構建“理趣課堂”的實踐
——以“斐波那契數列”教學為例

江蘇南通師范學校第三附屬小學（226007） 鄧蕓蕓

“理趣課堂”，顧名思義就是富有理性和感性的課堂。理性主要是指數學課堂要有數學的理性精神，學生應帶著求真的精神去探索研究數學，追求一種完全確定、完全可靠的知識；感性主要是指數學源于生活，數學課堂應該結合客觀實際，體現其社會性、現實性、實踐性、直觀性，通過這些感性的和有趣味的客觀認識激發學生學習數學的興趣。“理趣課堂”，糅合了理性和感性，將課堂變得生機勃勃，增強了課堂的趣味性，大大提高了學生參與課堂的積極性和熱情，有利于提高課堂教學效率和質量。

“理趣課堂”，努力做到用數學的理性精神引領學生去探索、去求真，去經歷知識形成的過程；同時又遵循學生的認知規律，激發學生的探究熱情，最終達到理趣相生的和諧狀態。

現以“斐波那契數列”教學為例，談談如何構建“理趣課堂”。

一、激趣探理，發現數列

布魯納說：“興趣是最好的老師。”小學生具有強烈的好奇心。課堂伊始創設有趣的問題情境，可激發學生的好奇心，讓他們更快地進入新知的探索中。

1.設疑導入

師（出示比薩斜塔圖片，如圖1）：意大利比薩不僅有聞名于世的斜塔，還出過一個偉大的數學家斐波那契。800 多年前，他在著作《算盤書》中提出了一個有趣的兔子問題，吸引著人們不斷地去研究。究竟這個兔子問題如何有趣呢？大家想知道嗎？

圖1

2.出示問題

師（出示兔子問題）：假設一對剛出生的小兔一個月后就能長成大兔，再過一個月它們便能生下一對小兔，而且以后每個月都會再生一對小兔。如果一年內沒有發生死亡，那么12 個月后會有多少對兔子呢？

3.初步嘗試

師：遇到這樣的難題怎么辦？請大家聯系以前的學習經驗想一想。

生1：可以化難為易，將難題轉化成容易解決的問題。

生2：可以先研究前幾個月的情況，看看有沒有什么發現。

4.發現規律

師：第1 個月是什么情況？第2 個月呢？第3個月呢？……第6 個月呢？怎么知道的？（出示示意圖，如圖2）

圖2

生3：每個月大兔子的對數就是前一個月兔子的總數，小兔子的對數就是前一個月大兔子的對數，而前一個月的大兔子，又和再前面一個月兔子的總數一樣。

生4：也就是說，每個月兔子的總數等于前兩個月兔子的總數相加。

師：現在可以找到12個月后兔子的總數了嗎？

生5：把前兩個月兔子的總數相加就能得到下一個月兔子的總數。

師：怎么覺得后面的找起來反而容易了。

生6：因為我們在比較簡單的部分發現了規律，所以在難的部分直接運用規律就可以解決問題了。可見難和易是可以互相轉化的。

5.大膽猜測

師：猜一猜，如果所有的兔子都沒有生病或老死，4年后會有多少對兔子？

（學生先猜測是幾百、幾千、幾萬，最后看到結果是48 億多時，都表示完全超出了預期，為這個結果感到震驚。）

師：大學者胡適說過，我們要大膽假設，小心求證。看來我們以后猜測的時候不妨再大膽一點。

6.揭示數列

師：這只是數學中的理想模型，實際生活中兔子當然會生老病死，但是這樣的假設卻給我們帶來了有趣的數列。因為這個問題是數學家斐波那契提出的，所以這個具有規律的數列又叫“斐波那契數列”。

評析：在上述環節中，數學史上有趣的兔子問題牢牢地吸引著學生的注意力，引領學生主動提出化難為易的轉化策略，運用畫圖、列舉、計算等多種方法，通過獨立思考與集體交流，探求了數量關系中蘊含的規律，并運用規律解決問題，成功找到著名的斐波那契數列。學生不僅知道了數列的數據特點，即從第三項起每一項都等于前兩項的和，而且還結合情境做出了自己的解釋。在此過程中，學生感受到了數學有理有據、邏輯嚴密的特點。尤為可貴的是，學生在探索的過程中感悟到難和易是相對的，是可以互相轉化的，閃現出哲學思辨的火花，他們的理性精神在潛移默化中自然生長。

二、理中生趣，研究數列

1.分組研究數列的性質

師：斐波那契數列還有很多有趣的性質，從古至今，吸引著無數人進行研究。請4 人為一個小組，每組選其中一個性質進行研究。

2.集體交流數列的性質

師：同學們發現斐波那契數列還有哪些有趣的性質？

生1：從第3 項起，任意一項的平方與它前后兩項的積總是相差1，有時是多1，有時是少1。

生2：第3、6、9項的數字，能被2整除；第4、8、12項的數字，能被3 整除；第5、10 項的數字，能被5 整除；第6、12項的數字，能被8整除。

生3：能被2整除的項數都是3的倍數。

生4：相鄰兩個斐波那契數的平方和仍是斐波那契數，比如，22+32就等于13，32+52就等于34。

生5：前一項除以后一項的商一直在變，如1，0.5，0.667，0.6，0.625，0.615，0.619，0.618……一會兒變大一會兒變小。

生6：感覺這個比值在越來越靠近一個結果。

生7：我認為它在靠近0.618 ，因為我又向后算了兩次，得數分別是0.619、0.618。

生8：我聽說過0.618 這個數，它是黃金比。也就是說斐波那契數列的前后兩項的比值越來越接近黃金比。

……

師：時間的關系，我們今天只研究了斐波那契數列的幾個性質。同學們如果想了解它還有哪些有趣的性質，課后可以去看這本書——《斐波那契數列》，一定會有更多的收獲。

評析：獨立研究數列的性質，對于小學生來說是頗具挑戰性的。在本教學環節中，教師充分地信任學生，為他們提供自由探究的時空，并適當給出一些探索的方向和思路，給學生提供攀登的腳手架。學生小組合作、自主發現、集體交流，找到了斐波那契數列很多神奇的性質。這些有趣的發現，讓學生欲罷不能，讓他們為數學之神奇著迷，讓他們為自己的成就感到自豪。在這一高度抽象的純數學的理性研究過程中，學生發現了如此之多的神奇而有趣的現象，這種趣味是一種發現的樂趣、求知的樂趣和充滿知性的樂趣。最后推薦相關書籍，引導學生將研究延伸到課外，讓課堂的影響更為深遠。

三、明理得趣，品味數列

1.尋找生活中有趣的斐波那契數列現象

師（出示圖3）：除了兔子問題，生活中還有很多地方也藏著斐波那契數列，讓我們一起來看看吧！海螺的殼上都有一條螺線，可以描繪成圖3 的樣子。這個螺線圖和斐波那契數列有什么關系呢？

圖3

生1：這些小正方形的邊長就可以組成斐波那契數列。

師：植物當中也有斐波那契數列。一些樹枝的樹丫數量蘊藏著斐波那契數列（如圖4）。很多植物的種子排列中也涉及斐波那契數列。松果果實上的螺線順時針有8條，逆時針有13條，這是什么數？

圖4

生2：是斐波那契數列中兩個相鄰的數。

2.感悟大自然中蘊藏的深刻哲理

師：植物如此進化是為了更好地利用空間，是一種優化的生存策略。

生3：大自然真是太神奇了！原來斐波那契數列就是大自然“發明”的呀！

師：正如古代大哲學家莊子所說：“天地有大美而不言……萬物有成理而不說。”從宇宙星辰到植物、動物都蘊藏了斐波那契數列（如圖5）。看到這些，你有什么感受？

圖5

生4：天地之間蘊藏著無言的美和深刻的規律，數學世界也是如此。

生5：我們要敬畏大自然、保護大自然，還要去探索大自然無窮的奧秘。

3.欣賞藝術作品的數學之美

師（出示圖6）：很多畫家、音樂家、建筑師也感受到了斐波那契數列的神奇，并把它應用到自己的藝術創作中。下面就讓我們來欣賞一下吧。

圖6

生6：原來藝術里也藏著很多數學原理呢！

生7：斐波那契數列真是太美了！數學真是太美了！

評析：立德樹人是教育的終極目標。本教學環節中，教師帶領學生從數學走向生活，在自然現象中發現規律，感悟哲理；從數學走進藝術，在藝術世界中回味數學之美。學生感受到大自然神奇的力量，感悟到數學迷人的魅力，科學思維與人文素養相輔相生，互相滋養。這種超乎尋常的審美體驗讓學生的視野得到拓寬，認知得到震撼，心靈得到凈化，在探索大自然的奧妙、品味斐波那契數列無窮韻味的過程中，獲得了一種高品質的審美趣味。

四、理趣交融，拓展延伸

1.課堂小結

師：通過今天的學習，你有什么收獲？

生1：我不僅知道了斐波那契數列是什么樣的，還知道它是怎么來的，而且它有很多特別有趣的性質。

生2：原來大自然中就藏著很多斐波那契數列，大自然真是太美、太神奇了！還有難和易是相對的，是可以互相轉化的。

師：斐波那契數列在計算機、生物、物理、金融等很多領域發揮著重大的作用。

2.課后思考

師：回到開頭的比薩斜塔，它斜得這么厲害，能登得上去嗎？（能）比薩斜塔的樓梯中也藏著斐波那契數列，你相信嗎？

師（出示問題）：上樓梯，每次可以上1 級或2級，爬到第2 級有幾種方法？爬到第3 級呢？第4、第5 級呢？這些問題與斐波那契數列有什么關聯呢？留給同學們課后去思考。

評析：在趣理交融的課堂總結后，學生的成就感是非常強烈的，他們享受到了探索真理、洞察真相、品味藝術的樂趣。此時，教師趁熱打鐵，回到課始的情境，引領學生思考爬樓梯的問題。這樣的設計能讓學生帶著問題走出課堂，將學習探究延伸到課外。如此，課堂邊界被進一步拓寬，正可謂“課已終，思猶在，趣無窮”。

“理趣課堂”就是要讓學生在探求真知的過程中獲得智慧，體驗成功，感受數學無窮的奧妙，產生持續學習的不竭動力，從而有效提升數學核心素養。