基于高效NMPC算法的無(wú)人車軌跡跟蹤控制研究*

王宏偉，劉晨宇，李 磊，張昊天

（東北大學(xué)秦皇島分校控制工程學(xué)院，秦皇島 066004）

前言

隨著無(wú)人駕駛技術(shù)的快速發(fā)展，無(wú)人車輛在減少交通事故、提高道路利用率、完成特殊作業(yè)、國(guó)防軍事應(yīng)用等領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用［1］。無(wú)人車是一個(gè)非線性程度高、耦合性強(qiáng)、多輸入多輸出的系統(tǒng)。其中，無(wú)人車軌跡跟蹤控制是實(shí)現(xiàn)自動(dòng)駕駛技術(shù)的關(guān)鍵，目前已成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，是無(wú)人車今后研究的重點(diǎn)方向。

為了克服無(wú)人車系統(tǒng)軌跡跟蹤控制面臨的挑戰(zhàn)，提高無(wú)人車軌跡跟蹤的可靠性、安全性和精確性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，提出了很多有效的控制方法。主要包括：經(jīng)典控制［2］、最優(yōu)化控制［3］、自適應(yīng)控制［4］、魯棒控制［5］、滑模控制［6］等。這些控制方法在無(wú)人車控制領(lǐng)域取得了明顯的效果，但不能解決控制過(guò)程中車輛動(dòng)力學(xué)多約束問(wèn)題。模型預(yù)測(cè)控制（model predictive control，MPC）可以將無(wú)人車系統(tǒng)實(shí)際約束條件加入預(yù)測(cè)運(yùn)動(dòng)中，同時(shí)根據(jù)無(wú)人車狀態(tài)反饋量做出實(shí)時(shí)調(diào)整，達(dá)到最優(yōu)控制。但MPC控制算法在滾動(dòng)優(yōu)化時(shí)需要對(duì)車輛模型線性化，不能準(zhǔn)確建立車輛系統(tǒng)精準(zhǔn)的非線性模型，容易造成模型失配問(wèn)題［7］。其次MPC控制算法的約束條件通常被描述為優(yōu)化過(guò)程的硬約束，在極端工況下會(huì)增加系統(tǒng)計(jì)算負(fù)擔(dān)，導(dǎo)致無(wú)法實(shí)時(shí)求出可行解。

非線性模型預(yù)測(cè)控制（nonlinear model predictive control，NMPC）對(duì)非線性模型具有良好的控制性能，并且可以顯式處理系統(tǒng)約束，解決非凸規(guī)劃問(wèn)題［8］。在NMPC的設(shè)計(jì)中，非線性系統(tǒng)會(huì)帶來(lái)繁重的計(jì)算負(fù)擔(dān)，高計(jì)算負(fù)荷和實(shí)時(shí)求解之間會(huì)產(chǎn)生沖突，計(jì)算效率是需要考慮的關(guān)鍵因素。文獻(xiàn)［9］中對(duì)車輛建立輪胎的高度非線性模型，利用序列二次規(guī)劃（sequential quadratic programming，SQP）算法求解NMPC控制問(wèn)題，將一部分在線計(jì)算負(fù)擔(dān)轉(zhuǎn)移到離線過(guò)程。文獻(xiàn)［10］中提出了一種FP-SQP改進(jìn)方法，用以解決非線性問(wèn)題，但是該算法僅適用于多項(xiàng)式非線性系統(tǒng)，存在一定的局限性。文獻(xiàn)［11］中將MPC優(yōu)化問(wèn)題分為離線和在線兩部分，其中優(yōu)化僅在在線部分進(jìn)行，用來(lái)減少計(jì)算時(shí)間。但這種方法的有效性取決于約束問(wèn)題的可分性，不適合靈活應(yīng)用于不同場(chǎng)合。文獻(xiàn)［12］中提出基于直接多次打靶法的實(shí)時(shí)迭代算法，將計(jì)算時(shí)間大幅減少到每次迭代20 ms，但要求代價(jià)函數(shù)和約束至少兩次連續(xù)可微。文獻(xiàn)［13］中對(duì)打靶法的約束條件進(jìn)行了改進(jìn)，但只適用于約束都能轉(zhuǎn)換為特定形式，并滿足所有最優(yōu)化條件的場(chǎng)合，這會(huì)影響其進(jìn)一步推廣和使用。文獻(xiàn)［14］中針對(duì)車輛在低速運(yùn)行工況下，利用遺傳算法優(yōu)化求解過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了NMPC控制器的實(shí)時(shí)尋優(yōu)，進(jìn)一步提升了計(jì)算效率。文獻(xiàn)［15］中針對(duì)車輛輪胎在路徑跟蹤中存在的高度非線性問(wèn)題，提出一種線性時(shí)變MPC控制器來(lái)解決非線性問(wèn)題的方法。為了減少計(jì)算工作量，對(duì)非線性模型在初始狀態(tài)下通過(guò)泰勒展開(kāi)進(jìn)行線性化，但由于模型近似而導(dǎo)致一定誤差。文獻(xiàn)［16］中利用粒子群優(yōu)化算法和現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列芯片的并行計(jì)算優(yōu)勢(shì)，開(kāi)發(fā)了實(shí)時(shí)NMPC策略，但芯片成本較高，難以實(shí)現(xiàn)大規(guī)模應(yīng)用。文獻(xiàn)［17］中提出一種效果與NMPC類似的顯式MPC算法，控制問(wèn)題采用離線優(yōu)化，并生成在線采用的查找表。這樣控制的性能依賴于查找表中定義的大量點(diǎn)，因此導(dǎo)致高內(nèi)存需求，從而限制了其適用性。與上述求解NMPC的算法相比，連續(xù)/廣義最小殘差算法（continuation/generalized minimal residual，C/GMRES）結(jié)合了連續(xù)法［18］和Krylov子空間法［19］，在不依賴于求解問(wèn)題直接優(yōu)化方法所需的大量迭代的前提下，得到系統(tǒng)最優(yōu)控制規(guī)律，已經(jīng)發(fā)展成為一種普遍求解NMPC的算法［20］。文獻(xiàn)［21］在利用NMPC方法研究車輛偏航穩(wěn)定性時(shí)，在C/GMRES算法中引入了死區(qū)懲罰函數(shù)用于處理不等式約束，實(shí)現(xiàn)理想的軌跡跟蹤效果。但該算法求解的NMPC設(shè)計(jì)性能指標(biāo)中不包括無(wú)人車系統(tǒng)終端狀態(tài)約束，計(jì)算出的NMPC控制缺乏穩(wěn)定性保證。

本文中關(guān)注的非線性問(wèn)題主要為兩方面：一是在路面附著系數(shù)較低和車速較高情況下，車輛的輪胎模型非線性程度明顯增加；二是在求解過(guò)程中，因?yàn)榫薮蟮挠?jì)算量出現(xiàn)無(wú)可行解或極端解，造成非線性程度增加。針對(duì)以上問(wèn)題提出一種改進(jìn)的連續(xù)/廣義最小殘差算法（improved continuation/generalized minimal residual，improved-C/GMRES）的NMPC無(wú)人車軌跡跟蹤控制方法。首先，建立車輛非線性模型并在性能指標(biāo)中加入多約束條件。然后，為提高求解平滑性，利用障礙罰函數(shù)法處理不等式約束，引入連續(xù)增加的懲罰因子降低運(yùn)算負(fù)擔(dān)，提高數(shù)值求解的計(jì)算效率。最后，通過(guò)Simulink和CarSim的聯(lián)合仿真，驗(yàn)證了無(wú)人車在高速和復(fù)雜工況條件下所提出算法結(jié)果的有效性和準(zhǔn)確性，實(shí)現(xiàn)精確穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制。

1 非線性車輛模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

為實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制，對(duì)車輛橫向和縱向建立2自由度車輛模型，定義XOY為大地坐標(biāo)系，并且設(shè)為慣性參考系。定義xoy為車輛坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)o為車輛質(zhì)心。

建立2自由度動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖中：X和Y分別為車輛橫、縱坐標(biāo)；vx為縱向速度；vy為橫向速度；β為質(zhì)心側(cè)偏角；γ為橫擺角速度；φ為航向角；Lf和Lr分別為質(zhì)心到前、后軸的距離；Fyf和Fyr分別為前、后輪胎的側(cè)向力；αf和αr分別為前、后輪輪胎側(cè)偏角；δ為車輛前輪轉(zhuǎn)角。

車輛坐標(biāo)(X，Y)與行駛速度的關(guān)系為

根據(jù)圖1可以得到車輛的動(dòng)力學(xué)方程：

式中Iz為繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

車輛輪胎在前/后輪受到的側(cè)向力為

式中Fyfl、Fyfr、Fyrl和Fyrr分別為左前輪、右前輪、左后輪和右后輪受到的側(cè)向力。

當(dāng)質(zhì)心側(cè)偏角很小的時(shí)候，tanβ≈β，由幾何關(guān)系可得：

建立的軌跡跟蹤示意圖如圖2所示。

圖中：φr為期望軌跡的參考航向角；φ為實(shí)際軌跡的航向角。

定義ey表示車輛位置和期望路徑之間的距離誤差，實(shí)際意義為從車輛質(zhì)心o到期望軌跡上正交投影點(diǎn)T的距離。定義eφ為航向角誤差，eφ=φ-φr，可以得到公式：

1.2 輪胎模型

輪胎在高速行駛的過(guò)程中，非線性特性會(huì)尤為明顯，直接影響車輛的穩(wěn)定性和操縱性。

前、后輪輪胎側(cè)偏角計(jì)算公式為

魔術(shù)輪胎（magic formula，MF）模型對(duì)車輛輪胎力非線性特性擬合較好，其表達(dá)式為

式中：α為輪胎側(cè)偏角；μ為路面附著系數(shù)；FZ為輪胎垂直載荷；B為剛度系數(shù)；CFα為轉(zhuǎn)彎剛度；C為輪胎模型形狀因子；D為輪胎模型峰值因子；E為輪胎模型曲率因子；k1和k2分別為辨識(shí)系數(shù)。

將式（2）～式（8）代入式（1），得到車輛的偏航運(yùn)動(dòng)方程：

式中Fzf和Fzr分別為前、后輪胎垂直載荷。

2 NMPC控制器設(shè)計(jì)

NMPC對(duì)于求解車輛運(yùn)動(dòng)過(guò)程的非線性問(wèn)題有著較好的計(jì)算速度和計(jì)算精度。本文對(duì)設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)函數(shù)添加非線性軟約束和硬約束條件，在保證車輛行駛穩(wěn)定性的前提下，同時(shí)提高對(duì)目標(biāo)路徑的跟蹤性能。

2.1 預(yù)測(cè)模型

根據(jù)式（1）-式（6），得到非線性模型預(yù)測(cè)的狀態(tài)空間表達(dá)式，即

式中：f為系統(tǒng)的狀態(tài)方程；x=[β，γ，ey，eφ，X，Y]為系統(tǒng)狀態(tài)量；u=δ為控制變量；ω=φr為外部干擾；y為系統(tǒng)輸出方程；ξ為受控變量。

2.2 問(wèn)題描述

NMPC控制性能指標(biāo)函數(shù)最小化可表示為

式中：x0為車輛的初始狀態(tài)；t為初始采樣時(shí)間；T為系統(tǒng)的預(yù)測(cè)時(shí)域；τ為最小化預(yù)測(cè)時(shí)域。

式（12）第1式等式右側(cè)第1項(xiàng)為系統(tǒng)的終端狀態(tài)，第2項(xiàng)可以表示為

式中：xτ為τ時(shí)刻的實(shí)際軌跡；x r為期望參考軌跡；Q=diag{q1，…，q6}和R=diag{r1}為權(quán)重系數(shù)矩陣，q1～q6和r1為權(quán)重系數(shù)。

將式（12）簡(jiǎn)化為如下形式：

式中U為計(jì)算得到的不同時(shí)刻最優(yōu)控制序列。

3 求解器設(shè)計(jì)

利用NMPC求解會(huì)使計(jì)算量增加，為提高無(wú)人車穩(wěn)定性和求解效率，本文在C/GMRES算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，得到improved-C/GMRES算法。

3.1 控制規(guī)律設(shè)計(jì)

為了保證NMPC控制器的穩(wěn)定性，對(duì)車輛前輪轉(zhuǎn)角控制設(shè)計(jì)了輔助控制規(guī)律。根據(jù)文獻(xiàn)［23］采用反步法得到控制規(guī)律：

式中：γaux(t)為車輛前輪轉(zhuǎn)角速度控制規(guī)律；ka和kb為調(diào)整因子。

kb＞vx ka是速度誤差和航向角誤差收斂為0的必要條件。

構(gòu)造對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫函數(shù)：

對(duì)于所構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)，在定義域內(nèi)是連續(xù)可微的，并且是無(wú)界的。由李雅普諾夫定理可知，存在一組?i(i=1，2，3)滿足下列式子：

根據(jù)NMPC求解特點(diǎn)，在每個(gè)采樣時(shí)刻輸入一個(gè)采樣周期，只會(huì)對(duì)非線性模型預(yù)測(cè)的第一個(gè)更新?tīng)顟B(tài)具有控制作用，得到以下不等式：

利用李雅普諾夫定理，得到無(wú)人車輛系統(tǒng)的終端狀態(tài)，將終端約束這個(gè)附加約束應(yīng)用到在線優(yōu)化中，可以證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。即在優(yōu)化過(guò)程中施加的約束要求系統(tǒng)在預(yù)測(cè)期結(jié)束時(shí)的狀態(tài)相對(duì)于預(yù)測(cè)期開(kāi)始時(shí)的狀態(tài)在范數(shù)上收斂。將設(shè)定值選為優(yōu)化問(wèn)題中的終端等式約束，既保證漸近收斂到期望軌跡，又保證了NMPC在線求解的優(yōu)化問(wèn)題的可行性。

3.2 約束條件

根據(jù)車輛實(shí)際轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，可以得到如式（20）所示的約束條件：

式中：角標(biāo)max和min分別表示為約束的上、下邊界；β和γ的最大值滿足式（21）條件。

式中：g為重力加速度；δf∈[-6°，6°]。

為提高NMPC控制方法的穩(wěn)定性，使得到的最優(yōu)性保證在有限時(shí)域下的閉環(huán)穩(wěn)定，對(duì)NMPC優(yōu)化問(wèn)題增加一個(gè)穩(wěn)定性約束條件：

給定每個(gè)時(shí)刻的初始狀態(tài)x(t)，可以根據(jù)式（12）求解最優(yōu)控制序列。由于僅取最優(yōu)控制序列的第一個(gè)元素作為實(shí)際控制值，所以僅考慮在預(yù)測(cè)時(shí)間[t，t+τ]中的穩(wěn)定性約束。

3.3 障礙罰函數(shù)

在NMPC求解過(guò)程中，求解問(wèn)題是一個(gè)帶有不等式約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，無(wú)法利用常規(guī)方法得到解析解。為了解決不等式約束局限，利用障礙罰函數(shù)法［23］來(lái)計(jì)算數(shù)值解。

在性能指標(biāo)函數(shù)中引入違反約束懲罰項(xiàng)。定義一個(gè)新的理想障礙函數(shù)：

由于障礙函數(shù)在ζ(c(x(τ)，u(τ)))=0處缺乏連續(xù)可微性，導(dǎo)致該函數(shù)在實(shí)數(shù)域上不可微。為解決這個(gè)問(wèn)題，引入近似函數(shù)，其表達(dá)式為

式中κ為近似系數(shù)。當(dāng)κ→∞時(shí)，在c(x(τ)，u(τ))=0處可以用式（24）代替。

在不等式約束中加入障礙函數(shù)，既將控制變量限制在合理范圍之內(nèi)，可以遵從約束條件，同時(shí)可以兼顧性能指標(biāo)中最小值條件，保證了性能指標(biāo)的優(yōu)越，在多約束條件下新的優(yōu)化問(wèn)題可以成功求解，這種方法特別適合于具有多狀態(tài)約束的無(wú)人車系統(tǒng)。此外，這種方法不需要引入額外的優(yōu)化變量，在保證計(jì)算精度的前提下，可以將計(jì)算工作量保持在相對(duì)較低的水平。

3.4 最優(yōu)化條件

為了保證NMPC優(yōu)化問(wèn)題中車輛的穩(wěn)定性，加入一個(gè)穩(wěn)定性約束條件，將原來(lái)的優(yōu)化問(wèn)題改寫為

上述軌跡跟蹤問(wèn)題可以等價(jià)最優(yōu)控制必要條件，為解決最優(yōu)控制問(wèn)題，本文引入哈密頓函數(shù)：

式中λ為共態(tài)向量。

基于龐特里亞金最大化原理（Pontryagin’s maximum principle，PMP），無(wú)人車軌跡跟蹤最優(yōu)控制問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（two-point boundary value problem，TPBVP），將連續(xù)的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題離散化，在預(yù)測(cè)時(shí)域[0，T]內(nèi)得到離散的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題為

通過(guò)式（27）計(jì)算可以得到：

取最優(yōu)控制的第一個(gè)元素(t)作為實(shí)際控制輸入。為了求解t時(shí)刻式（28）矩陣，利用數(shù)值延拓法和前向差分廣義最小殘差（forward-difference generalized minimal residual，F(xiàn)DGMRES）方法。文獻(xiàn)［20］和文獻(xiàn)［24］中給出了算法的具體描述。該算法避免求解大量的雅可比矩陣、Hessian矩陣和逆矩陣，將這種函數(shù)計(jì)算方法簡(jiǎn)寫為

式中：ηmax為設(shè)置的最大迭代次數(shù)；U?為一個(gè)特定的初始猜測(cè)。

3.5 高效NMPC優(yōu)化算法

在初始化過(guò)程中，首先在傳統(tǒng)C/GMRES方法的基礎(chǔ)上加入變量參數(shù)求解PMP條件，只求解一次得到可行的初始控制輸入序列。

基于求解TPBVP的方法，在最優(yōu)解的鄰域中，找到收斂更快且精度更高的解。所以在約束條件下需要找到一組更好的初始控制輸入序列U。于是引入連續(xù)增加的障礙項(xiàng)權(quán)重因子ε求解式（28），并將當(dāng)前時(shí)刻求解的輸入序列作為下次迭代的初始值。高效NMPC算法引入連續(xù)增加的障礙項(xiàng)權(quán)重因子ε，可以通過(guò)迭代次數(shù)的增加，尋找使代價(jià)函數(shù)最小的權(quán)重因子ε，找到滿足條件的最優(yōu)控制序列，從而減小誤差，提高系統(tǒng)的控制精度。

分別利用傳統(tǒng)的C/GMRES算法和本文提出improved-C/GMRES算法進(jìn)行計(jì)算求解，通過(guò)對(duì)比這兩種算法的計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證improved-C/GMRES算法，在保證求解效率的前提下，可以保證無(wú)人車軌跡跟蹤的穩(wěn)定性，表1和表2給出這兩種算法的具體步驟。

表1 C/GMRES算法

表2 improved-C/GMRES算法

4 仿真與分析

為了驗(yàn)證本文所提出的高效NMPC方法在無(wú)人車軌跡跟蹤控制的精度和求解速度，基于Simulink和CarSim搭建的聯(lián)合仿真平臺(tái)進(jìn)行仿真分析，在2.3GHz筆記本電腦上的Intel Core i7 8750H CPU下對(duì)所提出的策略進(jìn)行驗(yàn)證，將利用improved-C/GMRES算法求解的高效NMPC與利用C/GMRES求解的NMPC進(jìn)行對(duì)比。

本文選擇的復(fù)雜路況是在標(biāo)準(zhǔn)的雙移線和蛇行工況基礎(chǔ)上進(jìn)行調(diào)整，使原有曲線具有更低的路面附著系數(shù)和更大的轉(zhuǎn)彎弧度，同時(shí)讓車輛保持較高的速度通過(guò)設(shè)計(jì)路段，驗(yàn)證算法性能。表3和表4分別表示車輛動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)和控制器參數(shù)。

表3 車輛動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)

表4 控制器參數(shù)

4.1 雙移線工況仿真

為了驗(yàn)證對(duì)比兩種算法的控制效果，在雙移線工況進(jìn)行仿真驗(yàn)證。道路附著系數(shù)μ為0.6，目標(biāo)車速為60 km/h，并假設(shè)車輛初始狀態(tài)和偏航角都為零。

圖3表示軌跡跟蹤曲線圖，圖4表示軌跡誤差曲線圖。

由圖3和圖4可知，標(biāo)準(zhǔn)NMPC控制軌跡誤差在±0.15 m之內(nèi)，在5～6 s之間出現(xiàn)較大的誤差波動(dòng)；而高效NMPC控制軌跡誤差在±0.07 m之內(nèi)，誤差更小，在控制過(guò)程中未產(chǎn)生劇烈的誤差波動(dòng)。可見(jiàn)高效NMPC控制器在高速條件下跟蹤控制效果更好。

圖5表示航向角跟隨曲線圖，圖6表示航向角誤差曲線圖。

由圖5和圖6可知，標(biāo)準(zhǔn)NMPC控制角度誤差較大，在3～4 s和5～6 s之間都出現(xiàn)了明顯的角度誤差；而高效NMPC控制角度誤差更小，且控制過(guò)程中角度變化量也更加平緩，沒(méi)有出現(xiàn)劇烈波動(dòng)的情況。可見(jiàn)高效NMPC控制器在路面附著系數(shù)較低，轉(zhuǎn)彎弧度較大的工況下，可以更精準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)角度跟蹤控制，并且可以提高車輛穩(wěn)定性和安全性。

4.2 蛇行工況仿真

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法的精確性和穩(wěn)定性，在更為復(fù)雜的蛇行工況下進(jìn)行仿真。蛇行工況在短距離內(nèi)有多個(gè)大幅度轉(zhuǎn)彎，道路附著系數(shù)μ為0.45，目標(biāo)車速為60 km/h，并假設(shè)車輛初始狀態(tài)以及偏航角都為零。

圖7表示軌跡跟蹤曲線圖，圖8表示軌跡誤差曲線圖。由圖可見(jiàn)，標(biāo)準(zhǔn)NMPC控制軌跡誤差在±0.4 m之內(nèi)，在3～4 s和6～7 s之間出現(xiàn)較大的誤差波動(dòng)；而高效NMPC控制軌跡誤差在±0.1 m之內(nèi)，誤差更小且未產(chǎn)生劇烈的誤差波動(dòng)。可見(jiàn)高效NMPC控制器在連續(xù)轉(zhuǎn)彎的情況下仍可以保持較好的控制效果。

圖9表示航向角跟隨曲線圖，圖10表示航向角誤差曲線圖。

由圖9和圖10的對(duì)比結(jié)果可知，標(biāo)準(zhǔn)NMPC控制角度誤差較大，在8～9 s都出現(xiàn)了明顯的角度誤差，車輛在行駛過(guò)程中的穩(wěn)定性較差；而高效NMPC角度誤差較小且較為平緩，在復(fù)雜工況下可以保持穩(wěn)定性。

4.3 計(jì)算效率驗(yàn)證

本文在驗(yàn)證兩種工況的控制精度時(shí)，為了避免實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)偶然性，在路況參數(shù)和控制器參數(shù)設(shè)置相同的條件下分別各進(jìn)行了50次驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均誤差范圍頻數(shù)次數(shù)分別統(tǒng)計(jì)到表5和表6中。

由表5和表6的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，標(biāo)準(zhǔn)NMPC控制的誤差要明顯大于高效NMPC控制，高效NMPC控制誤差范圍更小，控制精度更高。

表5 工況1平均跟蹤誤差頻數(shù)統(tǒng)計(jì)

表6 工況2平均跟蹤誤差頻數(shù)統(tǒng)計(jì)

同時(shí)分別統(tǒng)計(jì)兩種方法的每一步迭代計(jì)算所需時(shí)間，結(jié)果如表7所示。表7中表示在不同工況不同算法的計(jì)算耗時(shí)情況，表中數(shù)據(jù)為計(jì)算仿真的單次優(yōu)化平均計(jì)算耗時(shí)。

由表7的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，高效NMPC控制在兩種工況下單次優(yōu)化時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于標(biāo)準(zhǔn)NMPC控制，在工況1和工況2中將計(jì)算時(shí)間大幅減少到每次迭代18.9和25.6 ms，大大提升了計(jì)算效率。

表7 單次優(yōu)化計(jì)算耗時(shí)對(duì)比表

為了驗(yàn)證本文提出improved-C/GMRES控制算法的高效性，利用兩種算法分別完成工況1和工況2的軌跡跟蹤，將50次計(jì)算模擬時(shí)間求取平均值作為最終的仿真時(shí)間，兩種算法仿真時(shí)間如圖11所示。從圖中可以看出：C/GMRES算法求解上述兩種工況所需平均時(shí)間分別為1.663和7.921 s；improved-C/GMRES算法所需時(shí)間分別為0.353和1.632 s。可見(jiàn)，采用improved-C/GMRES算法求解所需時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于C/GMRES算法的求解時(shí)間。表明所提出的NMPC控制器可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)優(yōu)化，提高計(jì)算效率，充分證明improved-C/GMRES算法處理非線性問(wèn)題的高效性。

5 結(jié)論

本文中基于無(wú)人車的軌跡跟蹤問(wèn)題設(shè)計(jì)了一種高效NMPC控制算法。首先建立車輛非線性模型，利用障礙罰函數(shù)法處理非線性不等式多約束條件，對(duì)原有性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。然后通過(guò)引入連續(xù)增加的懲罰因子加快數(shù)值計(jì)算的求解效率。最后通過(guò)Simulink和CarSim的聯(lián)合仿真，在路面附著系數(shù)較低，車速較高的兩種工況下驗(yàn)證算法的控制效果。結(jié)果表明：與C/GMRES算法的NMPC相比，利用improved-C/GMRES算法的高效NMPC在兩種工況下軌跡跟蹤最大誤差大幅度減少，軌跡控制精度得到明顯提高；航向角最大誤差大幅度減小，穩(wěn)定性得到明顯提高；計(jì)算效率提高78.77%和79.40%。improved-C/GMRES控制算法在保證軌跡跟蹤精度的同時(shí)，使車輛航向角跟蹤達(dá)到理想的效果，并提高車輛轉(zhuǎn)彎過(guò)程的穩(wěn)定性，可以大幅度提高計(jì)算效率，對(duì)計(jì)算負(fù)擔(dān)大的非線性問(wèn)題同樣可以快速求解，滿足無(wú)人車實(shí)時(shí)性要求。