著力方法探究 促進(jìn)思維進(jìn)階
——一道中考幾何作圖題的解法探索與思考

楊牛扣 (江蘇省泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué) 225500)

2022年泰州市中考數(shù)學(xué)第25題第(2)小題是一道尺規(guī)作圖題，題目雖小，但很精辟，起點(diǎn)低、入口寬，在原有知識(shí)基礎(chǔ)上考出了新高度.該題融入了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想方法，要求學(xué)生有一定的分析推理、邏輯思維能力，體現(xiàn)了從考查知識(shí)到考查能力和素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變，可以深挖，擴(kuò)大教學(xué)價(jià)值．

1 試題呈現(xiàn)

(2022年江蘇省泰州市中考第25題)已知在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)．

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E．若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)．

圖1 圖2 圖3

(2)在圖2中，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F，使∠DFA=∠A．(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(3)如圖3，點(diǎn)F在AC邊上，連結(jié)BF,DF．

本文主要研究第(2)題尺規(guī)作圖．

2 新課標(biāo)視角下的幾何作圖題解讀

2.1 以生為本，遞進(jìn)式構(gòu)建問(wèn)題鏈

本題是試卷的倒數(shù)第二題，應(yīng)該有一定的難度，但該題從學(xué)生的角度出發(fā)，設(shè)置了三個(gè)梯度明顯的問(wèn)題，遞進(jìn)式引導(dǎo)學(xué)生分步解決，減輕了學(xué)生的恐懼心理，提升了信心．第(1)題是起點(diǎn)低的基礎(chǔ)題，由DE∥AB，得到△DEC∽△ABC，從而直接可得DE=2；第(2)題尺規(guī)作圖，有多種解法；第(3)題考查直線與圓的位置關(guān)系，需借鑒第(2)題的思路分析，利用面積關(guān)系和平行關(guān)聯(lián)出相似，進(jìn)而進(jìn)一步求解．所以第(2)題是解決本題的關(guān)鍵，承上啟下．第(2)題的基本思路是作一個(gè)角等于已知角，平時(shí)的畫法是先畫一條射線，以射線的端點(diǎn)為待定角的頂點(diǎn)，再作出與已知角相等的角．而本題考出了新花樣，角的頂點(diǎn)是待確定的點(diǎn)，直接用尺規(guī)作圖顯然難以完成．因此，必須要轉(zhuǎn)移，但怎么轉(zhuǎn)移、依據(jù)什么方法轉(zhuǎn)移，是本題思維進(jìn)階的精彩之處．

2.2 基于課標(biāo)，動(dòng)靜中凸顯素養(yǎng)觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提高了尺規(guī)作圖的教學(xué)要求：讓學(xué)生在經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過(guò)程中，增強(qiáng)動(dòng)手能力的同時(shí)，更加注重作圖原理的探尋、空間觀念和邏輯思維的發(fā)展．本題以尺規(guī)作圖為背景，關(guān)注方法探究，設(shè)置思維生長(zhǎng)路徑．從第(2)題開始，為學(xué)生的思考留白，聚焦初中數(shù)學(xué)相似、等腰三角形、直角三角形、圓等核心知識(shí)，將知識(shí)、方法和能力以及數(shù)學(xué)的素養(yǎng)融為一體，有較好的區(qū)分度、信度和效度，要求學(xué)生動(dòng)手畫(草圖與尺規(guī)作圖相結(jié)合)和動(dòng)腦想(直觀思考與邏輯推理相結(jié)合)，在數(shù)形結(jié)合、動(dòng)(畫圖)靜(思考)交替中凸顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

3 解法賞析

五種基本作圖是尺規(guī)作圖的精華，是解決復(fù)雜尺規(guī)作圖問(wèn)題的基礎(chǔ)[1]．面對(duì)相對(duì)復(fù)雜的幾何作圖問(wèn)題，找到作圖的思路是難點(diǎn)，常用的方法是“畫一畫、試一試、證一證”，即以結(jié)論推條件，先假設(shè)已作好，畫出草圖，然后借助幾何直觀進(jìn)行邏輯分析，探索出作圖方法，最后通過(guò)演繹推理再加以驗(yàn)證．

思路1構(gòu)造平行和等腰三角形(梯形)轉(zhuǎn)移角．

畫法1 如圖4，以D為頂點(diǎn)，作∠CDE=∠B，交AC邊于點(diǎn)E，則有DE∥AB；再以點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC邊于點(diǎn)F，進(jìn)而得到∠DFA=∠A．所以點(diǎn)F即為所求．

圖4 圖5

畫法2 如圖5，以點(diǎn)B為圓心、BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則有∠BEA=∠BAE；再以D為頂點(diǎn)，作∠CDF=∠EBC，交AC邊于點(diǎn)F，則有DF∥BE，進(jìn)而得到∠DFA=∠BAC．所以點(diǎn)F即為所求．

評(píng)析平行線和等腰三角形是幾何題中轉(zhuǎn)移角最常見的模型.畫法1依據(jù)第(1)題順勢(shì)而得，是最直接的思路，先依據(jù)確定的頂點(diǎn)D，作出一個(gè)等角，構(gòu)造平行的特殊位置關(guān)系，將∠A“平行”轉(zhuǎn)移至以E為頂點(diǎn)的角，再利用等腰三角形，將∠A“方向”轉(zhuǎn)移，進(jìn)而求解．畫法2與畫法1的思維路徑一致，只是轉(zhuǎn)移順序相反．

畫法3 如圖6，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，作∠BDE=∠C，交AB邊于點(diǎn)E，則有DE∥AC；再以D為頂點(diǎn)，作∠EDF=∠AED，交AC邊于點(diǎn)F，進(jìn)而得到∠DFA=∠A．所以點(diǎn)F即為所求．

圖6 圖7

畫法4 如圖7，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，作∠BDE=∠C，交AB邊于點(diǎn)E，則有DE∥AC；再作線段DE的垂直平分線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連結(jié)DP交AC邊于點(diǎn)F，進(jìn)而得到∠DFA=∠BAC．所以點(diǎn)F即為所求．

評(píng)析抓住∠DFA=∠A具有公共邊的特點(diǎn)，在畫法1、2的基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)換角度，構(gòu)造以公共邊為一邊的對(duì)應(yīng)外角，依據(jù)等角的補(bǔ)角相等，自然形成畫法3，只不過(guò)，此種畫法要求學(xué)生要對(duì)等腰梯形的性質(zhì)有所了解；若對(duì)上述性質(zhì)不了解，可再利用平行轉(zhuǎn)移角，由相等的角關(guān)聯(lián)到相等的邊，從而形成作線段DE中垂線的思路(畫法4)．

思路2構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)移角．

畫法5 如圖8，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，作∠ACE=∠ACB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；再以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，作∠CDF=∠CEA，交AC邊于點(diǎn)F，進(jìn)而得到∠DFA=∠BAC．所以點(diǎn)F即為所求．

圖8 圖9

畫法6 如圖9，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，作∠BAE=∠C，交BC邊于點(diǎn)E；再以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，作∠CDF=∠CAE，交AC邊于點(diǎn)F，進(jìn)而得到∠DFA=∠BAC．所以點(diǎn)F即為所求．

評(píng)析受思路1的啟發(fā)，繼續(xù)以尋找相等的角為突破口，不難關(guān)聯(lián)出∠DFA的另一個(gè)外角∠DFC，畫出草圖，由不確定到確定，自然聯(lián)想到相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等.畫法5是向外作相等的角，畫法6是向內(nèi)作相等的角，分解∠A．

思路3構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)移角．

畫法7 如圖10，過(guò)B,D兩點(diǎn)分別作AC邊及所在直線的垂線，垂足分別為M,N；再以D為頂點(diǎn)，作∠NDF=∠MBA，交AC邊于點(diǎn)F，進(jìn)而可得∠DFA=∠BAC．所以點(diǎn)F即為所求．

圖10 圖11

畫法8 如圖11，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，作∠CBQ=∠C，則有BQ∥AC；分別過(guò)A,D兩點(diǎn)作射線BQ的垂線，垂足分別為M,N；再過(guò)點(diǎn)D作∠NDE=∠BAM，交BQ于點(diǎn)E，延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)F，進(jìn)而可得∠DFA=∠BAC．所以點(diǎn)F即為所求．

評(píng)析依據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，在思路2相似三角形轉(zhuǎn)移角的思路啟發(fā)下，可以多點(diǎn)開花，構(gòu)造特殊三角形(直角三角形)轉(zhuǎn)移角．畫法8只是極少部分學(xué)生的畫法，其實(shí)質(zhì)是畫法7的延伸，換了一個(gè)作垂直的方式，但體現(xiàn)了靈活的思路和扎實(shí)的基本功，以及良好的解題素養(yǎng)．

4 教學(xué)導(dǎo)向

4.1 關(guān)注新課標(biāo)，正確引導(dǎo)幾何作圖的教與學(xué)

新課標(biāo)的新要求是我們教學(xué)的內(nèi)容和方向．細(xì)化到平時(shí)的尺規(guī)作圖教學(xué)中，既要夯實(shí)基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)五種基本作圖的畫法，更要注重基本圖形和幾何直觀的重要性，引導(dǎo)學(xué)生探索作圖的方法，培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維(包括直接思維、發(fā)散思維、聯(lián)想思維)和直觀想象力、邏輯推理能力[2]．

本題的精彩之處在于一環(huán)套一環(huán)，先由基礎(chǔ)的相似求線段長(zhǎng)，再以作一個(gè)角等于已知角的基本作圖為切入點(diǎn)，最后關(guān)聯(lián)應(yīng)用．盡管第(3)問(wèn)有些難度，但整個(gè)題目的靈魂在第(2)問(wèn)，借助于尺規(guī)作圖，要求學(xué)生利用幾何知識(shí)加以解決，這是教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探究幾何作圖的常用路徑．

4.2 聚焦生長(zhǎng)性，深入探究尺規(guī)作圖的本質(zhì)特征

如何確定點(diǎn)F是本題的突破點(diǎn)，如果只是簡(jiǎn)單地從尺規(guī)作圖的角度去思考，就會(huì)很難找．解決尺規(guī)作圖問(wèn)題的基本思路是“倒過(guò)來(lái)想”，面對(duì)“∠DFA=∠A”的原始問(wèn)題，先假設(shè)這一點(diǎn)已存在，然后畫草圖分析，用幾何的知識(shí)分析推理；有了思路，再細(xì)化分解成若干基本作圖.這就要求學(xué)生能跳出尺規(guī)作圖看尺規(guī)作圖，不能僅單純地記住尺規(guī)作圖的畫法，要善于尋找條件知識(shí)與結(jié)論知識(shí)之間的邏輯關(guān)系或轉(zhuǎn)化軌跡[3]．這樣的思考體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題過(guò)程與結(jié)果的統(tǒng)一，其實(shí)質(zhì)就是彰顯了數(shù)學(xué)教學(xué)的生長(zhǎng)性．學(xué)生通過(guò)畫草圖分析推理，在畫中思、在思中畫，實(shí)現(xiàn)“怎么想”“怎么想得到”層層遞進(jìn)的深入思考，形成數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)鏈，在幾何作圖中享受數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)的全過(guò)程，這一過(guò)程正是新課標(biāo)下尺規(guī)作圖本質(zhì)特征的體現(xiàn)．

“教育的本質(zhì)就是一棵樹搖動(dòng)另一棵樹，一朵云推動(dòng)另一朵云，一個(gè)靈魂召喚另一個(gè)靈魂．”平時(shí)的教學(xué)中，我們要注重提煉幾何圖形的特征，引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，關(guān)注知識(shí)鏈生成，積極探索作圖方法，嘗試一題多解、一題多圖，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐和推理分析中積累經(jīng)驗(yàn)，生長(zhǎng)思維．