助力探究 揭示本質
——“用二分法求方程的近似解”教學實錄與反思

張國良 (江蘇省武進高級中學 213149)

1 基本情況

1.1 授課對象

高一學生已初步理解了函數圖象與方程解之間的關系，具備用數形結合解決數學問題的能力，這為理解函數零點附近的函數值符號提供了知識儲備．雖然學生熟悉一元二次方程解與函數零點的關系，但對于一元高次方程、超越方程與對應函數零點之間的聯系還比較模糊．另外，學生對計算器的使用不夠熟練，這些都給學生學習本節內容造成一定困難．

1.2 教材分析

本節課是《普通高中教科書·數學》(蘇教版)必修第一冊第8章“8.1二分法求方程近似解”第2課時，要求學生能夠借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解，從中體會函數與方程之間的聯系．用二分法求方程的近似解既是本冊書中的內容，又是對函數知識的拓展，既體現了函數在解方程中的重要應用，同時又滲透函數與方程、數形結合、轉化與化歸的數學思想，培養學生的圖形能力、判斷能力以及利用現代信息技術解決問題的能力．

教學目標 (1)能夠借助計算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；(2)掌握用二分法求方程近似解的操作流程，感受信息技術的優越性；(3)通過探究活動，體會數學的“逼近”思想，感受精確與近似的相對統一．

教學重點 利用二分法求方程的近似解．

教學難點 二分法求方程近似解的操作流程．

2 教學過程

2.1 情境體驗，感受思想

師：同學們，讓我們先做一個猜數游戲．

計算機隨機給定10～90之間的二位整數，讓學生猜這個數，對于每次猜測的結果，計算機的提示是“對了”或“大了”或“小了”(圖1)．

圖1

2.2 師生討論，理解感悟

師：只要給出一個不超出該范圍的整數，采用正確的方法，都可以在7次以內猜中，你們是否可以做到？

師：為什么采用正確的方法，7次以內一定能猜中？

學生討論并回答．

師：上述猜數游戲中，每次猜數都將所給區間一分為二，進行比較后得到新的區間，再一分為二，進而使得所猜數逐步逼近計算機給出的數，這種思想就是二分法．

師：在游戲活動中我們也能學到很多知識，下面請同學們再舉例說明二分法的一些應用．

生：輸電線路的故障檢測等．

師：我們今天就來一起研究用二分法求方程的近似解．

揭題 用二分法求方程的近似解．

師：前面我們已經學習了一元二次方程實數解的有關問題，如方程x2+3x-1=0有兩個不相等的實數解，那么你能知道方程x3+3x-1=0的實數解的情況嗎？近似解呢？

2.3 活動探究，課堂建構

師：請同學們對這個三次方程的實數解提出一些問題．

生1：該方程有無實數解？

生2：該方程若有實數解，有幾個？

生3：這個實數解大概是多少？

生4：函數y=x3+3x-1的圖象是怎么樣的？

生5：如何獲得方程x3+3x-1=0的近似解？

……

引導學生思考：還可以通過函數的單調性知道該方程只有一個實數解．

師：這個實數解在區間(0,1)內，能否更精確些？

記f(x)=x3+3x-1，設方程x3+3x-1=0的實數解為x0，則x0∈(0,1)．

第一次：f(0)<0,f(0.5)>0

第二次：f(0.25)<0,f(0.5)>0

第三次：f(0.25)<0,f(0.375)>0

第四次：f(0.312 5)<0,f(0.375)>0

第五次：f(0.312 5)<0,f(0.343 75)>0

第六次：f(0.312 5)<0,f(0.328 125)>0

第七次：f(0.320 312 5)<0,f(0.328 125)>0

第八次：f(0.320 312 5)<0,f(0.324 218 75)>0

讓學生展示自己的解決策略，師生共同完成前三次的計算，組織同桌的兩位學生合作，一人計算，一人記錄，完成后面的計算過程，并展示學 生的成果．在此過程中教師借助幾何畫板顯示這個實數解的范圍逐步縮小，直觀形象地體現出二分法的思想(圖2)．通過這種活動來創造探究 機會，促進學生主動探究，并注重學生參與、探究的實效，在提出問題、建構數學、解決問題方面進行有意識的引導，培養學生的合作精神與協作能力．

圖2

師：若精確到0.1呢？算幾次就可以了？

師：若精確到0.01呢？

由學生討論并總結得出：欲近似到0.1，由兩個端點近似值都為0.3，則x0=0.3；欲近似到0.01，由兩個端點近似值都為0.32，則x0=0.32．

通過上述解題過程，結合幾何畫板，形象地給出一段區間，不斷地取一半，并表明每一段的兩個端點的符號．

師生討論：(1)精確度如何達到？二分的次數如何確定？有無規律？(2)使用二分法有無前提條件？(3)二分法的一般思路和操作流程是什么？

2.4 鞏固反饋，總結提煉

利用計算器，求方程lgx=3-x的一個近似解．(精確到0.1)

小組合作，一人計算，一人記錄，完成后通過投影展示學生的研究成果．

通過學生思考并用自己的語言把二分法的解題過程表達出來，并展示學生的成果，讓學生共同評價和完善補充．

生：二分法求方程的近似解就是每次都取區間的中點，將區間一分為二，再經比較，按需要留下其中一個小區間的方法，其實質是不斷把函數零點所在的區間逐步縮小，使區間兩個端點逐步逼近零點，進而得到函數零點近似值．

師：大家一起來完善用二分法求方程的近似解的操作流程．

用二分法求方程的近似解的操作流程如圖3所示．

圖3

2.5 體驗交流，練習拓展

請學生談談利用二分法求方程近似解的一些體驗，并進行交流．例如：

(1)近似計算高中階段較少遇到，用二分法求方程的近似解是數學嚴謹而科學的體現．

(2)無限逼近的思想是高中數學重要的思想方法，如我國古代數學家劉徽用割圓術計算圓周率π也正是用無限逼近的思想．

(3)操作流程是一種算法思想．算法是數學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎，通過本堂課讓學生感受到程序化思想，體會算法思想在解決問題和培養理性思維中的意義和作用．算法思想已經成為現代人應具備的一種不可或缺的重要數學素養．

師：利用計算器，求方程10x=3-x的一個近似解．(精確到0.1)

師：結合上述方程lgx=3-x，你能得到什么結論？

借助幾何畫板作圖，幫助學生獲得y=10x與y=lgx的關于直線y=x的對稱關系，從而獲得這兩個方程的實數解的和為定值3．

·鞏固練習

下列函數圖象中，不能用二分法求函數零點的是( )．

利用以上圖象，指出對于連續函數f(x)滿足f(a)f(b)<0，則函數在(a,b)上至少有一個零點；但f(a)f(b)>0，卻不能得出函數在(a,b)上一定沒有零點．

·課后拓展

師：同學們有無其他方法求方程的近似解．

提示：如秦九韶法、迭代法等．

3 回顧反思

3.1 教學效果

利用信息技術與課程整合，動態圖象的演示，激發學生學習興趣、激活學生思維，掌握二分法的本質，較好地完成了教學目標．

3.2 教學反思

本節課通過猜數游戲創設情境，不僅激發了學生的學習興趣，學生也在猜數過程中初步感受二分法的思想．利用幾何畫板求方程近似解的動態效果，優勢有三：

(1)動態逼近

幾何畫板能動態展示零點所在的區間，直觀地體現“逼近”的過程，動態變化過程清晰明了，這樣有利于突破傳統教學的難點，幫助學生揭示數學本質，提高了探究活動的有效性，充分體現了信息技術與數學課程的有機整合．

(2)形象直觀

在教師的引導下，學生也可以觀察圖形、猜測并驗證，在觀察、探索、發現的過程中增強對函數零點的感性認識，形成豐厚的經驗背景，從而更有助于理解．

(3)操作簡單

借助幾何畫板可實時作出函數圖象，一切操作都只靠工具欄和菜單實現，隱藏、顯示可以反復操作．

本節課由學生自主提出一些問題，主動探究，總結體驗探究過程，從而獲得方法，體驗到成功的樂趣．學生只有通過自主探究、創造性運用知識、合作交流才能完成相關課題，這將促進學生學習方式發生轉變，由被動接受、死記硬背、機械訓練變為自主探究、注重過程、合作交流，有利于提升學生的數學核心素養．