基于GeoGebra分析一道中考壓軸題的源與流

趙玉葉

(江蘇省蘇州市吳江區盛澤第二中學 215228)

中考數學試題由專家組精心命制而成，而數學壓軸題歷來在數學中考中占有舉足輕重的地位．有些試題看似超乎尋常，實則抽絲剝繭后都能尋到基本的“知識源”，擁有很深的基礎性和生命力．GeoGebra數學軟件(簡稱GGB)具有動態、交互、開放、共享、簡單、易用等特點，可以創建開放的探究環境，發揮教師的主導作用，體現學生的主體地位，實現靜態向動態教學的轉變．本文基于GGB軟件分析2021年連云港中考數學27題這道動點軌跡壓軸題，旨在對其解法進行分析并給出一些初步的思考，從思路摸索中感悟模型的根源，從猜想驗證中體驗本質的提煉，從可視化探究中思考問題的推廣，實現壓軸題的“尋源”與“顯流”．

1 試題呈現

在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動．

圖1

(1)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖1．求CF的長.

(2)如圖1，△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經過的路徑長.

(3)△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖2．在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經過的路徑長.

圖2 圖3

(4)正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形BFGH，其中點F，G都在直線AE上，如圖3．當點E到達點B時，點F,G,H與點B重合．則點H所經過的路徑長為，點G所經過的路徑長為．

第(1)小題是典型的全等三角形模型——“手拉手”模型．我們很容易證明△BAE≌△BCF(SAS)，求得CF=AE=1．

下面主要探討第(2)～(4)小題．

2 尋源：方法初探——“按圖索跡”

2.1 動點軌跡：模型歸納

后三小題考查的是動點的軌跡問題．初中數學中的動點軌跡有兩種模型：直線型、圓弧型．受函數圖象畫法三步驟的指引，解決動點軌跡問題可以分為三步：(1)畫圖，取3個特殊位置(一般是起點、中點、終點)；(2)連線，判斷曲直；(3)求解，求動點路徑的線段長或弧長．

圖4 圖5

圖6

2.2 圖形變換：本質提煉

能夠影響到企業金融風險的因素有很多，其中占很大比重的就有員工的專業水平和專業能力的不足以及企業整體規劃不夠符合實際情況等，這些原因都會直接導致企業的各種經濟風險，甚至會給企業帶來財產損失和名譽受到損害。

上述常規解法需要畫圖確定動點的軌跡，所以比較費時費力．如果從圖形變換的角度去思考動點軌跡的問題，往往可以發現從動點軌跡與主動點軌跡是有關聯的．本題所有圖形運動的實質都是旋轉加位似，共同特征是正多邊形共頂點．在這樣的圖形變換下都會形成“手拉手”模型．

如圖7所示,第(3)小題中由圍繞點B的四條“拉手線”BA=BC，BM=BN，就能找到△BAM≌△BCN(SAS)．所以點N的運動軌跡長等于點M的運動軌跡長DC．同理，如圖8所示，第(4)小題中由圍繞點B的四條“拉手線”BA=BC，BF=BH，能找到△BAF≌△BCH(SAS)，也就是點C，G，H三點共線．于是在Rt△ACG中，點G在以AC為直徑的圓上，在Rt△BCH中，點H在以BC為直徑的圓上．

圖7 圖8

解題的成功要依靠正確思路的選擇，要從最接近它的方向攻克．解初中的幾何題理所應當提倡“以圖為綱，按圖索跡”．對于動點軌跡問題，我們可以從局部去分析動點的軌跡模型，判斷直線型或圓弧型；也可以從整體出發關注圖形變換(平移、對稱、旋轉、位似)．點動成線，線藏于形，解題時雙管齊下，方可使思路并蒂開花．

3 顯流：深度拓展——“按圖索GGB”

數學家波利亞指出：“當你找到第一個蘑菇后，要環顧四周，因為它們總是成堆生長的．”在進行完上述探究過程后，學生對本題的動點軌跡和圖形變換有了一定的認識與掌握，此時教師可以利用信息技術工具，向學生展示點的動態運動，并對其他特殊動點和一般化圖形作進一步推廣．下文探究“按圖索GGB”的可視化拓展，利用GGB展開探索．

3.1 驗：驗證動點的軌跡

圖9 圖10 圖11

3.2 探：探索其他的動點

問題1-1第(2)小題中等邊三角形BEF的各邊中點形成了怎樣的軌跡？

圖12

先利用GGB探究：輸入等邊三角形ABC→在邊AC上任取一點E→連結BE，輸入等邊三角形BEF→輸入中點K,N,H→分別選擇中點K,N,H關于動點E的軌跡．如圖12，可發現各邊中點的軌跡也是線段．

問題1-2若將第(2)小題中等邊三角形ABC和等邊三角形BEF都換成一般三角形，那么第三個頂點的軌跡會有怎樣的變化？

圖13

先利用GGB探究：輸入任意三角形ABC→在邊AC上任取一點D→連結BD，標記∠BCD為α→順時針旋轉△BCD，旋轉角為α→作位似三角形BED→選擇點E關于動點D的軌跡．如圖13，可以發現點E的軌跡不再與AB邊平行，但保持直線型軌跡．

問題1-3若將第(2)小題中等邊三角形ABC和等邊三角形BEF都換成一般三角形，那么各邊中點的軌跡會有怎樣的變化？

圖14

先利用GGB探究：輸入中點H,M,L→分別選擇中點H,M,L關于動點D的軌跡．如圖14，可發現各邊中點的軌跡也是線段．

證明中位線LJ中位線MK中位線HI

問題2若將第(3)小題的中點D換成一般位置的點，其軌跡會有怎樣的變化？

圖15

先利用GGB探究：輸入等邊三角形ABC→在邊AB上任取一動點D→連結CD，在邊CD上任取一動點E→連結BE，輸入等邊三角形BEF→選擇點F關于動點E的軌跡．如圖15，拖動點D可發現點F的起點G隨之運動，終點H保持不變，軌跡依舊呈現直線型．拖動點E，點F隨之在線段GH上運動．

證明根據BD=BG，利用“手拉手”模型，我們容易證明△BDE≌△BGF(SAS)，所以點F的軌跡長GH等于點E的軌跡長CD．

問題3若將第(4)小題中動點E從邊BC換到直線BC上，那么點G與H的軌跡會怎樣變化？

圖16

證明在Rt△ACG中，點G在以AC為直徑的圓上；在Rt△BCH中，點H在以BC為直徑的圓上．

數學解題總是從分析已知元素和未知元素開始，二者的關聯越不明顯，就越值得探究．本道中考壓軸題難度較大，區分度明顯，學生很難觀察出從動點與主動點的直接聯系，更難將軌跡和圖形變換分析出來．但運用GGB，學生能夠直觀地“看到”動點間的聯系和要求的動點軌跡．具象化地展示試題的完成和拓展可以幫助學生認清試題本質、理解數學問題，有助于其養成反思的好習慣，落實“低起點，高落點”的目標．

4 結語

中考數學命題十分重視回歸教材、重視基本知識，而中學數學教學的目的在于使學生掌握基礎知識和基本技能，培養學生的數學能力，形成正確的解題思路和看題觀點，這是中學數學教學的本源[1]．弗賴登塔爾認為：“數學知識不是教出來的，而是研究出來的．”學生解決問題的能力何嘗不是如此呢？只有親歷問題的探索過程、鍛煉科學的思維方式，才能在實踐中逐步具備豐富的策略方法．教師根據教學內容和教學目標適時、適量地使用信息化平臺，能夠突破數學“難以意會，無法言傳”的障礙，真正做到“教懂、教活、教深”[2]，引導學生將更多精力集中在高層次的數學思考上，實現有意義的解題教學，促進學生的思維發展．