形變也存在差異，形變的大小影響系統的電壓輸出。如果在一定的基礎激勵下，系統所需要的固有頻率越低，那么系統越容易達到要求，越能盡快地達到最大形變，進而提供最大的電壓輸出，從而提高能量收集效率。由圖10可知，振動能量收集器的固有頻率與懸臂梁的長度差值呈負相關關系，固有頻率低的懸臂梁，對外界激振頻率要求低，更有利于能量收集。系統中首先是主懸臂梁發生共振，然后耦合懸臂梁發生共振。因此能量收集效率和輸出電壓不僅受懸臂梁尺寸的影響，還和壓電懸臂梁所固定的位置有關。

(a)右、左梁長度差值-8 mm，耦合長度20 mm

圖10 傅里葉變換圖

圖11為圖9所示5組模型的電壓與功率對比圖。當系統發生共振時，耦合懸臂梁發生最大的形變，系統得到最大的電壓和功率。從圖11可知，改變懸臂梁的左右懸臂梁長度，從而減小系統的固有頻率，增大壓電懸臂梁的最大形變，系統的電壓和功率得到了有效提高。

圖11 5組模型電壓與功率對比圖

4 結論

本文設計不同尺寸的壓電懸臂梁，通過ANSYSAPDL軟件對振動能收集器進行仿真，根據仿真結果制作9組壓電懸臂梁能量收集器實物樣機，并針對其輸出電壓、固有頻率及能量收集效率進行了實驗與仿真。實驗結果與仿真結果相互佐證。分析了影響壓電懸臂梁能量收集器能量收集效率的因素，得出以下結論。

1)壓電懸臂梁振動能量收集器的固有頻率與懸臂梁的尺寸呈負相關關系，實驗結果與仿真結果顯示，當改變懸臂梁的尺寸時，系統的固有頻率會發生改變，為了讓能量收集器適應工作環境，因此根據周圍振動環境的振動頻率，制作出符合環境要求的能量收集器，提高振動能量收集器的能量收集效率。

2)本文所設計的9種壓電懸臂梁在保證輸出功率的前提下能夠在低頻環境下收集振動能量。從實驗結果來看振動能量收集器的特征頻率大約在33～40 Hz之間，這表明了該振動能量收集器能夠在較寬的頻帶中進行工作，基于模態局部化的耦合懸臂梁可以提高系統的共振頻率頻寬，提高收集能量的效率。