考慮安裝誤差的螺旋錐齒輪嚙合性能分析

2022-11-21 06:47:58阿達依謝爾亞孜旦

機械設計與制造 2022年11期

韓鵬，阿達依·謝爾亞孜旦

（新疆大學機械學院，新疆烏魯木齊 830047）

1 引言

與直齒錐齒輪相比，螺旋錐齒輪嚙合時會增加輪齒間的重疊作用。因此，運動傳遞將比直齒錐齒輪或斜齒錐齒輪更平順，從而使它們在高速轉動下有效的降低了噪聲和振動。同時其具有負載能力高、傳動效率高等優點，被廣泛應用于汽車、飛機、機床等機械中。其噪聲，振動和耐久性的水平通常主要受接觸方式以及傳輸誤差的影響。在傳動過程中產生誤差的因素包括螺旋錐齒輪的準共軛特性、變形、制造誤差、安裝誤差等。它們對螺旋錐齒輪傳動動態性能、齒面接觸質量和振動噪聲有著較為重要的影響。而安裝誤差則是人為的一種不可避免的影響因素，它會直接改變輪齒的接觸方式，并對齒輪的傳遞性能產生影響。最早，文獻［1］率先研究了考慮軸承的螺旋錐齒輪嚙合接觸的幾何算法和仿真生成，提出了一種稱為“局部綜合”的方法，并設計提供了一種預先設計的存在極限傳遞誤差的拋物線函數［2］，該函數可控制由安裝誤差引起的傳動誤差的線性函數，降低振動等級，達到消除因安裝誤差引起的傳動誤差，減小傳動時的沖擊、振動和噪聲等效果。這一方法作為研究螺旋錐齒輪傳動誤差和嚙合性能的基礎理論方法。隨后格里森公司提出輪齒接觸分析（TCA）［3］，對局部接觸的兩齒面的嚙合和接觸進行模擬，通過輪齒接觸分析確定齒面的接觸跡線、由安裝誤差引起的傳動誤差和由瞬時接觸橢圓構成的接觸痕跡，在計算機上預先模擬出齒面接觸區域的形狀、大小和位置，并且可以得到合理的修正參數，進而用這些使齒面接觸區域合理的機床調整參數來指導齒輪的加工生產過程，從而有效縮短弧齒錐齒輪的生產周期。在（Tooth Contact Analysis，TCA）理論的基礎上，研究學者又提出了齒面加載接觸分析理論（Load Tooth Contact Analysis，LTCA）［4］，輪齒接觸有限元分析（Tooth Contact Finite Element Analysis，TCFEA）方法［5］，以及存在安裝誤差的齒面接觸分析（Error Tooth Contact Analysis，ETCA）方法［6］。

近年來，齒輪研究者主要關注的是無邊緣接觸、無集中應力、傳動誤差合理等，具備高接觸性能的螺旋錐齒輪。因此優化更為合理的嚙合區，從而提高螺旋錐齒輪嚙合性能成了現今學者們研究螺旋錐齒輪傳動的主要研究方向。這里充分考慮安裝誤差的四種存在形式，通過建立存在安裝誤差的螺旋錐齒輪三維模型，利用有限元軟件進行分析，并分別得到靜力學和動力學兩種條件下的齒輪嚙合性能。通過對比并最終得到了安裝誤差以及荷載大小對齒輪嚙合性能的綜合影響。

2 建立齒輪模型

2.1 齒輪三維模型的建立

理想錐齒輪副的基本幾何結構是由de1和de2兩個節錐相互滾動而成，其錐尖在軸的公共交點處重合［7］。當兩個節錐互相滾動時，齒面上的任何一個嚙合點都會在球面上移動，球面的中心點與兩個節錐的錐尖點重合，如圖1（a）所示。齒形的參考輪廓定義在兩個節錐之間相切位置的錐齒輪副上，如圖1（b）所示。在兩個錐齒輪嚙合期間，兩個齒面之間的嚙合點在其上移動，嚙合點的運動軌跡即所謂的球面漸開線［8］，且在嚙合點的任何嚙合位置，齒面彼此垂直，從而導致從主動輪到從動輪的連續運動傳輸。

圖1 螺旋錐齒輪建模原理Fig.1 Modeling Principle of Spiral Bevel Gear

這里通過球面漸開線齒廓原理，從漸開線的幾何軌跡出發，結合齒輪加工原理，可以確定球面上的齒面幾何輪廓。隨后利用Matlab語言求解得到齒面各離散點并導入三維建模軟件UG中，從而建立參數的螺旋錐齒輪幾何模型，如表1所示。

表1 齒輪加工參數Tab.1 Gear Processing Parameters

為簡化后續的有限元計算，對大齒輪進行切割。最終確立的螺旋錐齒輪三維模型，如圖2所示。

圖2 齒輪模型Fig.2 Gear Model

2.2 考慮安裝誤差的齒輪模型

2.2.1 常見安裝誤差類型

存在安裝誤差情況下的螺旋錐齒輪會影響螺旋錐齒輪的嚙合質量、振動噪聲、齒面接觸方式等。安裝誤差的存在形式主要有四種［9］，如圖3所示。存在軸間距偏置誤差ΔP，如圖3（a）所示。存在大齒輪軸向偏移誤差ΔG，如圖3（b）所示。存在軸交角偏移誤差ΔE，如圖3（c）所示。存在小齒輪軸向誤差ΔT，如圖3（d）所示。實際工程中四組誤差可能同時產生，綜合作用于齒輪。

圖3 螺旋錐齒輪安裝誤差示意圖Fig.3 Installation Error Diagram of Spiral Bevel Gear

2.2.2 考慮安裝誤差的齒輪嚙合方程

安裝誤差等因素會使齒面接觸方式從線接觸變為點接觸，現在我們對齒面接觸點進行分析，通過齒面接觸點來確定含安裝誤差的齒面接觸軌跡，從而進行存在安裝誤差的齒面接觸計算［10］。

我們根據螺旋錐齒輪齒面的展成運動，將刀盤切削軌跡方程進行坐標變換所得到齒面方程。我們分別令小輪坐標系為S1、大輪坐標系S2、齒輪剛性固連機架所在坐標系為S3，刀盤位置坐標系為Sqi、與刀盤機床固連的坐標系為Spi，考慮安裝誤差的坐標系為Se。通過嚙合原理，可知刀盤上一點M在坐標系Sq下的位置和方向矢量方程如下：

式中：u和θ—刀盤運動參數。

根據齒輪嚙合原理可得齒面嚙合方程

將刀盤上一點M根據坐標變換原理將其坐標系轉化至齒面坐標系，其方法為：

式中：Mi—各部件進行坐標變換的矩陣。我們通過求解齒面接觸點可以得到齒面接觸軌跡，初始瞬時接觸點滿足以下嚙合方程：

大小輪齒面方程如下：

式中：M12—從S1到S2的坐標變換矩陣。

通過考慮安裝誤差的齒輪嚙合方程可以求解得到存在安裝誤差的螺旋錐齒輪坐標，在前文建立的不含齒輪三維模型的基礎上利用UG軟件進行坐標調整，最終得到四組存在安裝誤差的螺旋錐齒輪三維模型。具體安裝誤差量，如表2所示。

表2 齒輪安裝誤差偏移量Tab.2 Deviation Value of Gear Installation Error

3 齒輪體網格劃分及有限元前處理

3.1 網格劃分

螺旋錐齒輪具有空間幾何復雜性，使得直接利用ABAQUS等有限元軟件生成的齒輪體網格有很大程度上的彎曲變形，降低了網格質量，對有限元分析會產生很大阻礙。所以我們利用有限元前處理軟件Hypermesh對齒輪進行網格劃分［11］。劃分方式，如圖4所示。先在一個齒的表面生成如圖的殼單元網格，接著在六面體網格劃分solid界面的drag操作面板選取網格和特征線，最終完成整個實體的切割。

圖4 網格劃分示意圖Fig.4 Schematic Diagram of Grid Division

3.2 有限元前處理

建立好的有限元網格模型，接下來對齒輪進行有限元前處理工作，如圖5所示。

圖5 有限元齒輪模型Fig.5 Finite Element Gear Model

（1）設置材料屬性，如表3所示。

表3 材料屬性Tab.3 Material Properties

（2）建立相互作用及約束：分別選中大齒輪面和小齒輪面作為相互作用面。設置法向接觸屬性為硬接觸，設置切向接觸屬性的摩擦系數為0.1。接下來分別在大小齒輪軸線上創建一個參考點，并在參考點與齒輪間創建“耦合”約束。

（3）設置分析步：因這里分別對模型做了動態和靜態分析，所以分別利用ABAQUS軟件的動力學模塊和靜力學模塊創建動力學分析步和靜力學分析步。

（4）靜態下的邊界條件及荷載設置：①固定大齒輪所有約束，對小齒輪施加微小轉動量，從而消除輪齒間隙。②對小齒輪仍然施加微小轉動量，并釋放大齒輪沿軸向的約束，確立齒輪傳動接觸的初始條件。③對小齒輪施加較大的轉動量，使小齒輪足以帶動大齒輪，進行正常的齒輪嚙合作用。考慮三種工況下的有限元分析結果，故大齒輪分別施加載荷300N·m、500N·m、800N·m。

（5）動態下的邊界條件及載荷設置：固定其他自由度，并釋放大小輪參考點上沿軸線方向上的旋轉自由度，并定義小輪轉速20rad/s，大輪所受荷載為500N·m，時間t=0.02s。

（6）輸出結果為：大小齒輪的接觸應力、大小輪齒根最大應力、大小輪轉角。

4 有限元分析

4.1 傳輸誤差的數學模型

齒輪傳動誤差（Transmission Error，TE）［12］是齒輪系統噪聲的主要來源。研究螺旋錐齒輪傳動誤差，對優化結構設計、降低振動和噪聲具有指導意義。螺旋錐齒輪兩齒面接觸時的第一個接觸點的傳動比與理論值相等，為隨后接觸繼續進行，接下來的各接觸點的傳動比與理論值會出現一定的偏差。已知小輪為主動輪，大輪為從動輪，假如傳動比始終恒定，大小等于理論值，則當主動輪轉角等于θ主時，從動輪的轉角大小為θ從=Z2/Z1·θ主。而當傳動過程中的各接觸點傳動比與理論值有一定的偏差時，θ從=Z2/Z1·θ主。此時理論值與實際轉角的偏差為可由式（18）表示。