立足學科本質 培育數學素養
——2022年甲卷理科第10題分析與啟示

■黎方平

一、試題呈現

本題設置學習探索情境，以高中數學中代數與幾何板塊中的主干內容——解析幾何為內容載體，以求橢圓離心率問題作為任務，考查點的對稱性、直線的斜率及其計算、橢圓的方程及離心率的計算等基礎知識，考查邏輯推理能力、運算求解能力，考查函數與方程、數與形結合、特殊與一般等數學思想方法，考查極限思想。試題的解答，要求學生具有一定的數學理性思維，對數學運算、邏輯推理、直觀想象等數學學科素養有一定的要求。

二、解題思路

（一）“本手”①——解析幾何最基本的研究方法

坐標法是解析幾何中最基本的研究方法。對于高中學生，在面對一個幾何問題時，如果不能快速獲得綜合幾何的解法，則用坐標法求解是最自然的思考。這是數學解題思考的“本手”——根據問題的基本特點，從相關的知識出發，結合條件的基本特征，按基本規律進行思考、解答。

解法一：

設點P的坐標為（x1，y1），由點P，Q均在C上，且關于y軸對稱，得點Q（－x1，y1），，即

整個解答過程，只需要運用相關的基礎知識反映條件，應用解析幾何的基本方法建立聯系，便可以順暢解決問題，沒有多大的思維量和運算量，耗時也不多，充分體現了高考對扎實基礎的要求。解答好高考數學試題，“本手”是最重要的。

（二）“熟手”——發揮教材例題的典型作用

1.分析典型探方法

人教A版（2019版）的第108頁例題3是這樣的：

設A，B兩點的坐標分別為（-5，0），（5，0）。直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程。

根據題意，設點M的坐標為（x，y），那么直線AM，BM的斜率就可用含x，y的關系式分別表示。由直線AM，BM的斜率之積，可得出x，y之間的關系式，進而得到點M的軌跡方程為

在學生完成上面的探索后，有必要引導學生從兩個方面進一步探究。

其一，所求方程的軌跡為橢圓，橢圓方程中的a2=25，b2=，從而A（-5，0），B（5，0）為該橢圓的頂點，且

將問題一般化：

教學中，對典型問題進行深化、拓展，引導學生將問題一般化，或者變換條件進行思考，能促進學生更深刻地理解知識、掌握方法，形成具有個體感受和體驗的活動經驗。

以此為基礎，可以簡化解法一的求解過程，從另一個角度反映已知條件，進行有效的思考。

解法二：

如圖1，設點B為橢圓的右頂點，則由A，B關于y軸對稱得kAQ=－kBP，由，得，從而離心率

圖1

上述解法，與學生學習的基礎知識、教材例題聯系緊密。這樣的考查，有利于引導學生對平時學習的基本問題深入思考，從機械刷題訓練中走出來；引導教師體會用教材教學，通過拓展與探索，培養學生的抽象思維能力，減少不必要的訓練，實現教學的提質增效。教學中，適當的一般化處理是非常必要的。

2.拓展引申尋本質

在教學中，根據學習實際可以引導學生繼續深入探討。將頂點A，B關于橢圓中心的對稱一般化，通過猜想、證明，發現更具一般性的結論。

有這樣的分析和探索之后，學生也可能會得到如下解法。

解法三：

如圖2，設點P關于x軸的對稱點為P1，則點P1與點Q關于原點O中心對稱（也可以直接作Q關于O的對稱點P1，說明點P，P1關于x軸對稱），而點A在橢圓上，故kAP1kAQ=（－kAP）kAQ=－，即，所以離心率

體育教師的工作比較繁忙，課堂教學、早操、課外活動、業余訓練，器材室管理，學校的雜活等都離不開體育教師，事務多，任務重，很難有更多的時間靜下心來進行閱讀積累，體育教師可以有選擇性地進行閱讀，如教師進行教學案例方面的撰寫，就可以參照最近三年的《中國學校體育》雜志社舉辦的案例評比，以及發表在學體雜志上的獲獎案例，按照上面的格式再結合自己的經歷，加以修改、潤色就能寫出很好的案例。

圖2

從解題過程看，解法二、三直接應用探索獲得的“二級結論”，更為便捷地獲得了

需要指出，如果學生不清楚二手結論的本質，而是單純記憶結論，遇題盲目套用，“熟手”也就容易變成“俗手”，是教學中應該避免的。

（三）“妙手”——以數學思想為指導的解題

在復習階段，還要從更高的思維層次來看待這一問題。題中的P，Q是橢圓上關于y軸對稱的任意兩點，解決的是具有普遍性的結論，自然對極端情形也成立。因此，引導學生運用“特殊與一般”的關系，從而會有如下簡練的思考。

解法四：

設橢圓的一個短軸端點為C，由題意，對任意關于y軸對稱的點P，Q，總有kAPkAQ=成立。當點P，Q均無限接近點C時，直線AP與AQ無限接近AC，從而，即，則離心率

這里以理解特殊與一般的關系為核心，運用極限思想完成轉化，充分體現了在數學思想指導下去解決問題，就可能出“妙手”。這樣的思考，正是學生思維品質的體現，也是學生數學學科核心素養的反映，更展現了高考試題對學生數學能力的有效區分。

三、培育數學核心素養的啟示

（一）逐級思考是培育素養的有效途徑

學生在面對具體問題時，會依據自身的知識和經驗儲備進行思考。通過教學，希望學生能形成有序、多級的思考方式，進行有層次的思考。通過本題的分析，可以把解題思考分為以下三個層次：

第一，自然的思考。根據條件、結論的特征和解題需要，直接反映基礎知識，聯系基本方法，嘗試解決問題（如解法一）。

第二，有效的思考。注意問題背景、解題目標，考慮不同表達，排除運算與思考障礙，使解題過程更為簡捷，提升解題效益（如解法二、三）。

第三，簡練的思考。注意知識、方法的核心應用背景，深入挖掘問題情境的本質特征，更綜合地運用內在關系，運用數學思想，簡練地表達條件和結論，用思維的力量解決問題，優化思維層次（如解法四）。

在解決具體問題時，自然的思考可能得到的是最費時費力的方案，要引導學生思維不斷向有效思考、簡練思考發展，這在解題教學中尤其重要。

（二）因時應勢是有效教學的必然要求

學生的認知能力是在學習過程中逐漸發展的，因此教學目標的設定要依賴于學生學習的實際情況，做到任務分層，難度逐級提升。

新課教學中，要注重基礎性。在學習了離心率的概念后就可以用這個試題作為當節課的思考題，學生能運用解析幾何的基本研究方法給出第一種解答，也可能給出第二種解答。教師在充分注意“基礎性”的前提下，可引導學生分享自己的思考和解法，既能起到復習鞏固基本知識和基本方法的作用，也能引導學生綜合應用前面所學來深入思考，培養探索的習慣，提升對數學問題的探究能力。

復習教學中，要注重綜合性。復習教學的目的在于“溫故知新”，知新的關鍵在于對教材的再創造，促進學生優化知識結構，深化數學認識，提高其數學素養。在復習教學階段，如解法三的分析，可以按照特殊到一般的路徑，引導學生認識本題的“幾何本質”，加深學生對橢圓定義的認識，并進一步認識橢圓的對稱性及斜率乘積的不變性。在具體求解時，又可以利用特殊與一般的關系，創新性地獲得解法四，實現思維的高階發展。

學習過程中，要注重延伸性。本題的研究，從特殊的橢圓出發，推廣到橢圓具有的一般性質，最后又結合“一般與特殊”的關系，利用極端情況獲得了解答。新課學習伊始，從坐標角度認識斜率乘積為－，促進學生從方程的角度理解本題，達成理解基礎知識、掌握基本方法的目標。隨著學習的推進，將教材典型例題一般化，獲得了這個結論，實現特殊到一般的深化。進入復習階段，還要從類比推理的角度加以引導，類比“圓上一點與直徑兩端點連線垂直”可以更加深刻認識橢圓直徑具有的kMPkMQ=－這一性質，實現對橢圓直徑認識的深化。教學中，適時地進行拓展，讓學生真正理解這個性質，獲得“如何逐步深入問題本質，如何對問題進行拓展和探索”的經驗，提升數學思維品質。

（三）理解本質是學習知識的永恒追求

本題突出了內容主線和反映數學本質的核心概念、主要結論、通性通法，特別關注了數學學習過程中探究與發現等思維品質的形成，關注學生會學數學的能力。

教學中，教師始終應把促進學生理解數學本質放在首位，以提升學生數學學科核心素養為目標，培養學生在面對問題時能從自然的思考向有效的思考過渡，最終實現簡練思考的能力。

教無定法，關鍵在得法。我們教學追求的是提升學生的數學素養。表現在解決數學問題時，形成了具有思維價值的思考程序、思維模式，能把握一個數學關系產生和發展的過程，深入問題本質，養成探索的習慣，在面對復雜情境、新穎的問題時，能創造性地發現問題、分析問題、探索提出問題并最終解決問題。

注釋：

①“本手、妙手、俗手”是圍棋的三個術語。本手是指合乎棋理的正規下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而從全局看通常會受損的下法。對于初學者而言，應該從本手開始，本手的功夫扎實了，棋力才會提高。一些初學者熱衷于追求妙手，而忽視更為常用的本手。本手是基礎，妙手是創造。一般來說，對本手理解深刻，才可能出現妙手；否則，難免下出俗手，水平也不易提升。

——摘自全國新課程Ⅰ卷語文作文題