2021年全國卷函數試題剖析

曾 蒙，仲詩源

（江蘇第二師范學院，江蘇 南京 211200）

函數是高中階段數學學習的核心內容之一，在歷屆高考中一直都是不可或缺的一個考點。了解高考真題中函數的要求及考查方式，可以幫助學生更有效地進行函數學習。本文從2021年全國卷出發，聚焦函數考查知識點，探討求解函數試題常用的工具，分析其中蘊含的數學思想方法。

1 函數試題分析

在2021年新高考數學試卷中考查了4道函數題，共計27分，占試卷的18%。考查題型涉及單項選擇題、填空題、解答題，具體情況見表1。

下面針對這四道函數題分別從知識點考查、數學思想方法以及能力要求進行簡單分析：

分析：本題主要以指數函數考查導數的概念及其幾何意義。利用導數為相應函數在一點上的切線斜率的幾何意義得出題中曲線的切線，結合求導所得增減性進一步得到答案。體現了函數與方程的思想以及轉化的思想，將切線問題轉化為函數問題，要求學生要擁有運用意識的能力。

分析：本題主要考查函數奇偶性的應用。函數奇偶性的判斷是在定義域關于原點對稱的情況下，根據與的關系進行判斷，本題就是利用偶函數的關系式確定未知數的值。本題將偶函數這一已知條件轉化為這一關系式充分體現了轉化的思想，考查學生運用知識的能力，對于偶函數的概念定義有著深刻的理解進而學會應用。

分析：本題主要考查了函數的最值問題。首先確定函數的定義域，由于去絕對值時導致的正負不同，再對自變量進行分類討論，最后利用導數確定函數單調性，從而進一步得到最值。本題要求考生有分類討論的思想，對于這一類問題不能想著直接計算，而是有根據條件進行分類考慮問題的意識。同時也要有運用意識的能力，不能僅僅將知識局限于如何求導，而是要學會運用導數求解不同問題。

分析：本題以導數及其應用為知識載體，考查了函數的單調性、極值與最值的問題。第一小問為函數單調性問題，第二小問則是在構造新函數的基礎上，利用導數證明不等式。本題難點主要在于已知條件的等價轉化，以及函數構造。對于考生的轉化思想與創新意識有著巨大的考驗，這也是作為壓軸題拉開考生間差距的地方。考生能夠從數學角度發現與指出問題，并且自主解決未學習接觸過的或是以一種全新的方法簡潔地解決問題的能力是突破該難題的關鍵。

2 解決函數問題常用工具

通過對2021全國卷中的4道函數試題的分析，其中有3道題在解答過程中需要利用導數作為工具進行解答，如例1、例3、例4。在例1中題目從導數的幾何意義出發，即曲線在某一點處的切線斜率為函數在該點的導數，同時利用導數研究函數單調性，以此得出大小關系。在例3中，通過使用導數確定不同情況下的函數單調性從而得出函數的最小值。在例4中，無論是第一小問的單調性還是第二小問的不等式證明都離不開導數的應用。總結發現函數對于導數的應用主要分為兩方面，一方面是利用導數的幾何意義解決斜率問題如例1；另一方面則更為常見，利用導數確定函數單調性，從而進一步解決最值、零點、不等式等問題。導數作為一個強有效地解決問題的工具，有意識地利用導數可以大幅度的提高考生解題速度、增加正確率。

在做題過程中可以發現，解得函數的導數難度并不高，確定求什么函數的導數往往才是難點。如例1，首先需要利用切線構造出，才能進一步求導得出單調性從而求解。同樣的如例4，也需要通過先構造新的函數：，然后針對兩個新構造的函數求導才能最終得到所需要的結果。如果想要利用導數快速的解決函數問題，不僅僅需要掌握求導公式，同時還需要學會構造函數。正確的函數構造才能通過導數將題目引向正確的答案。

3 函數試題中蘊含的數學思想方法

3.1 函數與方程的思想方法

函數與方程的思想方法在函數問題中是貫穿始終的。或是將方程轉化為函數問題，如例1通過切線以及導數幾何意義將問題轉化為方程有兩個解的問題，即可轉化為函數與x軸有兩個交點，最后再用單調性求解，其中由方程的解轉化為函數零點的過程就是運用了函數與方程的思想。或是在解答函數問題時構造并求解方程以此得到最終答案，如例2根據函數奇偶性得到方程，通過解方程得到答案。函數與方程是在解題過程緊密結合的，在一定條件下可以互相轉換，從而達到將抽象復雜問題簡單化的目的。

3.2 轉化與化歸的思想方法

根據上文所探討的函數試題中數學工具運用，作為函數解答中最重要的工具—導數，其關鍵是構造正確的函數。而如何構造函數就需要考生擁有轉化與化歸思想，尤其是轉化的思想。面對復雜的函數問題，其第一要義就是根據題意構造出能引向答案的函數，如例4，轉化思想不僅僅存在于構造函數中，準確地說數學問題每一步的解答都離不開轉化思想的運用，將題目中無法解決的復雜問題通過等價轉化一步步簡化，最終轉化為可以解決的簡單問題，如例1就需要考生將切線問題轉化為可以通過單調性求解的函數問題。掌握轉化與化歸的思想方法是考生解決函數問題的必要武器。

4 結語

通過對于2021年新高考數學試卷中函數相關題目的分析，函數知識點考查方向主要為函數的性質以及以導數為工具解決單調性、最值、切線等問題。其中利用導數作為工具解決函數問題更是貫穿函數考查過程。因此在函數教學中教師應當重視數學工具在解題中的作用，并在教學過程中滲透函數與方程、轉化與化歸的數學思想，有意識地幫助學生拓寬解題思路，提高學生分析問題、解決問題的能力。