基于Matlab的混合泳隊接力賽選拔方案優化探究

李麗容

（武漢學院信息工程學院，湖北 武漢 430212）

0 引言

文獻[1]中例題：混合泳隊接力賽選拔方案采用Lingo軟件求解，下面筆者采用Matlab優化工具箱中的intlinprog函數求解，并將其同Lingo軟件求解結果進行比較，分析這兩種目前學生最常用的軟件求解方案各自的特點及實用性，便于學生在求解過程中進行合適的選擇。

題目：某泳隊要從5個人中選4人參加4100米混合泳接力賽，5名候選人百米成績見表1：

表1 5名候選人的百米成績

請根據以上表格給出的數據，建立數學模型，解決下面問題：

（1）怎樣選拔組成4100米混合泳接力隊？

（2）甲的仰泳成績進步到1'05''4，丁的蛙泳成績退步到1'15''2，戊的自由泳成績進步到54''5，組成接力隊的方案需要調整嗎？應該怎樣調整？

1 問題分析及模型的建立

1.1 問題分析

該問題是比較常見的0-1型整數規劃問題，在日常生活安排和企業生產管理工作中，常常要給人分派工作或給機器指派任務等，我們一般把這類問題也叫指派問題。它是最優化問題的一種，它的問題模型是給個人（人泛指可以執行任務的一切物體）指派完成項任務，并通過每個人完成每件任務的工作效率來研究如何分配任務資源，使完成任務所消耗的總資源最少或總利潤最大。因決策變量只有0和1兩種取值，在問題討論時，通常把某個人是否執行某項任務取值為1和0，從而建立一般指派問題的0-1規劃模型。

1.2 模型的建立

2 用Matlab優化工具箱中函數求解整數規劃模型

Matlab作為一款非常強大的科學計算軟件，在能夠自己編寫程序的同時，也可以利用其工具箱中已有的函數進行求解，比如Matlab優化工具箱中提供了各種優化問題的求解函數，線性規劃linprog函數，二次規劃quadprog函數等等。

但對于整數規劃,并不能簡單地把已得的非整數解舍入化整就可以了，因為化整后的數不一定是可行解和最優解，應該用特殊的方法來求解整數規劃，因此就有很多學者探尋出各種不同的方法，以前Matlab是不能直接求解這類規劃的，bintprog函數只可以用來求0-1整數規劃，求解過程比較麻煩，而且bintprog在2014b中就取消了，官方建議用intlinprog代替，intlinprog是2014a引入的函數，是一個比較新的、專用于求解各類整數線性規劃包括0-1整數規劃，也可用于求解混合整數線性規劃問題。其標準模型為：

綠色建筑工程造價成本的預估是在項目建設前期進行招投標環節進行的，主要是預測在項目建成所需要花費的費用，這是建筑項目能夠保質保量順利建成的重要參考標準。綠色建筑工程的造價成本需要考慮一定的精確性，與此同時，還需要兼顧成本造價的速度。對于招投標環節來說，造價成本的預估速度和精確度直接影響了投標單位能否順利中標。工程造價估算成本的重要意義體現在以下幾個方面：

該函數的使用僅僅是在linprog函數的基礎上多加了一個參數──intcon，用來約束整數變量的位置，和線性規劃函數linprog函數的使用很相似。例如：

改寫模型成標準形式如下：

于是，調用Matlab優化工具箱中intlinprog函數，其代碼可寫為：

Matlab優化工具箱中的優化函數都要求目標函數值最小，如果優化問題要求目標函數值最大，可使該目標函數的負值最小化來達到目的；缺省的條件用[]來替代。

下面調用Matlab優化工具箱中intlinprog函數求解文獻[1]中混合泳接力選拔問題：

為了計算方便，先將所有隊員各種泳姿的百米成績進行換算，以秒為單位，有下面表2：

表2 cij(秒)隊員i第j種泳姿的百米成績

為了將模型改寫成標準形式，將20個0-1決策變量按表2中從上至下，從左至右順序改成于是用intlinprog函數求解混合泳接力選拔的，須先將模型改寫成標準形式：

由于維數比較大，這里采用kron函數將矩陣A寫成：A=kron(eye(5),ones(1,4))，b是由5個1構成的列向量。

于是，混合泳接力選拔模型的代碼可寫為：

從結果可以看到x4,x5,x10,x15=1，即被選。

表3 5名候選人被選中的4人及相應泳姿

3 模型結果分析及比較

比較Matlab優化工具箱中intlinprog函數相較Matlab2014a版之前的bintprog函數只能求解0-1整數規劃類問題，它實用性更廣，它可以求解一般整數規劃問題，還可以解決0-1整數規劃問題，只要在求解整數規劃的基礎上加上一個對變量最大值約束為1就行了；還可以求解混合整數規劃類問題，只需用參數intcon說明整數約束變量的位置即可。另外，該函數有非常固定的標準模型，學生只需要將一般模型轉化成標準模型，然后編寫成代碼即可求解，且結果還比較可靠，計算的精度也很高，避免了應用其他語言程序過于復雜、調試困難等這樣的缺點,提高了計算效果，學起來也比較容易，操作也很方便，比較適合初學的同學。

4 結語

針對混合泳隊接力賽選拔方案這一類0-1整數規劃問題，也叫做指派問題，就是很多項任務指派給一些候選人來完成，每人的專長不同，完成每項任務取得的效益或需要的資源也不同，怎樣分派任務使獲得的總效益最大，或付出的總資源最少；或者很多種策略可以供選擇，各種不同策略得到的收益或付出的成本不同，每個策略之間有相互制約關系，怎樣在滿足一定條件下作出抉擇，使得收益最大或成本最小。這些都可以建立相同的數學模型，根據具體要求對約束條件作簡單變化，即得相應模型，由此都能采用Matlab中intlinprog函數來求解。筆者在講解這一類型時，引導學生進行歸納總結，反復練習，對該函數的固定的模型熟練轉化為標準模型，然后編寫成代碼進行求解。通過同類型題目練習，結果表明：intlinprog函數求解這一類問題簡單易學，易于理解掌握，優于其他函數。