以終為始：圓錐曲線問題中設(shè)線的基本原則

朱 瀟

(湖北省武漢大學(xué)附屬中學(xué) 430064)

筆者在文[1]中以圓錐曲線中的設(shè)線方式問題為例，分析了不同設(shè)線方式對于計算量的影響．在最近一次高三復(fù)習(xí)課“同課異構(gòu)”研討活動中，有教師提出關(guān)于設(shè)線方式的一個觀點：如果直線過x軸上定點，選擇“反設(shè)”(x=ty+m)；如果直線過y軸上定點，選擇“正設(shè)”(y=kx+b)，這樣就可以減少計算量．筆者認(rèn)為這種觀點不僅值得商榷，還固化了學(xué)生的思維，不利于數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)．在圓錐曲線解答題中如何選擇合適的設(shè)線方式？如何將其背后的算理內(nèi)化為學(xué)生的運算素養(yǎng)？筆者認(rèn)為“以終為始”是圓錐曲線問題中設(shè)線的基本原則；在課堂上將“怎么做”扭轉(zhuǎn)為“為什么這么做”，可在幫助學(xué)生理解算理的同時，讓提升學(xué)生的運算素養(yǎng)成為可能．

1 一定要“正設(shè)”嗎？

2 一定要“反設(shè)”嗎？

若l與x軸不重合，設(shè)l的方程為x=ty+1(t≠0)，設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),R(0,y3).

3 如何選擇合適的設(shè)線方式

3.1 設(shè)線方式的本質(zhì)分析

3.2 設(shè)線方式的原則

書寫解題過程通常是按照設(shè)線(設(shè)點)——聯(lián)立——韋達定理——翻譯目標(biāo)條件(結(jié)論)——利用韋達定理等步驟呈現(xiàn)的,而解題思維則通常需要從目標(biāo)條件(結(jié)論)出發(fā)，找到其等價條件或者結(jié)論，進而尋找關(guān)于x1,x2或者y1,y2的待證式子，進而選擇設(shè)線方式．這種書面呈現(xiàn)與思維過程的互逆性導(dǎo)致學(xué)生在課堂上只是被動承認(rèn)過程的可行性而忽視了思維的生成性．所以設(shè)線方式選擇的原則應(yīng)該是“以終為始”，以題目中關(guān)鍵條件或者待證結(jié)論為“終”，分析解題思路之“始”，即選擇合適的設(shè)線方式，并將這一思維過程在課堂中著重生成出來．下面以2021年一道高考試題加以說明.

圖1

有些問題核心條件或結(jié)論的轉(zhuǎn)化較為復(fù)雜，需要進行二次轉(zhuǎn)化，形成新的目標(biāo)式子，進而再選擇設(shè)線方式．但無論是哪種類型，培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)意識，遵循“以終為始”的設(shè)線原則，進而發(fā)展用程序化的思想理解、表達問題的能力，才是數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的最終訴求．

3.3 設(shè)線方式教學(xué)的價值旨歸

高三復(fù)習(xí)課的專題分類經(jīng)常是題型導(dǎo)向，而“設(shè)線方式問題”是方法導(dǎo)向．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》中要求利用8課時左右時間專門講《推理與證明》，內(nèi)容要求結(jié)合學(xué)習(xí)過的實例講解綜合法、分析法等，體現(xiàn)證明數(shù)學(xué)命題的方法性[2]．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020修訂)》中刪除了《推理與證明》，提倡將證明數(shù)學(xué)問題的方法以滲透的方式融合在平時教學(xué)內(nèi)容中[3]．“設(shè)線方式問題”的教學(xué)就是一個很好的載體．本專題中，在學(xué)生習(xí)得“以終為始”的設(shè)線原則的同時，教師通過帶領(lǐng)學(xué)生分析題目關(guān)鍵條件(結(jié)論)，以分析法的思路得到解題的起點，然后以綜合法的步驟書寫解題過程，將書寫過程、思維過程與綜合法、分析法對應(yīng)，真正從“教題型”中解脫出來，進而走向“教方法”.這一過程也為發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)提供了可行場域．

4 結(jié)語

在解題過程中目標(biāo)意識是最為重要的．圓錐曲線中目標(biāo)意識是“終”，設(shè)線方式是“始”．“以終為始”是解決這類目標(biāo)導(dǎo)向很明確的問題的基本原則．長期以來，我們習(xí)慣于呈現(xiàn)解題方法，忽視了思維的過程．表現(xiàn)為教師在課堂里直接告訴學(xué)生諸如“拋物線開口向右選擇反設(shè)、面積問題中水平寬為定值時選擇反設(shè)”等總結(jié)好的套路，固化了學(xué)生的思維．在解題教學(xué)中遵循“以終為始”的基本原則，生成火熱的思考，有助于幫助學(xué)生“知其然，知其所以然”，進而“知何由以知其所以然”．