再探拿破侖三角形
——由一道模考題說起*

蔡曉波 邱志權 (廣東省中山市桂山中學 528463)

1 問題背景

·試題與評析

評析本題以拿破侖定理為背景，考查學生對基本不等式、解三角形等相關知識的掌握情況，該題圖形具有很好的幾何對稱美(圖1)，可讓學生充分感受到數(shù)學的美與巧妙．

圖1

本題要求“以任意三角形的三條邊為邊，向外作三個等邊三角形”，實際上，若向內(nèi)作三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心仍然構成等邊三角形，關于這一點，文[1]已給出相關的結論與證明．

·拿破侖定理

關于拿破侖定理的證明方法很多，這里不再贅述，下面給出拿破侖定理的符號語言形式及內(nèi)外拿破侖三角形的定義．

結論1(拿破侖定理)任意△ABC以BC,AC,AB為邊向外(向內(nèi))作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為A′,B′,C′(A″,B″,C″)，則△A′B′C′(△A″B″C″)為等邊三角形，△A′B′C′(△A″B″C″)被稱為外(內(nèi))拿破侖三角形．

證略．下文中的內(nèi)外拿破侖三角形的頂點及其對應關系均參照上述結論1．

2 一般性結論

結論2已知△ABC的外接圓半徑為r，外拿破侖三角形為△A′B′C′．若∠ACB=θ，記△A′B′C′的面積為S△A′B′C′，則

類似可得(3)，結論2得證．

類似于結論2，對于內(nèi)拿破侖三角形有如下結論：

結論3已知△ABC的外接圓半徑為r，△ABC的內(nèi)拿破侖三角形為△A″B″C″．若∠ACB=θ，記△A″B″C″的面積為S△A″B″C″，則

3 唯一性問題

以任意三角形的三條邊向外(或向內(nèi))作正n邊形，這3個正n邊形的外心要構成等邊三角形，n必須滿足什么條件呢？

結論4任意△ABC以BC,AC,AB為邊向外(向內(nèi))作三個正n邊形(n≥3)，其外接圓圓心依次記為A′,B′,C′，若△A′B′C′為等邊三角形，則n=3．

圖2

4 內(nèi)外拿破侖三角形的位置關系

結論5若△ABC中最大角為∠ACB=θ，△ABC對應的外拿破侖三角形為△A′B′C′，內(nèi)拿破侖三角形為△A″B″C″，則

在證明該結論之前，我們先來看一個引理：

引理任意三角形的內(nèi)外拿破侖三角形具有相同的外心．

該引理在文[1]中已經(jīng)給出了詳細的證明，故這里不再贅述．下面我們證明結論5．

圖3

下面先證(3)：

同理可證得A″在△A′B′C′外部，A″與B′在A′C′兩側，故由對稱性得△A″B″C″三個頂點均在△A′B′C′外部，且B″與A′在B′C′兩側，C″與C′在A′B′兩側，A″與B′在A′C′兩側．

下證(2)：

圖4

分析 結合結論5以及內(nèi)外拿破侖三角形的定義不難證出該推論，故這里不再贅述，相關證明讀者可自行完成．