基于變密度法的機(jī)械臂3D打印輕量化設(shè)計(jì)方法研究

張國(guó)鋒，徐 雷，李大雙，王 鑫

（四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610065）

1 引言

近些年，增材制造（3D打印）技術(shù)取得了快速發(fā)展，社會(huì)認(rèn)知度逐漸提高。3D 打印的產(chǎn)品研制周期短，這提高了設(shè)計(jì)效率、降低了設(shè)計(jì)成本［1］。然而，目前3D打印技術(shù)尚未成熟，材料成本較高，而模型輕量化是減少耗材的有效手段［2］。拓?fù)鋬?yōu)化方法是目前主要的模型輕量化技術(shù)［3］，其主要是將優(yōu)化空間的材料離散成有限個(gè)單元并進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，再根據(jù)特定的優(yōu)化方式從中去除某些單元，用剩余單元描述研究對(duì)象的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，從而在滿足一定性能要求下實(shí)現(xiàn)輕量化，常用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的概念設(shè)計(jì)階段［4］。文獻(xiàn)［5］提出了基于拓?fù)鋬?yōu)化的橋梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，文獻(xiàn)［6］提出了基于密度法的SIMP理論的機(jī)罩結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，文獻(xiàn)［7］提出了基于SIMP方法的白色電動(dòng)車車身拓?fù)鋬?yōu)化方法。

機(jī)械大臂是六自由度工業(yè)機(jī)器人中基座與機(jī)械小臂之間的連接機(jī)構(gòu)，在整個(gè)機(jī)械臂系統(tǒng)起重要作用。由于機(jī)械大臂結(jié)構(gòu)尺寸大、質(zhì)量重，在滿足負(fù)載要求的情況下，對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化［8］。在傳統(tǒng)的產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，未考慮結(jié)構(gòu)在運(yùn)行過(guò)程中所受的載荷和約束的變化，通常是基于制造技術(shù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)產(chǎn)品組合進(jìn)行定性分析，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)僅根據(jù)原始經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行調(diào)整，不僅大大增加了設(shè)計(jì)周期，而且難度較大。同時(shí)，為保證其安全性，設(shè)計(jì)中通常增加結(jié)構(gòu)的剛度和強(qiáng)度，使整體重量的增加，材料無(wú)法發(fā)揮潛力，難以充分發(fā)揮產(chǎn)品性能［9］?；诠腆w各向同性懲罰函數(shù)法［10］（Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP）的基本思想，以RB-10-001型工業(yè)機(jī)器人的機(jī)械大臂作為研究對(duì)象，開(kāi)展機(jī)械臂3D打印輕量化設(shè)計(jì)方法研究，提出了基于變密度法的機(jī)械臂輕量化設(shè)計(jì)方法。

2 基于變密度法的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

固體各向同性材料的懲罰法（SIMP）即變密度法［10］已成為解決拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的最流行的方法之一。變密度法作為連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的主要方法之一，其主要是設(shè)計(jì)域被離散成一個(gè)由X軸上的元素集合NX={1，2，···，x，···，|NX|}和由Y軸上的元素集合NY={1，2，···，y，···，|NY|}定義的有限元單元，將每個(gè)單元中元素的相對(duì)密度(ρ(x，y)，(x，y)∈NX×NY)作為設(shè)計(jì)變量(0 ≤ρ(x，y)≤1)［11］。變密度法假定每個(gè)單元的剛度矩陣依賴于懲罰因子p相對(duì)密度的改變，建立材料相對(duì)密度與材料彈性模量間顯示非線性的函數(shù)關(guān)系［12］，如圖1所示。隨著懲罰因子p的增加，結(jié)構(gòu)剛度逐漸受到懲罰，對(duì)給定體積的材料，其中間密度值向兩端收斂，在單元網(wǎng)格的約束下拓?fù)鋬?yōu)化單元將重新分布，懲罰因子p一般是通過(guò)連續(xù)法從下界遞增到上界，每一步收斂后p遞增，以避免過(guò)早收斂到局部最小值［12］。

圖1 SIMP密度插值函數(shù)模型Fig.1 Density Interpolation Function Model

基于變密度法的數(shù)學(xué)模型［11］如下：

式中：C（ρ）—給定拓?fù)涞娜岫?，其由決策變量ρ（x，y）的密度向量ρ定義；U—全局位移矢量；F—全局負(fù)載向量；K—全局剛度矩陣；u（x，y）—元素位移矢量；k0—元素剛度矩陣；ρmin—一個(gè)包含最低允許相對(duì)密度的向量（為避免奇點(diǎn)，保證ρmin＞0）；V（ρ）—材料體積；V0—設(shè)計(jì)域的體積；f—預(yù)先設(shè)定的體積分?jǐn)?shù)；|NX|和|NY|—有限元單元在X軸和Y軸方向上的元素個(gè)數(shù)。

3 機(jī)械臂輕量化設(shè)計(jì)

通過(guò)對(duì)RB-10-001型工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析選取優(yōu)化對(duì)象，并對(duì)優(yōu)化模型預(yù)處理，設(shè)定拓?fù)鋬?yōu)化條件，選取設(shè)計(jì)區(qū)域［13］，選用HyperWorks中的OptiStruct求解器進(jìn)行有限元分析，提取拓?fù)鋬?yōu)化模型，對(duì)其模型重構(gòu)，并對(duì)重構(gòu)模型進(jìn)行有限元分析［14］。有關(guān)整個(gè)優(yōu)化過(guò)程，如圖2所示。

圖2 優(yōu)化過(guò)程流程圖Fig.2 Optimization Process Flow Chart

3.1 機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化與力學(xué)分析

RB-10-001 型工業(yè)機(jī)器人為六自由度機(jī)器人模型，如圖3所示。其中，在工作過(guò)程中，六個(gè)關(guān)節(jié)聯(lián)合控制它的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。忽略各關(guān)節(jié)間附加連接結(jié)構(gòu)的影響，通過(guò)模態(tài)分析，載荷主要集中于機(jī)械大臂兩端［8］。因機(jī)械大臂與連桿、連桿傳動(dòng)軸、小臂座及大臂座間存在約束與被約束關(guān)系，因此將上述結(jié)構(gòu)做整體考慮（為便于表述，將這一整體統(tǒng)稱為機(jī)械臂），選為優(yōu)化處理對(duì)象。

圖3 RB-10-001型工業(yè)機(jī)器人模型Fig.3 Rb-10-001 Industrial Robot Model

小臂部分處理為剛臂，與臂座相連的箱體處理地面，對(duì)機(jī)械臂整體進(jìn)一步幾何特征簡(jiǎn)化，主要包括去除電機(jī)、齒輪螺栓等不重要零部件以及部分對(duì)應(yīng)力分布影響不大微小特征如倒角、圓角等，機(jī)械臂簡(jiǎn)化模型，如圖4所示。簡(jiǎn)化工業(yè)機(jī)器人模型，可減少優(yōu)化過(guò)程中的計(jì)算量。通過(guò)對(duì)RB-10-001型工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，以機(jī)械手前爪夾持端為集中受力部位，考慮以下三種工況條件，為機(jī)械臂結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)的提供載荷條件。具體工況如下：工況一，夾持端受沿X正方向150N的力；工況二，夾持端受沿Z正方向150N的力；工況三，夾持端受沿著Y正方向20N的側(cè)向力。

圖4 機(jī)械臂簡(jiǎn)化模型Fig.4 Simplified Model of Manipulator

3.2 機(jī)械臂拓?fù)鋬?yōu)化

3.2.1 機(jī)械臂優(yōu)化前處理

使用HyperMesh 對(duì)簡(jiǎn)化模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，大臂部分為殼體，兩端是與大臂座及小臂做連接的法蘭，具有實(shí)體特征。對(duì)其直接實(shí)體處理，將加大網(wǎng)格量，因此，大臂主體使用殼單元特征，進(jìn)行2D網(wǎng)格單元?jiǎng)澐?，以便縮短求解時(shí)間，避免網(wǎng)格數(shù)量過(guò)多無(wú)法分析等問(wèn)題。機(jī)械臂主體與兩端法蘭使用RBE3單元連接；不考慮軸的變形，均用RBE2 剛性單元簡(jiǎn)化軸；軸與孔內(nèi)壁使用RBE2單元連接；定義機(jī)械臂材料特性參數(shù)，將三個(gè)工況的載荷分別施加在劃分好網(wǎng)格的簡(jiǎn)化模型上，進(jìn)行有限元計(jì)算。得到位移結(jié)果作為拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)的約束條件。

通過(guò)有限元分析計(jì)算得到位移結(jié)果作為拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)的約束條件。在不同工況下簡(jiǎn)化模型的位移及應(yīng)力云圖，如圖5所示。由圖可知，在工況一力的作用下，機(jī)械臂的最大位移為0.152mm，最大應(yīng)力為5.375MPa，經(jīng)分析連桿及連桿連接軸受力相對(duì)較大。在工況二力的作用下，機(jī)械臂的最大位移為0.041mm，最大應(yīng)力為2.349MPa，經(jīng)分析連桿、連桿傳動(dòng)軸及大臂受力均相對(duì)較大。在工況三力的作用下，機(jī)械臂的最大位移為0.175mm，最大應(yīng)力為9.488MPa，經(jīng)分析因大臂在抵抗側(cè)向彎曲中起主要作用大臂，其應(yīng)力相對(duì)較大。

圖5 簡(jiǎn)化模型不同工況位移及應(yīng)力云圖Fig.5 Cloud Chart of Displacement and Stress in Different Conditions of Simplified Model

3.2.2 機(jī)械臂結(jié)構(gòu)優(yōu)化

經(jīng)上述分析，可知：（1）臂座全程應(yīng)力，直接優(yōu)化，不進(jìn)行處理。（2）連桿應(yīng)力分布集中在上下邊緣，中部應(yīng)力相對(duì)較小，該部分變形較大，需額外增設(shè)優(yōu)化空間。（3）大臂部分原加強(qiáng)筋效果不明顯，改用在中部增設(shè)加強(qiáng)筋，進(jìn)行優(yōu)化。經(jīng)SolidWorks重新建模，得到機(jī)械大臂優(yōu)化模型，如圖6所示。

圖6 機(jī)械大臂優(yōu)化模型Fig.6 Optimization Model of Manipulator

3.2.3 機(jī)械臂拓?fù)鋬?yōu)化

采用Altair HyperWorks的OptiStruct求解器來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的拓?fù)鋬?yōu)化分析過(guò)程。OptiStruct是面向產(chǎn)品設(shè)計(jì)、分析和優(yōu)化的有限元和結(jié)構(gòu)優(yōu)化求解器，其采用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法，通過(guò)求解靈敏度構(gòu)造近似顯示模型，采用小步長(zhǎng)迭代找到最優(yōu)解［15］。

對(duì)機(jī)械臂優(yōu)化模型有限元分析，定義極限受載情況，確定拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)的載荷方式為靜載。綜合考慮各工況的影響，以多工況加權(quán)柔順性為設(shè)計(jì)目標(biāo)，參考簡(jiǎn)化模型結(jié)構(gòu)在各工況的位移云圖，定義不同工況下的位移約束，設(shè)計(jì)變量為單元密度。同時(shí)，為實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂輕量化的目的，設(shè)定體積函數(shù)最小的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)條件，選擇體積比上限為0.3，設(shè)定最大迭代步100，罰指數(shù)3［14］。運(yùn)行OptiStruct求解器優(yōu)化計(jì)算，得到目標(biāo)函數(shù)迭代38次時(shí)收斂效果較好，得到拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，如圖7所示。

圖7 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.7 Topology Optimization Results

3.2.4 機(jī)械臂模型重構(gòu)

根據(jù)機(jī)械臂拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行重構(gòu)處理。大臂主體采用類桁架結(jié)構(gòu)，連桿采用普通直桿結(jié)構(gòu)，大臂座做挖空處理，其余結(jié)構(gòu)單元保留原始結(jié)構(gòu)特征。為避免各結(jié)構(gòu)單元連接處產(chǎn)生裝配不良的現(xiàn)象，對(duì)其做加強(qiáng)處理。最后得到機(jī)械臂重構(gòu)模型，如圖8所示。

圖8 機(jī)械臂重構(gòu)模型Fig.8 Reconstruction Model of Manipulator

3.2.5 機(jī)械臂重構(gòu)模型有限元分析

對(duì)重構(gòu)模型進(jìn)行有限元分析，只要重構(gòu)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并設(shè)定與優(yōu)化模型相同的邊界條件，定義極限載荷工況。完成上述約束和加載后，通過(guò)求解器，計(jì)算得到重構(gòu)模型在不同工況下簡(jiǎn)化模型的位移及應(yīng)力云圖，如圖9所示。由圖9可知，在工況一力的作用下，機(jī)械臂重構(gòu)模型的最大位移為0.084mm，最大應(yīng)力為5.635MPa。在工況二力的作用下，重構(gòu)模型的最大位移為0.021mm，最大應(yīng)力為2.72MPa，在工況三力的作用下，重構(gòu)模型的最大位移為0.126mm，最大應(yīng)力為3.008MPa。

圖9 重構(gòu)模型工況三位移及應(yīng)力云圖Fig.9 Cloud Chart of Displacement and Stress in Different Conditions of Reconstruction Model

4 機(jī)械臂3D打印模型試制

結(jié)合3D打印技術(shù)能夠制造結(jié)構(gòu)復(fù)雜的模型，精確的實(shí)體復(fù)制等特點(diǎn)，對(duì)機(jī)械臂前后優(yōu)化模型進(jìn)行模型試制。開(kāi)展模型試制的目的在于驗(yàn)證增材制造可靠性以及重量關(guān)系，因而將兩個(gè)模型的三維模型數(shù)據(jù)按照1：5進(jìn)行縮放，選用P430XL ABS材質(zhì)，使用uPrint SE型3D打印機(jī)進(jìn)行模型試制。通過(guò)對(duì)兩個(gè)模型的試制研究，發(fā)現(xiàn)模型通過(guò)3D打印技術(shù)在臺(tái)階清角、高自由度曲面及復(fù)雜鏤空結(jié)構(gòu)等細(xì)節(jié)理想呈現(xiàn)，重構(gòu)模型中拓?fù)鋬?yōu)化后的3D打印模型，如圖10所示。

圖10 重構(gòu)模型3D打印Fig.10 3D Printing of Reconstruction Model

5 結(jié)果分析

通過(guò)分析機(jī)械臂原始模型和優(yōu)化模型位移和應(yīng)力云圖，原始模型與優(yōu)化模型在相同工況下的位移及應(yīng)力對(duì)比，如表1所示。由表可知，在相同的載荷下，優(yōu)化模型在的最大位移較原始模型均有減小，滿足設(shè)計(jì)要求；在工況一及工況二的載荷下，優(yōu)化模型的最大應(yīng)力較原始模型略有增加，但最大應(yīng)力值仍滿足材料最大應(yīng)力要求，同時(shí)，應(yīng)力分布更為均勻；在工況三的載荷下，應(yīng)力由9.488MPa 減小至3.008MPa，減小了6.480MPa，說(shuō)明優(yōu)化模型提高了機(jī)械臂的剛度，提升了其抵抗側(cè)向彎曲變形的能力。

表1 優(yōu)化前后位移及應(yīng)力對(duì)比Tab.1 Comparison of Displacement and Stress about Optimization

通過(guò)HyperMesh中mass calc功能測(cè)量出機(jī)械臂簡(jiǎn)化模型及重構(gòu)模型的理論質(zhì)量，如圖11 所示。通過(guò)統(tǒng)一計(jì)量秤（精度0.01g）確定經(jīng)3D 打印試制的兩個(gè)實(shí)物模型的重量，如圖12 所示。機(jī)械臂優(yōu)化前后質(zhì)量結(jié)果對(duì)比，如表2所示。由表可知，優(yōu)化前后機(jī)械臂理論質(zhì)量減輕23.68%，優(yōu)化前后機(jī)械臂3D 打印模型質(zhì)量減輕23.27%，相對(duì)誤差Δ 為0.41%。結(jié)果表明，3D 打印的加工方法具備良好的實(shí)體精確復(fù)制的特點(diǎn)，其控制加工誤差的能力較好。

圖11 模型理論質(zhì)量Fig.11 Theoretical Quality of Model

圖12 3D打印模型質(zhì)量Fig.12 Quality of 3D Printing Model

表2 機(jī)械臂優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of Optimization Results of Manipulator

6 結(jié)論

基于變密度法的優(yōu)化策略為連續(xù)體的拓?fù)鋬?yōu)化提供了一種優(yōu)化方法及優(yōu)化思路，這里在變密度法的理論基礎(chǔ)上對(duì)RB-10-001型工業(yè)機(jī)器人中的機(jī)械臂進(jìn)行了輕量化設(shè)計(jì)與研究，通過(guò)分析機(jī)械臂模型位移、應(yīng)力云圖和拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，基于增材制造在復(fù)雜結(jié)構(gòu)形成中的加工優(yōu)勢(shì)，進(jìn)行了機(jī)械臂的二次建模和改造設(shè)計(jì)，并通過(guò)3D打印對(duì)模型試制，在保證結(jié)構(gòu)滿足性能要求的前提下減輕重量?；趦?yōu)化前的機(jī)械臂的性能和質(zhì)量比較，滿足機(jī)械臂的性能要求，達(dá)到了機(jī)械臂輕量化設(shè)計(jì)的目的。增材制造技術(shù)為復(fù)雜零件的加工提供了新的技術(shù)途徑。采用增材制造技術(shù)和拓?fù)鋬?yōu)化的處理方法，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的輕量化，與經(jīng)驗(yàn)方法獲得的機(jī)械臂相比，獲得了更加合理的結(jié)構(gòu)形式。這為機(jī)械臂輕量化設(shè)計(jì)提供了一種設(shè)計(jì)思路，同時(shí)也為其他構(gòu)件的輕量化設(shè)計(jì)提供了優(yōu)化思路。