原始對偶內點法下的圓柱度誤差評價技術研究

姜菲菲，趙鳳霞，牛森濤，鄭 鵬

（鄭州大學機械與動力工程學院，河南 鄭州 450001）

1 引言

回轉體零件的形狀誤差對機械產品的壽命、工作精度等都有很大的影響，對于一些精密儀器和在惡劣條件下工作的機器影響可能更甚，因此常常需要控制回轉體零件工作表面的形狀誤差。圓柱度誤差是實際圓柱面對基準圓柱面的變動量，它既包含軸剖面方向的誤差，也包含橫剖面方向的誤差，是圓柱體各項形狀誤差的綜合指標。因此，圓柱度是回轉體零件的最典型技術指標。

目前國內外學者圍繞圓柱度誤差的評定進行了很多研究。文獻［1］提出了一種基于遺傳算法的圓柱度誤差評定方法；文獻［2-3］等分別采用基于修正單純形法和基于運動幾何學的最小區域優化算法對圓柱度誤差進行了評定；文獻［4］提出應用粒子群優化算法進行圓柱度誤差的評定；文獻［5］應用包含收斂因子的粒子群優化算法進行圓柱度誤差的評定；文獻［6］提出了一種基于網格搜索算法的圓柱度誤差評定方法；文獻［7］采用序列二次規劃算法思想對圓柱度誤差進行計算；文獻［8］提出了一種基于擬粒子群算法的圓柱度誤差評定方法，由擬隨機序列生成粒子群的初始位置與初始速度；文獻［9］采用改進差分進化算法實現了圓柱度誤差的評定；文獻［10］提出了一種基于改進的粒子群優化算法的圓柱度誤差評價方法，粒子群采用貪心選擇法來選擇最佳候選解；文獻［11］采用雙圓心擬合與端面網格搜索算法對圓柱度誤差進行計算。綜上可知，國內外學者一直在尋求一種評定精度高、運算速度快、評定結果重復性好的圓柱度誤差評定算法。

1984 年，Karmarkar 開創性地提出將內點法推廣應用到對線性規劃的求解中，原始對偶內點法是由內點法發展而來的一種算法。原始對偶內點法相比于其他算法，它是一種多項式的時間復雜性算法，極大地提高了線性規劃問題的求解速度［12-13］。而且原始對偶內點法是一種在可行域的內部尋優的方法，約束條件和變量數目的增加不會導致迭代次數的增加，因此原始對偶內點法對于較大規模的線性規劃問題很友好，可極大地提高其求解速度［13-14］。這里提出應用原始對偶內點法進行圓柱度誤差的評定，并對其評定精度、運算效率和重復性進行了實驗驗證。

2 圓柱度誤差評定模型

圓柱度誤差是指實際圓柱面對基準圓柱面的變動量；按照ISO 121180-1［15］，基準圓柱面有最小二乘基圓柱面、最小區域基圓柱面、最小外接基圓柱面和最大內切基圓柱面，其中，最小區域基圓柱面是用于仲裁圓柱度誤差合格與否的基準面，因此這里主要研究基準圓柱面為最小區域基圓柱面時的圓柱度誤差評定方法。

如圖1 所示，設圓柱面上各測點的坐標為Pi(ri，θi，zi) (i=1，...，N)，其中，N為測點總數。假設被測圓柱面的軸線在z=0的平面內相對于基圓柱軸線的偏移量為(x，y)，且沿原方向與原軸線分別傾斜α，β，則被測圓柱面上的點到基圓柱面軸線的距離為：

圖1 圓柱度誤差評定模型示意圖Fig.1 Model of Minimum Zone Cylindricity Error Evaluation

展開式（1），可得到：

基圓柱體軸線的偏移量相較于圓柱體的名義尺寸而言可以認為是微量，即x，y，α，β均為微量，由“小偏差”理論可知：sinα≈α，sinβ≈β，x，y，α，β任意組合的乘積項可近似視為0，則式（2）可近似為式（3）。

對式（4）配方，可得到：

由最小區域圓柱度誤差的定義可知，圓柱度誤差為：

設u=max(Ri)，v=min(Ri)，則最小區域圓柱度誤差求解模型為：

式（6）中的圓柱度誤差評定模型是略去了高次項后得到的線性模型，推導可知該模型的誤差近似為：

式中：R—圓柱公稱半徑；d—{|x|，|y|，|αzi|，|βzi|}中最大的值。

3 原始對偶內點法的基本原理

由式（6）可知，所建立的最小區域圓柱度誤差評定模型是一個線性規劃模型，可采用原始對偶內點法（Primal-dual interiorpoint algorithm）進行計算。

原始對偶內點法的基本思想是結合原問題和對偶問題，利用對偶間隙將不等式約束問題轉化為等式約束問題，在可行域內部搜索找到對偶間隙為零的可行解。

對標準的線性規劃問題P：

其對偶問題Q為：

式中：s—松弛變量。

引入對數障礙函數，問題D可轉換為式（10）。

式中：s=diag(s1，s2，...，sn)，μ—障礙參數（μ＞0）。

則其相應的Lagrange函數為：

式（11）的最優條件是要滿足對x，y，s的一階導數為0，即可得到式（12）。

問題即可轉化為對非線性方程組式（12）的求解，可利用牛頓法對之求解。

設其初始值為(x0，y0，s0)，搜索方向為(Δx，Δy，Δs)，可得到如下的方程組。

對式（13）求解，可得到(Δx，Δy，Δs)，則：

一直迭代，直到在可行域內找到滿足一定精度ε的最優解。原始對偶內點法的流程，如圖2所示。

圖2 原始對偶內點算法流程圖Fig.2 Flowchart of Primal-Dual Interior Point Algorithm

4 實驗分析

4.1 文獻數據測試

為了測試這里所提出的原始對偶內點法（簡稱內點法）的有效性，使用參考文獻［2，4］中的測量數據按這里所建立的模型和提出的算法進行實驗，精度ε設置為1E-7。實驗結果，如表1、表2所示。所用計算機CPU i5-6200U，8G內存。從表中可以看出，這里所提出的原始對偶內點法評定精度優于單純形法和含收斂因子的PSO，且評定時間僅需20ms，評定效率高。

表1 文獻[2]數據評定結果Tab.1 Evaluation Results of Reference 2 Data

表2 文獻[4]數據評定結果Tab.2 Evaluation Results of Reference 4 Data

4.2 實測數據

實驗數據采用海克斯康三坐標測量機（CMM）測量某圓柱體所得的測量數據（5個截面，每個截面1024個測量點），部分數據，如表3所示。采用內點法對圓柱度誤差進行評定，實驗測試10次結果，如圖3、表4所示。可以看出，基于原始對偶內點法的評定重復性好。

表3 測量數據Tab.3 Measurement Data

表4 實測數據評定結果Tab.4 Evaluation Results of Table 3 Data

圖3 實測數據評定結果重復性測試圖Fig.3 Repeatability of Measured Data Evaluation Results

4 結論

這里基于“小偏差”假設建立了最小區域圓柱度誤差評定模型，根據所建立的評定模型特點，提出采用原始對偶內點法對所建立的圓柱度誤差模型求解。采用文獻數據和實測數據分別進行了實驗驗證，結果表明這里所提出的原始對偶內點法在評定精度、評定效率和評定結果重復性等方面均優于現在常用的一些算法。該研究為實現圓柱度誤差的數字化計量提供了一種穩定可靠的方法。