從“充分與必要”視角辨析一道三角題的解法

蘭詩全

(福建省古田縣第一中學(xué) 352200)

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，找到答案只是數(shù)學(xué)解題的前一半，更重要的是解題后的反思．“不思故無惑，不惑故無問，不問故無得．”為什么是正確的、為什么是錯(cuò)誤的、錯(cuò)在哪里呢，對這些“為什么”的追問一定可以大大提升分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力．反思才能悟出其中的方法與思想，反思才能悟出問題的真本質(zhì)、真規(guī)律、真道理．

以下從充分與必要視角對一道題目的多種解法進(jìn)行正誤辨析，以示解題中要對充分與必要條件加以高度重視，理清思路、認(rèn)識到位、理解深刻，要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，要揭示本質(zhì)，才能真正掌握知識，提高解題能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

題目在銳角三角形ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c，若b2=ac，求cosB的取值范圍．

辨析很多學(xué)生認(rèn)為以上解法是正確的，但事實(shí)上是錯(cuò)誤的．這又是為什么？細(xì)想b2=ac這個(gè)條件用到位了嗎？沒有用到位，沒有用充分！由b2=ac?b不是最長邊也不是最小邊(不妨設(shè)a≤b≤c)?A≤B≤C，但反過來由A≤B≤C推不出b2=ac，即b2=ac內(nèi)在的本質(zhì)關(guān)系未充分利用，錯(cuò)解2也是條件不等價(jià)變形造成的！利用已知條件的必要條件A≤B≤C來解答就得出問題的解，這與解法1類似，往往會(huì)擴(kuò)大所求的取值范圍．

正解1 由b2=ac，得b不是最長邊也不是最小邊，不妨設(shè)a≤b≤c，則A≤B≤C．

辨析以上解法正確嗎？“水本無華，相蕩乃成漣漪；石本無火，相擊而發(fā)靈光．”經(jīng)過廣泛討論，積極思考后又有學(xué)生認(rèn)為不對，理由是因?yàn)槭紫纫獦?gòu)成三角形，從而在上述解法的基礎(chǔ)上還應(yīng)滿足條件a+b>c，故有以下正解2．

辨析正解1與正解2的最后答案是一樣的，這是偶然還是必然？要想找出內(nèi)在本質(zhì)規(guī)律，要想打破砂鍋問到底，此問題還應(yīng)從以下命題說起．

經(jīng)常性地像這樣進(jìn)行數(shù)學(xué)問題辨析，錯(cuò)中求正、敗中求勝，數(shù)學(xué)問題將越辨越清，認(rèn)識將越來越深刻．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)若不能揭示問題的本質(zhì)，則對知識方法認(rèn)識依然“云里霧里”，不能從錯(cuò)誤的陰影中真正走出來，不能從正確中掌握規(guī)律，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大忌．以上辨析說明，對充要條件是否準(zhǔn)確應(yīng)用直接關(guān)系到解題的成敗，許多時(shí)候解題出錯(cuò)都是因?yàn)槌湟P(guān)系沒用對，對充要條件的應(yīng)用要特別注意，已知條件的相互轉(zhuǎn)化要注意充要性，一定要利用已知條件或與已知等價(jià)的條件來解題，這是本質(zhì)，這是關(guān)鍵．