淺論函數奇偶性的判斷方法

335500 江西省萬年縣萬年中學 徐 廣

335500 江西省萬年縣萬年一中 李 敏

函數的奇偶性是函數的重要性質，也是高考的重點與熱點，更是廣大高中生的易錯點．學好函數的奇偶性一直是廣大高中生的訴求，要掌握好函數奇偶性的判斷方法，可以從以下三個方面入手．

一、 關于函數奇偶性的定義

北師大版高中數學教材中關于函數奇偶性的定義簡述如下.

設函數y=f(x)，x∈I，且對任意x∈I，恒有-x∈I(即定義域要關于原點對稱)，(1)若f(-x)=-f(x)，則稱y=f(x)為奇函數；(2)若f(-x)=f(x)，則稱y=f(x)為偶函數．

上述定義從理論上說明，定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個前提．相當一部分學生常常忽視所給函數的定義域，直接用函數奇偶性的判別式確定其奇偶性，很容易得出錯誤的結論．

錯解：由題意可得F(x)=x2，從而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)為偶函數．

評析：上述解答沒有求出函數的定義域，忽視了判斷函數的定義域是否關于原點對稱．

正解：因為y=F(x)的定義域為(-∞,1)∪(1,+∞)，不關于原點對稱，所以y=F(x) 不具有奇偶性．

因此，教師在講授新課時，一定要強調定義域關于原點對稱的重要性與先決性．

評析：上述解法沒有考慮0是否屬于f(x)的定義域，而是默認f(x)在x=0處有定義．

解析：注意到函數的定義域要關于原點對稱，已知x≠-2且x≠a，所以要保證定義域對稱，則a=2，這是f(x)為奇函數的必要條件，經驗證，符合題意．

二、 函數奇偶性的四則運算合成

在掌握了初等函數的奇偶性后，對于給定的復雜函數的奇偶性，往往不需要直接用定義方法來證明或判斷，而是用合成方法處理．

設在公共定義域內，函數f(x)和f0(x)為奇函數，而g(x)與g0(x)為偶函數，k，c為常數，則有如下結論.

(1)當k≠0時，y=kf(x)為奇函數，y=kg(x)為偶函數．特別地，當k=0時，y=kf(x)和y=kg(x)既是奇函數也是偶函數．

(2)當c≠0時，y=f(x)+c不是奇函數,y=g(x)+c為偶函數．

(3)y=f(x)±f0(x)為奇函數，y=g(x)±g0(x)為偶函數．

(5)y=f(x)f0(x)為偶函數，y=g(x)g0(x)為偶函數．

(6)y=f(x)g(x)為奇函數．

(7)設h(x)=kf(x)+cg(x)(其中f(x)不為偶函數，g(x)不為奇函數),若h(x)為奇函數，則c=0；若h(x)為偶函數，則k=0.

例4判斷下列函數的奇偶性．

例5設F(x)=x3+(t-1)x2為R上的奇函數，求實數t的值．

解：由題意可得t-1=0，即t=1．

這里可以直接省去用F(-1)=-F(1)計算得出結果，或者由計算稍微復雜的F(-x)+F(x)=0推導得到結果．

分析：因為f(x)在x=0處有定義，所以f(0)=0，可得a=1，所以分子為x，是奇函數，而f(x)為奇函數，所以分母x4+bx+1必須為偶函數，即有b=0．

這里主要應用了函數y=0既是奇函數也是偶函數的性質，在判斷加減復合的過程中，將“雜項”變換為常數0，消除它的影響．

三、 復合函數的奇偶性

對于復合函數的奇偶性，也可以用復合法則進行判斷．

設函數y=f(t)與t=g(x)分別為復合函數y=f[g(x)]的外層函數(簡稱外函數)和內層函數(簡稱內函數)，則y=f[g(x)]的奇偶性如表1所示.

表1

由奇函數和偶函數的性質，可知奇函數中自變量帶有負號可以向外提出，而偶函數自變量中的負號不能向外提出，即可內消．

因此，可以歸納出判斷復合函數奇偶性的方法.首先，判斷定義域是否關于原點對稱；其次，不論是幾層復合函數，一旦有一層為偶函數，則復合函數為偶函數，否則為奇函數．

例7判斷下列函數的奇偶性．

(1)f(x)=sin(x3-x)；(2)g(x)=cos(x3+x)；(3)h(x)=|tanx|．

這種方法方便學生在審題時確定函數的奇偶性，但在處理具體問題時，一定要確認其定義域關于原點的對稱性．

四、 函數的局部奇偶性

對于奇(偶)函數平移后得到的新函數，在此將其稱為具有局部奇偶性函數，常用分離方法處理這類問題．

例8設函數f(x)=asinx-bx3+1，且f(3)=5，求f(-3)的值．

分析：對于函數f(x)=asinx-bx3+1，其中asinx-bx3為奇函數，y=f(x)的圖像可由g(x)=asinx-bx3的圖像向上平移1個單位得到．要求f(-3)，關鍵要求出g(-3)的值，而g(-3)=-g(3)．顯然，g(3)=f(3)-1．

解：設g(x)=asinx-bx3，則f(x)=g(x)+1，所以f(3)=g(3)+1=5．

從而，g(3)=4，g(-3)=-g(3)=-4，則f(-3)=g(-3)+1=-3．

綜上可知，要熟練掌握函數的奇偶性，不但要深刻理解奇偶性的定義，而且要能領會奇偶函數的本質特征．