以終為始：圓錐曲線問題中設線的基本原則

朱 瀟

(湖北省武漢大學附屬中學 430064)

筆者在文[1]中以圓錐曲線中的設線方式問題為例，分析了不同設線方式對于計算量的影響．在最近一次高三復習課“同課異構”研討活動中，有教師提出關于設線方式的一個觀點：如果直線過x軸上定點，選擇“反設”(x=ty+m)；如果直線過y軸上定點，選擇“正設”(y=kx+b)，這樣就可以減少計算量．筆者認為這種觀點不僅值得商榷，還固化了學生的思維，不利于數學運算素養的培養．在圓錐曲線解答題中如何選擇合適的設線方式？如何將其背后的算理內化為學生的運算素養？筆者認為“以終為始”是圓錐曲線問題中設線的基本原則；在課堂上將“怎么做”扭轉為“為什么這么做”，可在幫助學生理解算理的同時，讓提升學生的運算素養成為可能．

1 一定要“正設”嗎？

2 一定要“反設”嗎？

若l與x軸不重合，設l的方程為x=ty+1(t≠0)，設M(x1,y1),N(x2,y2),R(0,y3).

3 如何選擇合適的設線方式

3.1 設線方式的本質分析

3.2 設線方式的原則

書寫解題過程通常是按照設線(設點)——聯立——韋達定理——翻譯目標條件(結論)——利用韋達定理等步驟呈現的,而解題思維則通常需要從目標條件(結論)出發，找到其等價條件或者結論，進而尋找關于x1,x2或者y1,y2的待證式子，進而選擇設線方式．這種書面呈現與思維過程的互逆性導致學生在課堂上只是被動承認過程的可行性而忽視了思維的生成性．所以設線方式選擇的原則應該是“以終為始”，以題目中關鍵條件或者待證結論為“終”，分析解題思路之“始”，即選擇合適的設線方式，并將這一思維過程在課堂中著重生成出來．下面以2021年一道高考試題加以說明.

圖1

有些問題核心條件或結論的轉化較為復雜，需要進行二次轉化，形成新的目標式子，進而再選擇設線方式．但無論是哪種類型，培養學生的目標意識，遵循“以終為始”的設線原則，進而發展用程序化的思想理解、表達問題的能力，才是數學運算素養的最終訴求．

3.3 設線方式教學的價值旨歸

高三復習課的專題分類經常是題型導向，而“設線方式問題”是方法導向．《普通高中數學課程標準(實驗)》中要求利用8課時左右時間專門講《推理與證明》，內容要求結合學習過的實例講解綜合法、分析法等，體現證明數學命題的方法性[2]．《普通高中數學課程標準(2017年版2020修訂)》中刪除了《推理與證明》，提倡將證明數學問題的方法以滲透的方式融合在平時教學內容中[3]．“設線方式問題”的教學就是一個很好的載體．本專題中，在學生習得“以終為始”的設線原則的同時，教師通過帶領學生分析題目關鍵條件(結論)，以分析法的思路得到解題的起點，然后以綜合法的步驟書寫解題過程，將書寫過程、思維過程與綜合法、分析法對應，真正從“教題型”中解脫出來，進而走向“教方法”.這一過程也為發展數學運算素養提供了可行場域．

4 結語

在解題過程中目標意識是最為重要的．圓錐曲線中目標意識是“終”，設線方式是“始”．“以終為始”是解決這類目標導向很明確的問題的基本原則．長期以來，我們習慣于呈現解題方法，忽視了思維的過程．表現為教師在課堂里直接告訴學生諸如“拋物線開口向右選擇反設、面積問題中水平寬為定值時選擇反設”等總結好的套路，固化了學生的思維．在解題教學中遵循“以終為始”的基本原則，生成火熱的思考，有助于幫助學生“知其然，知其所以然”，進而“知何由以知其所以然”．