一道新高考導數壓軸題的分析與延伸

雷 蕾 (江蘇省南京市第一中學 210001)

2022年新高考I卷第22題是一道函數與導數綜合的壓軸題，考查了利用導數研究函數的極值與最值、零點等知識，體現了分類討論、數形結合、函數與方程、轉化與化歸等數學思想，對學生的邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養要求較高．下面筆者從分析高考真題、推廣一般結論、探究其他性質這三個方面展開，對這道壓軸題進行深度解析，供大家參考．

1 分析高考真題，厘清解題思路

試題(2022年新高考I卷第22題)已知函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值．

(1)求a；(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．

思路 (1)分2步：①分別求出f(x)與g(x)的最小值(用a表示)，由f(x)與g(x)的最小值相等建立關于a的方程；②利用導數求解關于a的方程．

(2)分3步：①證明f(x)與g(x)的圖象只有一個交點(x0,y0)；②證明直線y=y0與f(x),g(x)的圖象各有另一個交點；③證明從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．

圖1

因為f(lnx0)=x0-lnx0=ex0-x0=f(x0)，由f(x)的單調性可知，直線y=b與f(x)的圖象交于兩點(lnx0,b),(x0,b)．因為g(ex0)=ex0-x0=x0-lnx0=g(x0)，由g(x)的單調性可知，直線y=b與g(x)的圖象交于兩點(x0,b),(ex0,b)，所以存在直線y=b與f(x),g(x)的圖象有三個交點，其橫坐標從左到右依次為lnx0,x0,ex0．由ex0-x0=x0-lnx0知，其橫坐標成等差數列．

2 探究其他情況，得出一般結論

從上述分析可以發現，本題的第(2)題就是從直線y=b經過f(x)與g(x)圖象的交點出發進行命制，考查了一種特殊情形．那么，對于一般情況，也就是直線y=b不經過f(x)與g(x)圖象的交點時，是否有類似的結論？

變式1 已知直線y=b與f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx的圖象共有四個不同的交點．

(1)求實數b的取值范圍；

(2)設這四個交點的橫坐標從左到右依次為x1,x2,x3,x4，求證：x1+x4=x2+x3．

(2)①由(1)知，當b∈(1,y0)時，直線y=b與f(x)圖象交點的橫坐標從左到右依次為x1,x2，直線y=b與g(x)圖象交點的橫坐標從左到右依次為x3,x4，即f(x1)=f(x2)=g(x3)=g(x4)=b，其中lnx0

圖2 圖3

②由(1)知，當b∈(y0,+∞)時，直線y=b與f(x)圖象交點的橫坐標從左到右依次為x1,x3，直線y=b與g(x)圖象交點的橫坐標從左到右依次為x2,x4，即f(x1)=g(x2)=f(x3)=g(x4)=b，其中x1

綜上，x1+x4=x2+x3．

評注(1)對于變式1第(1)題中的交點個數問題，也可以用零點存在定理進行判斷：

(2)若將試題與變式1中的函數一般化，即f(x)=ax-x，g(x)=x-logax，其中a>1，容易判斷f(x)與g(x)都只有一個極小值點，且極小值相等．利用f(logax)=g(x)與g(ax)=f(x)可以證明：

①若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，則從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列；

②若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點，設這四個交點的橫坐標從左到右依次為x1,x2,x3,x4，則x1+x4=x2+x3．

3 總結命題規律，探究其他性質

通過對試題與變式1的分析，我們發現函數f(x)與g(x)之所以具有上述性質，關鍵是滿足兩點：①f(logax)=g(x)，g(ax)=f(x)；②f(x)與g(x)都只有一個極值點，且極值相等．

下面筆者適當改變f(x)與g(x)的解析式，使其滿足上述兩個關鍵點，探究其他函數的類似性質．

(1)若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，試探究：從左到右三個交點的橫坐標之間的關系；

(2)若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點，試探究：從左到右四個交點的橫坐標之間的關系．

圖4

圖5

綜上，若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點，設從左到右四個交點的橫坐標分別為x1,x2,x3,x4，則x1x4=x2x3．

②當x∈(e,+∞)時，lnx>1，因為f(x)在(1,+∞)上遞減，易證x>lnx，所以f(x)

①若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，則從左到右三個交點的橫坐標成等比數列；

②若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點，設這四個交點的橫坐標從左到右依次為x1,x2,x3,x4，則x1x4=x2x3．

4 結語

總之，對于一道典型的高考真題，我們不能僅僅局限于解決這個問題，還應從多個角度對其進行剖析，充分挖掘其價值．通常可以思考如下問題：你能用多種方法求解這個問題嗎？這個問題的命題意圖是什么？改變條件或目標后這些方法還適用嗎？這個問題能否推廣到一般情形？等等．只有真正弄清這個問題的來龍去脈，把握其各種變化，我們在遇到新問題時才能做到靈活處理、巧妙應對．