極限思想在高中數學中的運用
——以圓錐曲線為例

姚 婷 吳如光

(南京師范大學附屬中學秦淮科技高中 210003)

1 背景分析

極限對于學生來說并不陌生，小學階段對于無窮大的數的感悟，初中階段對于反比例函數圖象的探究，高中階段對于加速度概念的理解，無一不滲透著極限思想．章建躍博士在文[1]中指出：“在中學階段,掌握一些微積分的初步知識,對發展學生的理性思維、增強數學應用能力等都是非常有用的．”極限思想是一種重要的數學思想，雖然高中數學教材中沒有明確極限的概念，但極限思想卻始終貫穿著高中數學的學習，以導數為典型，解析幾何、立體幾何、數列、三角函數等內容的學習過程中也繞不開極限．雖然高等數學中用“ε-δ”語言表述的極限定義對于中學生來講難以接受，但是極限思想卻是可以在學習中不斷滲透的．利用極限思想，往往可以引導解題方向、規避復雜運算、突破解題難點．本文將結合圓錐曲線談談極限思想在高中數學中的運用．

2 引例分析

在高三一輪復習過程中，筆者發現，學生能熟練運用方程思想聯立方程組，并通過韋達定理得A，B兩點坐標之間的關系，解題的難點在于，轉化條件kPA+kPB=1后得到的關于k，m的二次式該如何處置？有經驗的學生知道要因式分解，但不知如何分解.如果能順利分解因式，問題就迎刃而解．教學中教師如果僅僅告知學生，這一步需要因式分解，即便教會學生“雙十字相乘”因式分解法，學生對于相似的題型仍然是茫然的．解題教學不應當局限于這一道題的解法，更應引導學生厘清問題的本質．

筆者認為，有幾個問題是必須要搞清楚的： ①為什么直線l過定點？②為什么需要因式分解？③因式分解后得到的因式之一恰好過點P，這是偶然還是必然？④最后求得的定點在x軸上，這又是偶然還是必然？首先關于問題①②，直線l的方程為y=kx+m，由于kPA+kPB=1，直線l中的參數k，m必然有著確定的關系，故直線l有可能過定點或定斜率；反之，若直線l過定點，則必存在k與m的線性關系，故得到關于k，m的二次式后需要想辦法進行因式分解．

3 極限思想的運用

3.1 尋找極限位置，確定定點

3.2 利用極限位置，計算定值

圖1

點評 換個角度來思考該問題，直線l在變化過程中，極限位置是與橢圓相切，此時直線B1M與直線B2N交于一點，該點即為直線l與橢圓相切的切點，該點的縱坐標即為所求．利用極限思想，可以快速確定定值．

3.3 運用極限思想，求解范圍

4 幾點教學建議

4.1 分析極限狀態，明辨解題思路

例3已知直線y=2x與橢圓E：x2+2y2=1交于A，B兩點(點A在第一象限)，點P(-4t，t)在橢圓E內部，射線AP，BP與橢圓E的另一交點分別為C，D．求證：直線CD的斜率為定值．

圖2

解析幾何的解題思路非常重要，因為計算量大，往往“沒有回頭路”，教學中一定要引導學生先分析解題思路，理清楚解題步驟，預估計算量，計算時多想兩步，才能簡化計算，高效解題．利用極限思想判斷出直線CD的斜率為2，為后續的證明打開了思路，抓住了變化中的不變量，解題方向更加清晰．

4.2 妙用極限思想，優化解題過程

在上述例題中，動直線的極限狀態往往是切線或過已知點狀態，若動直線過定點，則極限狀態也過定點，所以兩種極限狀態下同時滿足的定點通常可以預判，這樣也給我們后面的解答指引了目標，即便用常規方式計算也會因此由漫無目的變得有的放矢．例如雙二次的因式分解因為定點已知，從而分解更加容易．

4.3 活用極限思想，提升核心素養

面對新高考，我們總在強調“思維能力的培養”，這不僅是一句口號，而是需要一線教師在教學過程中不斷摸索的.過去，我們在課堂中常會幫助學生總結解決問題的一般方法并歸納分類，這對于應試是能起到一定作用的，但題目是千變萬化的，如何能讓學生在面對各種問題時，自我分析，自我探究，自我解決，是需要教師不斷引導的.

雖說極限思想不能直接用來求解圓錐曲線綜合題，但是對于引導學生學會自我探究起到了積極的作用.上述例題中，利用極限思想來解決的過程，均是抓住了題目中的動點和動直線，尋找變化規律，這對于學生來說，是提升理性思維、抽象能力的絕佳時機.解題教學時，唯有多想一點，才能少算一點，多反思才能不斷優化解題過程，多總結歸納才能以不變應萬變，多復盤才能不斷提升．

數學教育的本質是傳授數學思想，教學生學會思考.極限思想在高中數學中的運用，不僅能提升學生的解題能力，還能提升核心素養，讓學生站在更高的角度去思考、理解問題，知其然并知其所以然，更為今后高等數學的學習奠定基礎．