莊志忠，褚伯貴

（1.福建船政交通職業學院機械與智能制造學院，福建 福州 530023；2.武漢理工大學物流工程學院，湖北 武漢 535011）

1 引言

近年來，全球工業市場對協作式機器人產生了濃厚的興趣，這種機器人通常具備由輕量化連桿和諧波齒輪構成的柔性機械臂［1-3］。緊湊、輕便和靈活的結構使這些柔性機械臂能夠安全地與人類互動，而諧波齒輪被廣泛認為是精確定位系統中的理想機構［4-5］。然而，由于連桿和傳動系統的低剛度而引起的彈性變形可能會極大地激發機械振動。因此，柔性機械臂的高速高精度控制性能往往難以實現。

為了解決振動抑制問題，人們對兩質量和三質量系統（又稱兩慣量和三慣量系統）進行了各種控制方案的研究，它們是振動模式柔性系統的典型模型［6］。特別是由反饋（feedback，FB）和前饋（feedforward，FF）控制器組成的2-DOF控制框架被認為是實現高伺服性能的一種有效且實用的方法。文獻［7-8］5119-5121已提出將2-DOF控制應用于柔性機械臂的方法，但大多數情況下僅限于單個連桿。因為在這些方法中，控制系統是由兩個FB環路和基于互質因子分解表達式的FF補償器［9］組成的級聯結構。因此，將該方法應用到具有兩個或多個桿件的機械臂，最具挑戰性的問題是桿件之間存在耦合轉矩。雖然耦合轉矩可被視為一個擾動，然后通過魯棒的FB控制器來處理，但是很難實現期望的快速響應。實際上，耦合轉矩在很大程度上依賴于被控變量，因此應將其納入系統動力學，而不應將其視為擾動。由于機械臂表現為一個多變量系統，因此應采用解耦策略。

文獻［10］提出了一種機器人耦合與解耦線性狀態空間控制方法，該方法基于高階微分方程計算補償輸入，但是忽略了粘性摩擦，沒有明確給出解耦增益的選取方法和表達式。該方法的研究結果表明用于合成柔性系統2-DOF控制器的互素分解表達式也適用于傳遞函數表示。因此，本研究嘗試將原始的解耦控制思想應用于柔性多連桿機械臂的2-DOF控制方法。本研究通過應用由傳遞函數表示計算出的解耦控制器，并采用2-DOF控制框架，為具有諧波齒輪的柔性雙連桿機械臂構建高性能的定位系統。最終通過原型機實驗驗證了該方法的有效性。

2 連桿三慣量系統建模

柔性機械臂的每個連桿都表現為一個帶有兩個彈性彈簧的三慣性系統，其中一個彈簧描述齒輪中的彈性，另一個表示連桿中的彈性變形。因此，被控對象可以是所謂的雙連桿三慣量系統。雙連桿三慣量機械臂的物理模型，如圖1所示。

圖1 雙連桿三慣量機械臂的物理模型Fig.1 Physical Model of Two-Link Three-Inertia Manipulator

圖中：τmi—電機扭矩（i=1，2）；θmi，θai，θli—角位置；Jmi，Jai，Jli—慣性矩；Dmi，Dai，Dli—粘性摩擦系數；Dgi—齒輪阻尼常數；Kgi—齒輪的剛度；Kli—連桿的剛度；Jgi—齒輪的慣性常數。其中，下標“m”、“a”和“l”分別表示電機側的第一慣性、齒輪臂側的第二慣性和連桿端側的第三慣性，而下標“1”和“2”表示連桿索引。

第i個連桿模型的框圖，如圖2所示。

圖2 第i個連桿模型的框圖Fig.2 Block Diagram of i-th Link’s Model

式中：β、γ—耦合慣性因子。

fi可通過電機速度的平滑雙曲正切函數來建模：

式中：Fci—庫侖摩擦力矩；vci—速度閾值。

θTEi可以表示為傅立葉級數：

式中：N—齒數比。

然后對實驗數據進行快速傅立葉變換，忽略幅度小于2 arcsec的諧波分量，得到角傳動誤差模型。模型參數，如表1所示。

表1 模型參數Tab.1 Model Parameters

3 所提解耦定位控制方法

3.1 2-DOF控制框架

2-DOF控制框架是獨立設計的FB和FF組件的組合。雙慣性對象的FB系統通常由兩個級聯回路組成：一個是電機速度反饋的內環，另一個是電機或負載側位置反饋的外環。如果電機側位置用于外環，則FB結構稱為“半閉環”；否則，如果應用負載側位置，則稱為“全閉環”。這些概念也可以推廣到三慣性對象的控制系統。文獻［8］5120-5122 對“半閉環”控制系統進行了研究結果，并且提出了一種帶角傳動誤差補償的“半閉環”結構，能夠消除由于角傳動誤差引起的穩態誤差。因此，第i個連桿的傳統2-DOF控制框架，如圖3所示。

圖3 第i個連桿的傳統2-DOF控制框架Fig.3 Conventional 2-DoF Control Frame for i-th Link

圖中：Nmi(s)、Di(s)—基于互素分解表達式法計算的FF補償器；

CPi(s)—位置FB控制器；

Cvi(s)—速度FB控制器；

G(s)—三慣性對象。

當只有一個連桿運動時，耦合轉矩小到可以忽略不計，那么為獨立三慣性對象設計的常規控制系統就可以有效地工作。然而，當各連桿同時旋轉時，由于各連桿之間的強相互作用。兩條水平虛線表示所需的精度，而垂直虛線表示預期穩定時間0.1s。可以看出，多連桿運動的控制性能會出現惡化。因此，這里提出了一種新的控制方法，即使在多連桿運動中也能實現預期的性能。

3.2 解耦控制

解耦控制的基本原理是應用稱為解耦器的前饋作用，使多輸入多輸出（MIMO）系統傳遞矩陣是對角的。使用近似雙連桿二慣性模型是獲取機械臂傳遞矩陣的一種更實用的方法。實際上，在定位波形中觀察到的振動頻率通常為10Hz左右，即，振動主要是由連桿柔性引起的。因此，在假定機械臂關節是剛性的并且非線性分量不重要的前提下，可以認為機械臂是線性雙連桿雙慣性系統。簡化后的模型框圖，如圖4所示。

圖4 簡化后的模型框圖Fig.4 Simplified Model Block Diagram

圖4中模型的等效參數計算如下：

雙連桿雙慣性系統的動力學方程可以寫成以下矩陣形式：

其中，

對式（6）進行拉普拉斯變換，可得到：

因此，從τ到x的傳遞矩陣如下所示：

可以分為兩個2×2的子矩陣：

式中：Gm(s)—電機角度子矩陣；

Gl(s)—負載角度子矩陣。

3.3 帶解耦器和角傳動誤差補償器的2-DOF半封閉控制方法

該方法的基本思想是應用解耦器來產生兩個解耦，然后基于全閉或半閉環控制結構為每個對象構造一個2-DOF控制器。對于使用全閉的選擇，受控對象的傳遞矩陣是式（14）、式（15）中所示的整個G(s)?；诎腴]環框架，被控對象只接收式（15）中的（2×2）子矩陣Gm(s)作為其傳遞矩陣。然后，可以應用解耦器。提出的帶解耦器和角傳動誤差補償器的2-DOF 半閉環控制框架，如圖5所示。

圖5 提出的帶解耦器和角傳動誤差補償器的2-DOF半閉環控制框架Fig.5 Proposed 2-DOF Semi-Closed-Loop Control Framework with Decoupling and Angular Drive Error Compensator

圖5中FF補償器是基于互質分解表達式進行計算的，Gij(s)是整個G(s)經過MIMO處理的傳遞函數。

4 實驗結果與分析

4.1 實驗機械臂

為了驗證所提解耦定位控制方法的有效性，制作了一個具有輕量級連桿和彈性關節的平面串聯雙連桿機械臂，每個連桿都由一個帶諧波齒輪的交流伺服電機驅動，其中兩個高分辨率編碼器安裝在齒輪的輸入和輸出側。實驗機械臂實物，如圖6所示。

圖6 實驗機械臂實物Fig.6 Experimental Mechanical Arm

實驗機械臂的配置參數，如表2所示。

表2 實驗機械臂的配置參數Tab.2 Configuration Parameters of Experimental Manipulator

伺服性能指標的設計目標是使機械臂末端定位精度達到±0.1mm，定位時間快于0.1s。由于目標機械臂的連桿是旋轉的，因此需要將所需的精度換算為角度單位。根據連桿長度，對第一連桿和第二連桿所需的精度分別為±0.022°和±0.019°。

4.2 驗證結果分析

采用離散算法（Tustin）對控制方法中的所有連續傳遞函數進行離散化，采樣時間為250μs。以兩個典型多連桿運動為例，對所提出的控制方案進行了實驗驗證。兩個典型多連桿運動的配置，如表3所示。

表3 兩個典型多連桿運動的配置Tab.3 Configuration of Two Typical Multi-Link Motions

在運動1中，加減速時間約為0.125s，其倒數約為8Hz，接近機械結構的主共振頻率，這是產生大量機械振動的關鍵條件。此外，耦合轉矩的影響進一步惡化了伺服性能。另一方面，在動作2中，兩個連桿的大幅度運動產生了很強的相互作用。此外，第一個連桿的慣性矩和耦合轉矩在運動過程中變化很大。因此，所選擇的動作是適合于驗證的。對于運動1，兩種傳統控制方法都表現出較大的振動響應，而所提出的解耦方法不僅在位置上而且在扭矩波形上都表現出了良好的振動抑制效果。由于該方法基于半閉環控制，而角傳動誤差補償器僅消除了穩態誤差，因此仍存在輕微的殘余振動。然而，與傳統方法相比，它們也是可以接受的。對于運動2，所提出的方法也顯示出優于傳統方法的振動抑制性能。特別地，在兩個連桿的定位響應中幾乎沒有表現出超調。

針對短行程參考的運動1和長行程參考的運動2，多連桿運動的實驗定位波形，如圖7、圖8所示。

圖7 多連桿運動的實驗定位波形（運動1）Fig.7 Experimental Positioning Waveforms for Multi-Link Motion（Motion 1）

圖8 多連桿運動的實驗定位波形（運動2）Fig.8 Experimental Positioning Waveforms for Multi-Link Motion（Motion 2）

總體而言，通過應用所提出的解耦控制方法，所考慮的兩個運動都完全滿足了預期的時間和精度等定位控制指標。

5 結論

這里提出了一種新穎的解耦控制方法，能夠為諧波齒輪傳動串聯柔性雙連桿機械臂提供高伺服性能的定位。該方法構造了基于半閉環結構的2-DOF串聯控制系統，補償了傳動系統中的角傳動誤差。通過多連桿運動的實驗，得出如下結論：（1）采用該方法可以達到較好的控制性能指標，具體為±0.1mm 的精度和0.1s的穩定時間。（2）由于每個連桿只有一個控制輸入扭矩，而解耦方案需要一個平方傳遞矩陣。因此，該方法不適用于串聯準全閉環和全封閉結構。盡管如此，角傳動誤差補償器可以克服半閉環控制結構的缺點，因此，該方法仍然能夠實現令人滿意的定位伺服性能。但是，這里沒有考慮機械臂與人相互作用時，機械臂末端產生的外部扭矩以及模型誤差。因此，外部干擾和模型魯棒設計是后續工作的改進方向。