從“充分與必要”視角辨析一道三角題的解法

蘭詩全

(福建省古田縣第一中學 352200)

“問題是數學的心臟”，找到答案只是數學解題的前一半，更重要的是解題后的反思．“不思故無惑，不惑故無問，不問故無得．”為什么是正確的、為什么是錯誤的、錯在哪里呢，對這些“為什么”的追問一定可以大大提升分析、解決數學問題的能力．反思才能悟出其中的方法與思想，反思才能悟出問題的真本質、真規律、真道理．

以下從充分與必要視角對一道題目的多種解法進行正誤辨析，以示解題中要對充分與必要條件加以高度重視，理清思路、認識到位、理解深刻，要發現規律，要揭示本質，才能真正掌握知識，提高解題能力，提升數學素養．

題目在銳角三角形ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c，若b2=ac，求cosB的取值范圍．

辨析很多學生認為以上解法是正確的，但事實上是錯誤的．這又是為什么？細想b2=ac這個條件用到位了嗎？沒有用到位，沒有用充分！由b2=ac?b不是最長邊也不是最小邊(不妨設a≤b≤c)?A≤B≤C，但反過來由A≤B≤C推不出b2=ac，即b2=ac內在的本質關系未充分利用，錯解2也是條件不等價變形造成的！利用已知條件的必要條件A≤B≤C來解答就得出問題的解，這與解法1類似，往往會擴大所求的取值范圍．

正解1 由b2=ac，得b不是最長邊也不是最小邊，不妨設a≤b≤c，則A≤B≤C．

辨析以上解法正確嗎？“水本無華，相蕩乃成漣漪；石本無火，相擊而發靈光．”經過廣泛討論，積極思考后又有學生認為不對，理由是因為首先要構成三角形，從而在上述解法的基礎上還應滿足條件a+b>c，故有以下正解2．

辨析正解1與正解2的最后答案是一樣的，這是偶然還是必然？要想找出內在本質規律，要想打破砂鍋問到底，此問題還應從以下命題說起．

經常性地像這樣進行數學問題辨析，錯中求正、敗中求勝，數學問題將越辨越清，認識將越來越深刻．數學學習若不能揭示問題的本質，則對知識方法認識依然“云里霧里”，不能從錯誤的陰影中真正走出來，不能從正確中掌握規律，這是數學學習的大忌．以上辨析說明，對充要條件是否準確應用直接關系到解題的成敗，許多時候解題出錯都是因為充要關系沒用對，對充要條件的應用要特別注意，已知條件的相互轉化要注意充要性，一定要利用已知條件或與已知等價的條件來解題，這是本質，這是關鍵．