混聯式壓氣機葉片打磨裝置的設計研究

董艇艦，張 吉，王亞楠，桑 超

（1.中國民航大學考管中心，天津 300300；2.中國民航大學航空工程學院，天津 300300）

1 引言

眾所周知，航空發動機屬于航空飛行器中重要的部件之一，其常被人稱為飛機的心臟［1］。而對于航空發動機，其最重要的零件當屬葉片。無論航空發動機中哪一部分的葉片存在瑕疵都直接影響到發動機的運行狀態。葉片屬于薄壁復雜自由曲面零件，葉身扭轉且截面多變化，因此對葉片表面加工處理難度較大［2］。

目前葉片在數控銑削等自動化加工方面技術相對成熟，但在精加工階段葉片表面的打磨拋光大多仍依靠傳統人工操作［3］。對某葉片加工生產廠實地參觀調研，發現工人在打磨葉片過程中工序繁瑣且葉片表面質量受工人熟練度影響，不能保證型面精度符合標準，如圖1所示。同時，打磨拋光葉片產生大量的粉塵和噪音同樣對工人健康造成很大影響。目前，實現葉片高精度的打磨拋光在國內外都沒有很好的解決方法。盡管在相對發達的西方國家，依舊沒能擺脫人工手磨拋光。因此開發設計一套自動化葉片打磨拋光裝置并且真正意義上代替手工打磨拋光顯得尤為重要。

圖1 人工打磨拋光葉片Fig.1 Manually Polished Blades

綜上所述，針對航空發動機壓氣機葉片設計一款混聯式打磨裝置。工作空間作為混聯打磨裝置的重要指標之一，通過研究混聯打磨裝置中并聯機構的運動學位置正反解并結合蒙特卡洛法與極限邊界數值搜索法得到并聯機構與混聯打磨裝置的工作空間，證明其滿足實際打磨時所需要的空間要求。為混聯打磨裝置樣機的搭建提供理論依據和參考。

2 混聯打磨裝置的設計

混聯打磨裝置主要由三大部分組成：砂帶磨削裝置、3-RPS并聯機構、十字滑動絲杠。其中串聯部分由十字滑動絲杠構成，其具有X和Y兩個運動方向。X方向的運動實現葉片葉長方向的打磨，Y方向的運動實現葉片葉寬方向的打磨。并聯部分為3-RPS并聯機構，3-RPS并聯機構有三個自由度，動平臺通過Z軸方向的上下平移實現葉片表面深度的磨削，動平臺繞X和Y軸的轉動完成位姿調整實現葉片與砂帶打磨頭充分接觸。混聯打磨裝置三維結構圖，如圖2所示。

圖2 混聯打磨裝置三維結構圖Fig.2 Three-Dimensional Structure Diagram of Hybrid Grinding Device

混聯打磨裝置中，3-RPS并聯機構和十字滑動絲杠的設計和應用如今已相對成熟和廣泛。因此，這里主要對砂帶磨削裝置的設計進行闡述。

砂帶磨削裝置的設計分為三部分：驅動傳動裝置，張緊裝置和砂帶打磨裝置［4］。張緊裝置位于整體鈑金外殼頂部，驅動和傳動裝置與電機相連位于打磨裝置靠近右側鈑金外殼處，打磨頭位于整體打磨裝置左下角，如圖3所示。砂帶磨削裝置中最重要的部分當屬砂帶打磨頭。打磨頭主要由接觸輪，六維力傳感器，伺服電動缸以及伺服電機組成，如圖4所示。六維力傳感器安裝在接觸輪的主軸上，測葉片磨削力的大小，起反饋調節的作用。伺服電機驅動伺服電動缸做伸縮運動，對葉片的打磨起到浮動帶補償的作用。打磨頭由四個直徑大小不同的接觸輪組成，根據葉片橫截面曲率不同選擇合適的接觸輪，提高打磨效率同時避免干涉。

圖3 砂帶磨削裝置Fig.3 Belt Grinding Device

圖4 浮動帶補償砂帶打磨頭Fig.4 Compensation Sand Belt Grinding Head

3 并聯機構位置正反解分析仿真

混聯磨削裝置設計完成后，利用歐拉角法和數值法分別對其并聯機構進行運動學位置正反解求解，并利用ADAMS軟件對并聯機構進行仿真。得到的位置正反解模型以及仿真結果為求解并聯機構和混聯機構的工作空間提供理論基礎。

3.1 求解3-RPS并聯機構的位置反解

依據動平臺的工作位置與位姿求驅動支桿的桿長是求解并聯機構位置反解的關鍵。首先建立3-RPS并聯機構坐標系，如圖5所示。假設動平臺坐標系到定平臺坐標系的位姿矩陣為，旋轉矩陣為。動平臺中心點O1在定平臺直角坐標系中的坐標為（Xa，Ya，Za）。通過歐拉角Z-Y-X（α-β-γ）詳細描述機構動平臺位姿的變換。

圖5 3-RPS并聯機構結構簡圖Fig.5 Structure of 3-RPS Parallel Mechanism

動平臺上的三個球鉸接點A1，A2，A3通過位姿變換轉為固定坐標系下坐標：

3-RPS并聯機構在運動過程中動平臺沿特定軌跡翻轉或平移受獨立運動變量的控制和影響。3-RPS并聯機構有六個位姿參數。受并聯機構轉動副空間限制，動平臺各鉸點運動也受到相應約束，動平臺鉸點A1，A2，A3具體的運動范圍：

利用獨立變量z，γ，β表示非獨立變量x，y，α為：

通過位姿變換矩陣動平臺上各球鉸點坐標轉化到固定坐標系下，驅動桿桿長等于動平臺球鉸中心和定平臺轉動副軸套中心點間的距離，其公式為：

3.2 3-RPS并聯機構位置正解求解

采用數值算法中的牛頓迭代法對并聯機構進行運動學位置正解求解［5］。依據位置反解求得的反解模型對公式兩側對時間求導得：

上式可以簡記為：{L'}=[J]·{Ak}，式中[J]—機構的雅可比矩陣；{Ak}=(z'，γ'，β')T—動平臺位姿獨立變量一階導數。

對等式兩邊同時乘dt得：

通過詳細的流程圖對牛頓迭代法求解過程進行闡述：

3.3 3-RPS并聯機構運動學位置正反解仿真

由圖5結構簡圖可知，并聯機構由動、定平臺，3個球鉸鏈，3根驅動支桿和3組軸、軸套、孔組成的轉動鉸鏈構成。并聯機構有3個自由度，能實現Z軸方向的移動和繞X，Y軸的轉動。利用ADAMS軟件對所搭建虛擬樣機進行運動學位置正反解仿真。

應用ADAMS進行運動學分析的具體步驟如下［6］：

（1）首先通過SolidWorks軟件完成機構各零部件的裝配，將三維模型保存成ADAMS兼容的“.x_t”格式；

（2）對導入ADAMS并聯機構的各零部件施加材料屬性，通過布爾操作簡化模型結構，添加合適的約束（包括運動副）和驅動后完成虛擬樣機搭建。

（3）在驅動中設置合適的激勵函數，完成虛擬樣機的運動學位置逆向仿真，求得反解。

（4）利用上述反解得的仿真數據應用到求解運動學位置正解中，得正解。搭建得到的虛擬樣機，如圖6所示。

圖6 3-RPS并聯機構虛擬樣機搭建Fig.6 Virtual Prototype of 3-RPS Parallel Mechanism

定平臺與大地固連，選擇動平臺中心點O作為被驅動點，添加成為一般點驅動。在Motion模塊中分別對并聯平臺中三個自由度方向添加時間位移函數，函數作為機構的約束控制各運動副的工作狀況，進而控制動平臺的運動規律。動平臺中心點O在X，Y，Z方向所定義的運行時間函數分別為：

Z向平移：disp（time）=2*time

繞X軸旋轉：disp（time）=pi/24*cos（time）

繞Y軸旋轉：disp（time）=pi/24*cos（time）

設置終止時間為4.8s，步長為0.01。觀察3-RPS平臺各個驅動桿的長度隨時間的變化規律，如圖7所示。

圖7 驅動桿x-t變化曲線Fig.7 x-t Curve of Driving Rod

根據驅動桿x-t變化曲線，將三條連續的曲線離散成若干點，導出數據點保存為.txt 文件格式，共481 個數據點。按照仿真時間為4.8s，時間間隔為0.01s 計算。并聯機構運動學正解得到的三條樣條曲線作為驅動函數導入ADAMS 中。三條樣條曲線命名為spline1，spline2，spline3。分別為三個驅動桿添加不同的驅動。

驅動函數分別為：

圖8 動平臺質心O沿Z軸x-t曲線Fig.8 Moving Platform Centroid O along the Z-axis x-t Curve

通過ADAMS 軟件將復雜的并聯機構運動學位置正逆求解利用仿真直觀且快速求。簡化了并聯機構運動學位置正解計算的同時也驗證了位置正反解公式正確性。3-RPS并聯機構位置正反解的分析與仿真驗證為后續并聯機構以及混聯打磨裝置的工作空間計算提供了理論依據。

4 并聯和混聯機構的工作空間求解

求取并聯機構和混聯打磨裝置的工作空間是測驗裝置是否滿足葉片打磨空間需求以及評價其工作性能的重要指標之一。并聯機構工作空間受運動關節影響，由機構中各運動副相互配合后運動副自身所能達到的最大工作范圍相互制約形成。這里利用數值法中的蒙特卡洛法和極限邊界搜索法相結合共同求解并聯機構的工作空間。

蒙特卡洛法是利用數學中概率的思想以概率統計為理論指導的方法，通過隨機采樣（或通過模擬隨機變量）解決數學問題的數值方法［7］。但利用隨機采樣不能完全符合該并聯機構的工作空間求解模型，因此在隨機采樣基礎上稍做改變構造隨機概率模型以適應該算法。

并聯機構動平臺質心在坐標系中的坐標可表示為c=c（d）。式中c=（cx，cy，cz），代表慣性坐標系中的位置向量；d=（d1，d2，…，dn）代表并聯機構中各運動副的關節點向量。各個運動副都有其運動范圍限制，即：dimin≤di≤dimax，（i=1，2，…，n）。原理可表示為：W=

3-RPS并聯機構工作空間算法為：

（1）分析并聯平臺中每個運動副的運動范圍并在該范圍內得到N個由運動副組成的關節空間向量。

（2）通過并聯機構運動學位置正解方程求得N個由運動副組成的關節空間向量對應的N個空間隨機分布點集合。

（3）在MATLAB 中通過編程語言實現動平臺工作時所能到達最大位置的數據點分散圖像。

（4）搜索空間中符合條件的邊界點構成完整的點云圖。

打磨拋光壓氣機葉片過程中，并聯機構通過調節動平臺的位姿使砂輪與葉片包絡曲面相互接觸。此時，球面副與轉動副的轉角范圍受葉片截面曲線彎曲程度影響，運動范圍受到限制。葉片磨削深度的變化是通過改變驅動支桿桿長完成，因此桿長的變化直接影響到機構縱向工作空間大小。

轉動副轉角θi的約束條件為：θmin≤θi≤θmax；

球面副轉角Ψi的約束條件為：ψmin≤ψi≤ψmax；

桿長約束條件為：lmin≤li≤lmax

這里研究的混聯打磨裝置，上平臺球鉸接的分布呈120°，各驅動桿之間由于自身結構特點不發生干涉。球鉸接到動平臺的距離為50mm，轉動副到定平臺的距離為75mm，驅動支桿原長為202mm，伸縮范圍（±40）mm，球鉸接擺角范圍是60°，轉動副擺角范圍是（5～65）°。設置2000 個原始隨機點，在MATLAB 中得到動平臺質心點的分布情況，如圖9 所示。為更直觀的觀察點云分布，對隨機點所構成的工作空間圖像分層分割并將每層能到達最大位置的點相連成包絡線。包絡線的形成以運動學位置反解為基礎，利用極限邊界數值搜索法判斷每個隨機點所對應的驅動桿桿長和轉動副轉角是否滿足其限制條件［8］。Z軸方向包絡線間隔2mm，如圖10所示。

圖9 3-RPS并聯平臺空間點云圖Fig.9 Point Cloud Diagram of 3-RPS Parallel Platform Space

圖10 3-RPS并聯平臺工作空間Fig.10 3-RPS Parallel Platform Workspace

得到并聯機構的工作空間后，研究混聯打磨裝置的工作空間。混聯裝置的工作空間為并聯與串聯機構分別在有限的運動范圍內相互疊加形成，其疊加屬于三維空間求和運算。已知十字滑動絲杠在X、Y方向的運動范圍是（-150mm，150mm），因此混聯打磨裝置在二維平面內的工作空間范圍確定。垂直方向的工作空間由并聯機構確定。工作空間，如圖11所示。

圖11 混聯打磨裝置工作空間Fig.11 Working Space of Hybrid Grinding Device

5 結論

（1）以運動學位置正反解為基礎，將蒙特卡洛法和極限邊界搜索法相結合對混聯打磨裝置的工作空間求解。結果表明混聯打磨裝置的設計滿足葉片在磨削過程的打磨空間要求。

（2）蒙特卡洛法與極限邊界搜索法相結合的方法大大提高了求解并聯機構工作空間的準確性和直觀性。